கோண மாற்றி
கோணம் — டிகிரியிலிருந்து மைக்ரோஆர்க்செகண்ட் வரை
கணிதம், வானியல், வழிசெலுத்தல் மற்றும் பொறியியலில் கோண அலகுகளை மாஸ்டர் செய்யுங்கள். டிகிரியிலிருந்து ரேடியன்கள் வரை, ஆர்க்நிமிடங்களிலிருந்து மில்கள் வரை, சுழற்சிகளைப் புரிந்துகொண்டு, நிஜ பயன்பாடுகளில் எண்கள் என்ன அர்த்தம் என்பதைக் கண்டறியுங்கள்.
கோணங்களின் அடிப்படைகள்
கோணம் என்றால் என்ன?
ஒரு கோணம் என்பது இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையேயான சுழற்சி அல்லது திருப்பத்தை அளவிடுகிறது. ஒரு கதவைத் திறப்பதை அல்லது ஒரு சக்கரத்தை சுழற்றுவதை நினைத்துப் பாருங்கள். டிகிரி (°), ரேடியன்கள் (rad), அல்லது கிரேடியன்களில் அளவிடப்படுகிறது. 360° = முழு வட்டம் = ஒரு முழுமையான சுழற்சி.
- கோணம் = சுழற்சியின் அளவு
- முழு வட்டம் = 360° = 2π rad
- செங்கோணம் = 90° = π/2 rad
- நேர்கோடு = 180° = π rad
டிகிரி vs ரேடியன்
டிகிரி: வட்டம் 360 பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டது (வரலாற்று ரீதியானது). ரேடியன்கள்: வட்டத்தின் ஆரத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. 2π ரேடியன்கள் = 360°. ரேடியன்கள் கணிதம்/இயற்பியலுக்கு 'இயற்கையானவை'. π rad = 180°, எனவே 1 rad ≈ 57.3°.
- 360° = 2π rad (முழு வட்டம்)
- 180° = π rad (அரை வட்டம்)
- 90° = π/2 rad (செங்கோணம்)
- 1 rad ≈ 57.2958° (மாற்றம்)
பிற கோண அலகுகள்
கிரேடியன்: 100 grad = 90° (மெட்ரிக் கோணம்). ஆர்க்நிமிடம்/ஆர்க்செகண்ட்: டிகிரியின் உட்பிரிவுகள் (வானியல்). மில்: இராணுவ வழிசெலுத்தல் (6400 மில்கள் = வட்டம்). ஒவ்வொரு அலகும் குறிப்பிட்ட பயன்பாட்டிற்கானது.
- கிரேடியன்: 400 grad = வட்டம்
- ஆர்க்நிமிடம்: 1′ = 1/60°
- ஆர்க்செகண்ட்: 1″ = 1/3600°
- மில் (NATO): 6400 mil = வட்டம்
- முழு வட்டம் = 360° = 2π rad = 400 grad
- π rad = 180° (அரை வட்டம்)
- 1 rad ≈ 57.3°, 1° ≈ 0.01745 rad
- ரேடியன்கள் கால்குலஸ்/இயற்பியலுக்கு இயற்கையானவை
அலகு அமைப்புகள் விளக்கப்பட்டுள்ளன
டிகிரி அமைப்பு
ஒரு வட்டத்திற்கு 360° (பாபிலோனிய தோற்றம் - ~360 நாட்கள்/ஆண்டு). உட்பிரிவுகள்: 1° = 60′ (ஆர்க்நிமிடங்கள்) = 3600″ (ஆர்க்செகண்டுகள்). வழிசெலுத்தல், நில அளவியல், அன்றாட பயன்பாட்டிற்கு உலகளாவியது.
- 360° = முழு வட்டம்
- 1° = 60 ஆர்க்நிமிடங்கள் (′)
- 1′ = 60 ஆர்க்செகண்டுகள் (″)
- மனிதர்களுக்கு எளிதானது, வரலாற்று முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது
ரேடியன் அமைப்பு
ரேடியன்: வில்லின் நீளம் = ஆரம். 2π rad = வட்டத்தின் சுற்றளவு/ஆரம். கால்குலஸுக்கு இயற்கையானது (sin, cos வகைக்கெழுக்கள்). இயற்பியல், பொறியியல் தரநிலை. π rad = 180°.
- 2π rad = 360° (துல்லியமாக)
- π rad = 180°
- 1 rad ≈ 57.2958°
- கணிதம்/இயற்பியலுக்கு இயற்கையானது
கிரேடியன் & இராணுவம்
கிரேடியன்: 400 grad = வட்டம் (மெட்ரிக் கோணம்). 100 grad = செங்கோணம். மில்: இராணுவ வழிசெலுத்தல் - NATO 6400 மில்களைப் பயன்படுத்துகிறது. USSR 6000 ஐப் பயன்படுத்தியது. வெவ்வேறு தரநிலைகள் உள்ளன.
- 400 grad = 360°
- 100 grad = 90° (செங்கோணம்)
- மில் (NATO): ஒரு வட்டத்திற்கு 6400
- மில் (USSR): ஒரு வட்டத்திற்கு 6000
கோணங்களின் கணிதம்
முக்கிய மாற்றங்கள்
rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. கால்குலஸில் எப்போதும் ரேடியன்களைப் பயன்படுத்துங்கள்! முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு வகைக்கெழுக்களுக்கு ரேடியன்கள் தேவை.
- rad = deg × (π/180)
- deg = rad × (180/π)
- grad = deg × (10/9)
- கால்குலஸுக்கு ரேடியன்கள் தேவை
முக்கோணவியல்
sin, cos, tan கோணங்களை விகிதங்களுடன் தொடர்புபடுத்துகின்றன. அலகு வட்டம்: ஆரம்=1, கோணம்=θ. புள்ளி ஆயங்கள்: (cos θ, sin θ). இயற்பியல், பொறியியல், வரைகலைக்கு அவசியம்.
- sin θ = எதிர்பக்கம்/கர்ணம்
- cos θ = அடுத்துள்ள பக்கம்/கர்ணம்
- tan θ = எதிர்பக்கம்/அடுத்துள்ள பக்கம்
- அலகு வட்டம்: (cos θ, sin θ)
கோணக் கூட்டல்
கோணங்கள் சாதாரணமாக கூட்டப்படுகின்றன/கழிக்கப்படுகின்றன. 45° + 45° = 90°. முழு சுழற்சி: 360° (அல்லது 2π) ஐக் கூட்டவும்/கழிக்கவும். சுற்றுவதற்கு மாடுலோ எண்கணிதம்: 370° = 10°.
- θ₁ + θ₂ (சாதாரண கூட்டல்)
- சுற்றுதல்: θ mod 360°
- 370° ≡ 10° (mod 360°)
- எதிர்மறை கோணங்கள்: -90° = 270°
பொதுவான கோணங்கள்
| கோணம் | டிகிரி | ரேடியன் | குறிப்புகள் |
|---|---|---|---|
| பூஜ்ஜியம் | 0° | 0 rad | சுழற்சி இல்லை |
| குறுங்கோணம் | 30° | π/6 | சமபக்க முக்கோணம் |
| குறுங்கோணம் | 45° | π/4 | பாதி செங்கோணம் |
| குறுங்கோணம் | 60° | π/3 | சமபக்க முக்கோணம் |
| செங்கோணம் | 90° | π/2 | செங்குத்து, கால் சுற்று |
| விரிகோணம் | 120° | 2π/3 | அறுகோணத்தின் உள் பகுதி |
| விரிகோணம் | 135° | 3π/4 | எண்கோணத்தின் வெளிப்புறம் |
| நேர்கோணம் | 180° | π | அரை வட்டம், நேர்கோடு |
| பின்வளை கோணம் | 270° | 3π/2 | முக்கால் சுற்று |
| முழுக்கோணம் | 360° | 2π | முழுமையான சுழற்சி |
| ஆர்க்செகண்ட் | 1″ | 4.85 µrad | வானியல் துல்லியம் |
| மில்லிஆர்க்செகண்ட் | 0.001″ | 4.85 nrad | Hubble பிரிதிறன் |
| மைக்ரோஆர்க்செகண்ட் | 0.000001″ | 4.85 prad | Gaia செயற்கைக்கோள் |
கோண சமநிலைகள்
| விளக்கம் | டிகிரி | ரேடியன் | கிரேடியன் |
|---|---|---|---|
| முழு வட்டம் | 360° | 2π ≈ 6.283 | 400 grad |
| அரை வட்டம் | 180° | π ≈ 3.142 | 200 grad |
| செங்கோணம் | 90° | π/2 ≈ 1.571 | 100 grad |
| ஒரு ரேடியன் | ≈ 57.296° | 1 rad | ≈ 63.662 grad |
| ஒரு டிகிரி | 1° | ≈ 0.01745 rad | ≈ 1.111 grad |
| ஒரு கிரேடியன் | 0.9° | ≈ 0.01571 rad | 1 grad |
| ஆர்க்நிமிடம் | 1/60° | ≈ 0.000291 rad | 1/54 grad |
| ஆர்க்செகண்ட் | 1/3600° | ≈ 0.00000485 rad | 1/3240 grad |
| NATO மில் | 0.05625° | ≈ 0.000982 rad | 0.0625 grad |
நிஜ உலகப் பயன்பாடுகள்
வழிசெலுத்தல்
திசைகாட்டி திசைகள்: 0°=வடக்கு, 90°=கிழக்கு, 180°=தெற்கு, 270°=மேற்கு. இராணுவம் துல்லியத்திற்காக மில்களைப் பயன்படுத்துகிறது. திசைகாட்டியில் 32 புள்ளிகள் உள்ளன (ஒவ்வொன்றும் 11.25°). GPS தசம டிகிரிகளைப் பயன்படுத்துகிறது.
- திசைகள்: வடக்கிலிருந்து 0-360°
- NATO மில்: ஒரு வட்டத்திற்கு 6400
- திசைகாட்டி புள்ளிகள்: 32 (ஒவ்வொன்றும் 11.25°)
- GPS: தசம டிகிரிகள்
வானியல்
நட்சத்திர நிலைகள்: ஆர்க்செகண்ட் துல்லியம். இடமாறு தோற்றம்: மில்லிஆர்க்செகண்ட். Hubble: ~50 mas பிரிதிறன். Gaia செயற்கைக்கோள்: மைக்ரோஆர்க்செகண்ட் துல்லியம். மணிநேரக் கோணம்: 24h = 360°.
- ஆர்க்செகண்ட்: நட்சத்திர நிலைகள்
- மில்லிஆர்க்செகண்ட்: இடமாறு தோற்றம், VLBI
- மைக்ரோஆர்க்செகண்ட்: Gaia செயற்கைக்கோள்
- மணிநேரக் கோணம்: 15°/மணிநேரம்
பொறியியல் & நில அளவியல்
சாய்வு: சதவீத கிரேடு அல்லது கோணம். 10% கிரேடு ≈ 5.7°. சாலை வடிவமைப்பு சதவீதத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. நில அளவியல் டிகிரி/நிமிடங்கள்/விநாடிகளைப் பயன்படுத்துகிறது. மெட்ரிக் நாடுகளுக்கு கிரேடியன் அமைப்பு.
- சாய்வு: % அல்லது டிகிரிகள்
- 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
- நில அளவியல்: DMS (டிகிரி-நிமிடம்-விநாடி)
- கிரேடியன்: மெட்ரிக் நில அளவியல்
விரைவு கணிதம்
டிகிரி ↔ ரேடியன்
rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. விரைவாக: 180° = π rad, எனவே இந்த விகிதத்தால் வகுக்கவும்/பெருக்கவும்.
- rad = deg × 0.01745
- deg = rad × 57.2958
- π rad = 180° (துல்லியமாக)
- 2π rad = 360° (துல்லியமாக)
சாய்விலிருந்து கோணம்
கோணம் = arctan(சாய்வு/100). 10% சாய்வு = arctan(0.1) ≈ 5.71°. தலைகீழ்: சாய்வு = tan(கோணம்) × 100.
- θ = arctan(கிரேடு/100)
- 10% → arctan(0.1) = 5.71°
- 45° → tan(45°) = 100%
- செங்குத்தானது: 100% = 45°
ஆர்க்நிமிடங்கள்
1° = 60′ (ஆர்க்நிமிடம்). 1′ = 60″ (ஆர்க்செகண்ட்). மொத்தம்: 1° = 3600″. துல்லியத்திற்காக விரைவான உட்பிரிவு.
- 1° = 60 ஆர்க்நிமிடங்கள்
- 1′ = 60 ஆர்க்செகண்டுகள்
- 1° = 3600 ஆர்க்செகண்டுகள்
- DMS: டிகிரி-நிமிடங்கள்-விநாடிகள்
மாற்றங்கள் எப்படி வேலை செய்கின்றன
- படி 1: மூலம் → டிகிரிகள்
- படி 2: டிகிரிகள் → இலக்கு
- ரேடியன்: deg × (π/180)
- சாய்வு: arctan(கிரேடு/100)
- ஆர்க்நிமிடங்கள்: deg × 60
பொதுவான மாற்றங்கள்
| இருந்து | க்கு | சூத்திரம் | எடுத்துக்காட்டு |
|---|---|---|---|
| டிகிரி | ரேடியன் | × π/180 | 90° = π/2 rad |
| ரேடியன் | டிகிரி | × 180/π | π rad = 180° |
| டிகிரி | கிரேடியன் | × 10/9 | 90° = 100 grad |
| டிகிரி | ஆர்க்நிமிடம் | × 60 | 1° = 60′ |
| ஆர்க்நிமிடம் | ஆர்க்செகண்ட் | × 60 | 1′ = 60″ |
| டிகிரி | சுற்று | ÷ 360 | 180° = 0.5 சுற்று |
| % கிரேடு | டிகிரி | arctan(x/100) | 10% ≈ 5.71° |
| டிகிரி | மில் (NATO) | × 17.778 | 1° ≈ 17.78 mil |
விரைவான எடுத்துக்காட்டுகள்
தீர்க்கப்பட்ட சிக்கல்கள்
சாலை சாய்வு
சாலைக்கு 8% கிரேடு உள்ளது. கோணம் என்ன?
θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. ஒப்பீட்டளவில் மென்மையான சாய்வு!
திசைகாட்டி திசை
135° திசையில் செல்லவும். இது என்ன திசைகாட்டி திசை?
0°=N, 90°=E, 180°=S, 270°=W. 135° என்பது E (90°) மற்றும் S (180°) க்கு இடையில் உள்ளது. திசை: தென்கிழக்கு (SE).
நட்சத்திரத்தின் நிலை
ஒரு நட்சத்திரம் 0.5 ஆர்க்செகண்டுகள் நகர்ந்தது. இது எத்தனை டிகிரி?
1″ = 1/3600°. எனவே 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. மிகச் சிறிய இயக்கம்!
பொதுவான தவறுகள்
- **ரேடியன் பயன்முறை**: ரேடியன்களைப் பயன்படுத்தும்போது கால்குலேட்டர் டிகிரி பயன்முறையில் இருப்பது = தவறு! பயன்முறையைச் சரிபார்க்கவும். டிகிரி பயன்முறையில் sin(π) ≠ ரேடியன் பயன்முறையில் sin(π).
- **π தோராயமாக்கல்**: π ≠ 3.14 துல்லியமாக. π பொத்தான் அல்லது Math.PI ஐப் பயன்படுத்தவும். 180° = π rad துல்லியமாக, 3.14 rad அல்ல.
- **எதிர்மறை கோணங்கள்**: -90° ≠ தவறானது! எதிர்மறை = கடிகார திசை. -90° = 270° (0° இலிருந்து கடிகார திசையில்).
- **சாய்வு குழப்பம்**: 10% கிரேடு ≠ 10°! arctan ஐப் பயன்படுத்த வேண்டும். 10% ≈ 5.71°, 10° அல்ல. பொதுவான பிழை!
- **ஆர்க்நிமிடம் ≠ நேர நிமிடம்**: 1′ (ஆர்க்நிமிடம்) = 1/60°. 1 நிமிடம் (நேரம்) = வேறு! குழப்ப வேண்டாம்.
- **முழு சுழற்சி**: 360° = 0° (அதே நிலை). கோணங்கள் சுழற்சி முறையில் உள்ளன. 370° = 10°.
வேடிக்கையான உண்மைகள்
ஏன் 360 டிகிரி?
பாபிலோனியர்கள் அடிப்படை-60 (அறுபதின்மம்) முறையைப் பயன்படுத்தினர். 360 க்கு பல வகுப்பிகள் உள்ளன (24 காரணிகள்!). ஒரு வருடத்தில் சுமார் 360 நாட்களுடன் பொருந்துகிறது. வானியல் மற்றும் நேரக்கணிப்புக்கு வசதியானது. மேலும் 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12... ஆல் சமமாக வகுபடும்.
ரேடியன் இயற்கையானது
ரேடியன் வில்லின் நீளம் = ஆரம் என வரையறுக்கப்படுகிறது. இது கால்குலஸை அழகாக ஆக்குகிறது: d/dx(sin x) = cos x (ரேடியன்களில் மட்டுமே!). டிகிரிகளில், d/dx(sin x) = (π/180)cos x (குழப்பமானது). இயற்கை 'ரேடியன்களை' பயன்படுத்துகிறது!
கிரேடியன் கிட்டத்தட்ட வெற்றி பெற்றது
மெட்ரிக் கோணம்: 100 grad = செங்கோணம். பிரெஞ்சு புரட்சியின் போது மெட்ரிக் முறையுடன் முயற்சிக்கப்பட்டது. ஒருபோதும் பிரபலமாகவில்லை—டிகிரிகள் மிகவும் ஆழமாகப் பதிந்திருந்தன. சில நில அளவியல் பணிகளில் இன்னும் பயன்படுத்தப்படுகிறது (சுவிட்சர்லாந்து, வடக்கு ஐரோப்பா). கால்குலேட்டர்களில் 'grad' பயன்முறை உள்ளது!
மில்லிஆர்க்செகண்ட் = மனித முடி
1 மில்லிஆர்க்செகண்ட் ≈ 10 கி.மீ தொலைவிலிருந்து பார்க்கப்படும் மனித முடியின் அகலம்! Hubble விண்வெளி தொலைநோக்கி ~50 mas வரை பிரித்தறிய முடியும். வானியலுக்கு நம்பமுடியாத துல்லியம். நட்சத்திர இடமாறு தோற்றம், இரும நட்சத்திரங்களை அளவிடப் பயன்படுகிறது.
பீரங்கிக்கு மில்
இராணுவ மில்: 1 மில் ≈ 1 கி.மீ தூரத்தில் 1 மீ அகலம் (NATO: 1.02 மீ, போதுமான அளவு நெருக்கமாக). வரம்பு மதிப்பீட்டிற்கு எளிதான மனக் கணிதம். வெவ்வேறு நாடுகள் வெவ்வேறு மில்களைப் பயன்படுத்துகின்றன (ஒரு வட்டத்திற்கு 6000, 6300, 6400). நடைமுறை எறிபொருளியல் அலகு!
செங்கோணம் = 90°, ஏன்?
90 = 360/4 (கால் சுற்று). ஆனால் 'சரி' (right) என்பது லத்தீன் 'rectus' = நிமிர்ந்த, நேராக என்பதிலிருந்து வருகிறது. செங்கோணம் செங்குத்து கோடுகளை உருவாக்குகிறது. கட்டுமானத்திற்கு அவசியம்—கட்டிடங்கள் நிற்க செங்கோணங்கள் தேவை!
கோண அளவீட்டின் பரிணாமம்
பண்டைய பாபிலோனிய வானியலில் இருந்து நவீன செயற்கைக்கோள் துல்லியம் வரை, கோண அளவீடு நடைமுறை நேரக்கணிப்பிலிருந்து கால்குலஸ் மற்றும் குவாண்டம் இயக்கவியலின் அடித்தளமாக பரிணமித்துள்ளது. 4,000 ஆண்டுகள் பழமையான 360 டிகிரி வட்டம், ரேடியன்களின் கணித நேர்த்தி இருந்தபோதிலும், இன்னும் ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது.
கிமு 2000 - கிமு 300
பாபிலோனியர்கள் வானியல் மற்றும் நேரக்கணிப்புக்கு அறுபதின்ம (அடிப்படை-60) எண் முறையைப் பயன்படுத்தினர். அவர்கள் வட்டத்தை 360 பகுதிகளாகப் பிரித்தனர், ஏனெனில் 360 ≈ ஒரு வருடத்தில் உள்ள நாட்கள் (உண்மையில் 365.25), மற்றும் 360 க்கு 24 வகுப்பிகள் உள்ளன—பின்னங்களுக்கு நம்பமுடியாத அளவிற்கு வசதியானது.
இந்த அடிப்படை-60 அமைப்பு இன்றும் தொடர்கிறது: ஒரு நிமிடத்திற்கு 60 விநாடிகள், ஒரு மணிநேரத்திற்கும் ஒரு டிகிரிக்கும் 60 நிமிடங்கள். 360 என்ற எண்ணை 2³ × 3² × 5 என காரணியாக்கலாம், இது 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 ஆல் சமமாக வகுபடுகிறது—ஒரு கால்குலேட்டரின் கனவு!
- கிமு 2000: பாபிலோனிய வானியலாளர்கள் வான் நிலைகளை டிகிரிகளில் கண்காணித்தனர்
- 360° வகுபடுதன்மை மற்றும் ~ஆண்டு தோராயத்திற்காக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது
- அடிப்படை-60 நமக்கு மணிநேரங்களையும் (24 = 360/15) நிமிடங்கள்/விநாடிகளையும் தருகிறது
- கிரேக்க வானியலாளர்கள் பாபிலோனிய அட்டவணைகளிலிருந்து 360° ஐ ஏற்றுக்கொண்டனர்
கிமு 300 - கிபி 1600
யூக்ளிடின் கூறுகள் (கிமு 300) கோண வடிவவியலை முறைப்படுத்தியது—செங்கோணங்கள் (90°), நிரப்புக் கோணங்கள் (மொத்தம் 90°), மிகைநிரப்புக் கோணங்கள் (மொத்தம் 180°). ஹிப்பார்க்கஸ் போன்ற கிரேக்க கணிதவியலாளர்கள் வானியல் மற்றும் நில அளவியலுக்காக டிகிரி அடிப்படையிலான அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி முக்கோணவியலை உருவாக்கினர்.
இடைக்கால மாலுமிகள் 32 புள்ளிகளுடன் (ஒவ்வொன்றும் 11.25°) வானியல் மானி மற்றும் திசைகாட்டியைப் பயன்படுத்தினர். மாலுமிகளுக்கு துல்லியமான திசைகள் தேவைப்பட்டன; ஆர்க்நிமிடங்கள் (1/60°) மற்றும் ஆர்க்செகண்டுகள் (1/3600°) நட்சத்திர பட்டியல்கள் மற்றும் கடல் வரைபடங்களுக்காக வெளிவந்தன.
- கிமு 300: யூக்ளிடின் கூறுகள் வடிவியல் கோணங்களை வரையறுக்கின்றன
- கிமு 150: ஹிப்பார்க்கஸ் முதல் முக்கோணவியல் அட்டவணைகளை (டிகிரிகள்) உருவாக்குகிறார்
- 1200கள்: வானியல் மானி வான் வழிசெலுத்தலுக்கு டிகிரி குறிகளைப் பயன்படுத்துகிறது
- 1569: மெர்கேட்டர் வரைபட проек்சனுக்கு கோணத்தைப் பாதுகாக்கும் கணிதம் தேவை
1600கள் - 1800கள்
நியூட்டன் மற்றும் லீப்னிஸ் கால்குலஸை (1670கள்) உருவாக்கியபோது, டிகிரிகள் சிக்கலாகின: டிகிரிகளில் d/dx(sin x) = (π/180)cos x—ஒரு அசிங்கமான மாறிலி! ரோஜர் கோட்ஸ் (1682-1716) மற்றும் லியோனார்ட் யூலர் ரேடியனை முறைப்படுத்தினர்: கோணம் = வில்லின் நீளம் / ஆரம். இப்போது d/dx(sin x) = cos x அழகாக.
ஜேம்ஸ் தாம்சன் 1873 இல் 'ரேடியன்' என்ற சொல்லை உருவாக்கினார் (லத்தீன் 'radius' இலிருந்து). ரேடியன் கணித பகுப்பாய்வு, இயற்பியல் மற்றும் பொறியியலுக்கான அலகாக மாறியது. ஆனாலும், மனிதர்கள் π ஐ விட முழு எண்களை விரும்புவதால், அன்றாட வாழ்க்கையில் டிகிரிகள் நிலைத்திருந்தன.
- 1670கள்: கால்குலஸ் டிகிரிகள் குழப்பமான சூத்திரங்களை உருவாக்குவதை வெளிப்படுத்துகிறது
- 1714: ரோஜர் கோட்ஸ் 'வட்ட அளவை' (முன்-ரேடியன்) உருவாக்குகிறார்
- 1748: யூலர் பகுப்பாய்வில் ரேடியன்களை விரிவாகப் பயன்படுத்துகிறார்
- 1873: தாம்சன் அதை 'ரேடியன்' என்று பெயரிடுகிறார்; கணித தரநிலையாகிறது
1900கள் - தற்போது
முதலாம் உலகப் போரின் பீரங்கிப் படைக்கு நடைமுறை கோண அலகுகள் தேவைப்பட்டன: மில் பிறந்தது—1 மில் ≈ 1 கி.மீ தூரத்தில் 1 மீட்டர் விலகல். NATO 6400 மில்கள்/வட்டத்தை (2 இன் நல்ல அடுக்கு) தரப்படுத்தியது, அதே நேரத்தில் USSR 6000 (தசம வசதி) ஐப் பயன்படுத்தியது. உண்மையான மில்லிரேடியன் = 6283/வட்டம்.
விண்வெளி யுக வானியல் மில்லிஆர்க்செகண்ட் துல்லியத்தை (ஹிப்பார்க்கோஸ், 1989) அடைந்தது, பின்னர் மைக்ரோஆர்க்செகண்டுகள் (கையா, 2013). கையா நட்சத்திர இடமாறு தோற்றத்தை 20 மைக்ரோஆர்க்செகண்டுகள் வரை அளவிடுகிறது—இது 1,000 கி.மீ தொலைவிலிருந்து ஒரு மனித முடியைப் பார்ப்பதற்கு சமம்! நவீன இயற்பியல் உலகளவில் ரேடியன்களைப் பயன்படுத்துகிறது; வழிசெலுத்தல் மற்றும் கட்டுமானம் மட்டுமே இன்னும் டிகிரிகளை விரும்புகின்றன.
- 1916: இராணுவ பீரங்கிப் படை வரம்பு கணக்கீடுகளுக்கு மில்லை ஏற்றுக்கொள்கிறது
- 1960: SI ரேடியனை ஒருங்கிசைந்த பெறப்பட்ட அலகாக அங்கீகரிக்கிறது
- 1989: ஹிப்பார்க்கோஸ் செயற்கைக்கோள்: ~1 மில்லிஆர்க்செகண்ட் துல்லியம்
- 2013: கையா செயற்கைக்கோள்: 20 மைக்ரோஆர்க்செகண்ட் துல்லியம்—1 பில்லியன் நட்சத்திரங்களை வரைபடமாக்குகிறது
நிபுணர் குறிப்புகள்
- **விரைவான ரேடியன்**: π rad = 180°. அரை வட்டம்! எனவே π/2 = 90°, π/4 = 45°.
- **சாய்வு மனக் கணிதம்**: சிறிய சாய்வுகள்: கிரேடு% ≈ கோணம்° × 1.75. (10% ≈ 5.7°)
- **ஆர்க்நிமிடம்**: 1° = 60′. உங்கள் கட்டைவிரல் கை நீளத்தில் ≈ 2° ≈ 120′ அகலம்.
- **எதிர்மறை = கடிகார திசை**: நேர்மறை கோணங்கள் கடிகார எதிர் திசை. -90° = 270° கடிகார திசை.
- **மாடுலோ சுற்றுதல்**: 360° ஐ சுதந்திரமாக கூட்டவும்/கழிக்கவும். 370° = 10°, -90° = 270°.
- **அலகு வட்டம்**: cos = x, sin = y. ஆரம் = 1. முக்கோணவியலுக்கு அடிப்படை!
- **தானியங்கி அறிவியல் குறியீடு**: 0.000001° க்கும் குறைவான அல்லது 1,000,000,000° க்கும் அதிகமான மதிப்புகள் வாசிப்பு வசதிக்காக அறிவியல் குறியீடாகக் காட்டப்படும் (மைக்ரோஆர்க்செகண்டுகளுக்கு அவசியம்!).
அலகுகள் குறிப்பு
பொதுவான அலகுகள்
| அலகு | சின்னம் | டிகிரி | குறிப்புகள் |
|---|---|---|---|
| டிகிரி | ° | 1° (base) | அடிப்படை அலகு; 360° = வட்டம். உலகளாவிய தரநிலை. |
| ரேடியன் | rad | 57.2958° | இயற்கையான அலகு; 2π rad = வட்டம். கால்குலஸுக்குத் தேவை. |
| கிரேடியன் (கோன்) | grad | 900.000000 m° | மெட்ரிக் கோணம்; 400 grad = வட்டம். நில அளவியல் (ஐரோப்பா). |
| திருப்பம் (புரட்சி) | turn | 360.0000° | முழு சுழற்சி; 1 சுற்று = 360°. எளிய கருத்து. |
| புரட்சி | rev | 360.0000° | சுற்று போலவே; 1 புரட்சி = 360°. இயந்திரவியல். |
| வட்டம் | circle | 360.0000° | முழு சுழற்சி; 1 வட்டம் = 360°. |
| செங்கோணம் (காற்பகுதி) | ∟ | 90.0000° | கால் சுற்று; 90°. செங்குத்து கோடுகள். |
ஆர்க்மினிட்ஸ் & ஆர்க்செகண்ட்ஸ்
| அலகு | சின்னம் | டிகிரி | குறிப்புகள் |
|---|---|---|---|
| வில் நிமிடம் (ஆர்க்மினிட்) | ′ | 16.666667 m° | ஆர்க்நிமிடம்; 1′ = 1/60°. வானியல், வழிசெலுத்தல். |
| வில் வினாடி (ஆர்க்செகண்ட்) | ″ | 277.777778 µ° | ஆர்க்செகண்ட்; 1″ = 1/3600°. துல்லியமான வானியல். |
| மில்லிஆர்க்செகண்ட் | mas | 2.778e-7° | 0.001″. Hubble துல்லியம் (~50 mas பிரிதிறன்). |
| மைக்ரோஆர்க்செகண்ட் | µas | 2.778e-10° | 0.000001″. Gaia செயற்கைக்கோள் துல்லியம். மிகத் துல்லியமானது. |
வழிசெலுத்தல் & இராணுவம்
| அலகு | சின்னம் | டிகிரி | குறிப்புகள் |
|---|---|---|---|
| புள்ளி (திசைகாட்டி) | point | 11.2500° | 32 புள்ளிகள்; 1 புள்ளி = 11.25°. பாரம்பரிய வழிசெலுத்தல். |
| மில் (நேட்டோ) | mil | 56.250000 m° | ஒரு வட்டத்திற்கு 6400; 1 மில் ≈ 1 கி.மீ இல் 1 மீ. இராணுவத் தரநிலை. |
| மில் (யுஎஸ்எஸ்ஆர்) | mil USSR | 60.000000 m° | ஒரு வட்டத்திற்கு 6000. ரஷ்ய/சோவியத் இராணுவத் தரநிலை. |
| மில் (ஸ்வீடன்) | streck | 57.142857 m° | ஒரு வட்டத்திற்கு 6300. ஸ்காண்டிநேவிய இராணுவத் தரநிலை. |
| பைனரி டிகிரி | brad | 1.4063° | ஒரு வட்டத்திற்கு 256; 1 brad ≈ 1.406°. கணினி வரைகலை. |
வானியல் & வான்வெளி
| அலகு | சின்னம் | டிகிரி | குறிப்புகள் |
|---|---|---|---|
| மணிநேரக் கோணம் | h | 15.0000° | 24h = 360°; 1h = 15°. வான்வெளி ஆயங்கள் (RA). |
| நேர நிமிடம் | min | 250.000000 m° | 1 நிமிடம் = 15′ = 0.25°. நேர அடிப்படையிலான கோணம். |
| நேர வினாடி | s | 4.166667 m° | 1 வி = 15″ ≈ 0.00417°. துல்லியமான நேரக் கோணம். |
| அடையாளம் (ராசி) | sign | 30.0000° | ராசி சின்னம்; 12 சின்னங்கள் = 360°; 1 சின்னம் = 30°. ஜோதிடம். |
சிறப்பு & பொறியியல்
| அலகு | சின்னம் | டிகிரி | குறிப்புகள் |
|---|---|---|---|
| செக்ஸ்டன்ட் | sextant | 60.0000° | 1/6 வட்டம்; 60°. வடிவியல் பிரிவு. |
| ஆக்டன்ட் | octant | 45.0000° | 1/8 வட்டம்; 45°. வடிவியல் பிரிவு. |
| காற்பகுதி | quadrant | 90.0000° | 1/4 வட்டம்; 90°. செங்கோணம் போலவே. |
| சதவீத சாய்வு (சாய்வு) | % | formula | சதவீத சாய்வு; arctan(கிரேடு/100) = கோணம். பொறியியல். |
அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்
டிகிரிகள் vs ரேடியன்களை எப்போது பயன்படுத்த வேண்டும்?
டிகிரிகளைப் பயன்படுத்தவும்: அன்றாட கோணங்கள், வழிசெலுத்தல், நில அளவியல், கட்டுமானம். ரேடியன்களைப் பயன்படுத்தவும்: கால்குலஸ், இயற்பியல் சமன்பாடுகள், நிரலாக்கம் (முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்). ரேடியன்கள் 'இயற்கையானவை', ஏனெனில் வில்லின் நீளம் = ஆரம் × கோணம். d/dx(sin x) = cos x போன்ற வகைக்கெழுக்கள் ரேடியன்களில் மட்டுமே வேலை செய்யும்!
ஏன் π rad = 180° துல்லியமாக உள்ளது?
வட்டத்தின் சுற்றளவு = 2πr. அரை வட்டம் (நேர்கோடு) = πr. ரேடியன் என்பது வில்லின் நீளம்/ஆரம் என வரையறுக்கப்படுகிறது. அரை வட்டத்திற்கு: வில் = πr, ஆரம் = r, எனவே கோணம் = πr/r = π ரேடியன்கள். எனவே, வரையறையின்படி π rad = 180°.
சாய்வு சதவீதத்தை கோணமாக மாற்றுவது எப்படி?
arctan ஐப் பயன்படுத்தவும்: கோணம் = arctan(கிரேடு/100). எடுத்துக்காட்டு: 10% கிரேடு = arctan(0.1) ≈ 5.71°. வெறுமனே பெருக்க வேண்டாம்! 10% ≠ 10°. தலைகீழ்: கிரேடு = tan(கோணம்) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% கிரேடு.
ஆர்க்நிமிடத்திற்கும் நேர நிமிடத்திற்கும் என்ன வித்தியாசம்?
ஆர்க்நிமிடம் (′) = ஒரு டிகிரியின் 1/60 (கோணம்). நேர நிமிடம் = ஒரு மணிநேரத்தின் 1/60 (நேரம்). முற்றிலும் வேறுபட்டவை! வானியலில், 'நேர நிமிடம்' கோணமாக மாற்றப்படுகிறது: 1 நிமிடம் = 15 ஆர்க்நிமிடங்கள் (ஏனெனில் 24h = 360°, எனவே 1 நிமிடம் = 360°/1440 = 0.25° = 15′).
ஏன் வெவ்வேறு நாடுகள் வெவ்வேறு மில்களைப் பயன்படுத்துகின்றன?
மில் என்பது 1 மில் ≈ 1 கி.மீ தூரத்தில் 1 மீட்டர் (நடைமுறை எறிபொருளியல்) என வடிவமைக்கப்பட்டது. உண்மையான கணித மில்லிரேடியன் = 1/1000 rad ≈ ஒரு வட்டத்திற்கு 6283. NATO அதை 6400 ஆக எளிமைப்படுத்தியது (2 இன் அடுக்கு, நன்றாக வகுபடுகிறது). USSR 6000 ஐப் பயன்படுத்தியது (10 ஆல் வகுபடுகிறது). ஸ்வீடன் 6300 (சமரசம்). அனைத்தும் 2π×1000 க்கு அருகில் உள்ளன.
கோணங்கள் எதிர்மறையாக இருக்க முடியுமா?
ஆம்! நேர்மறை = கடிகார எதிர் திசை (கணித மரபு). எதிர்மறை = கடிகார திசை. -90° = 270° (அதே நிலை, வேறு திசை). வழிசெலுத்தலில், 0-360° வரம்பைப் பயன்படுத்தவும். கணிதம்/இயற்பியலில், எதிர்மறை கோணங்கள் பொதுவானவை. எடுத்துக்காட்டு: -π/2 = -90° = 270°.
முழுமையான கருவி அடைவு
UNITS-ல் கிடைக்கும் அனைத்து 71 கருவிகளும்