En vinkel måler rotation eller drejning mellem to linjer. Tænk på at åbne en dør eller dreje et hjul. Måles i grader (°), radianer (rad) eller nygrader. 360° = fuld cirkel = en komplet rotation.

• Vinkel = rotationsmængde
• Fuld cirkel = 360° = 2π rad
• Ret vinkel = 90° = π/2 rad
• Lige linje = 180° = π rad

Grader: cirkel inddelt i 360 dele (historisk). Radianer: baseret på cirklens radius. 2π radianer = 360°. Radianer er 'naturlige' for matematik/fysik. π rad = 180°, så 1 rad ≈ 57.3°.

• 360° = 2π rad (fuld cirkel)
• 180° = π rad (halv cirkel)
• 90° = π/2 rad (ret vinkel)
• 1 rad ≈ 57,2958° (omregning)

Nygrad: 100 grad = 90° (metrisk vinkel). Bueminut/buesekund: underinddelinger af en grad (astronomi). Milligrad: militær navigation (6400 milligrader = cirkel). Hver enhed til en specifik anvendelse.

• Nygrad: 400 grad = cirkel
• Bueminut: 1′ = 1/60°
• Buesekund: 1″ = 1/3600°
• Milligrad (NATO): 6400 milligrader = cirkel

360° pr. cirkel (babylonisk oprindelse - ~360 dage/år). Underinddelt: 1° = 60′ (bueminutter) = 3600″ (buesekunder). Universal for navigation, landmåling, daglig brug.

• 360° = fuld cirkel
• 1° = 60 bueminutter (′)
• 1′ = 60 buesekunder (″)
• Let for mennesker, historisk

Radian: buelængde = radius. 2π rad = cirklens omkreds/radius. Naturlig for calculus (sin, cos afledte). Fysik, ingeniørstandard. π rad = 180°.

• 2π rad = 360° (præcist)
• π rad = 180°
• 1 rad ≈ 57,2958°
• Naturlig for matematik/fysik

Nygrad: 400 grad = cirkel (metrisk vinkel). 100 grad = ret vinkel. Milligrad: militær navigation - NATO bruger 6400 milligrader. USSR brugte 6000. Der findes forskellige standarder.

• 400 grad = 360°
• 100 grad = 90° (ret vinkel)
• Milligrad (NATO): 6400 pr. cirkel
• Milligrad (USSR): 6000 pr. cirkel

rad = grad × π/180. grad = rad × 180/π. nygrad = grad × 10/9. Brug altid radianer i calculus! Trigonometriske funktioner har brug for radianer til afledte.

• rad = grad × (π/180)
• grad = rad × (180/π)
• nygrad = grad × (10/9)
• Calculus kræver radianer

sin, cos, tan relaterer vinkler til forhold. Enhedscirkel: radius=1, vinkel=θ. Punktkoordinater: (cos θ, sin θ). Essentielt for fysik, ingeniørvidenskab, grafik.

• sin θ = modstående/hypotenuse
• cos θ = hosliggende/hypotenuse
• tan θ = modstående/hosliggende
• Enhedscirkel: (cos θ, sin θ)

Vinkler lægges sammen/trækkes fra normalt. 45° + 45° = 90°. Fuld rotation: læg til/træk fra 360° (eller 2π). Modulo-aritmetik til at 'wrappe': 370° = 10°.

• θ₁ + θ₂ (normal addition)
• Wrap: θ mod 360°
• 370° ≡ 10° (mod 360°)
• Negative vinkler: -90° = 270°

Kompaskurser: 0°=Nord, 90°=Øst, 180°=Syd, 270°=Vest. Militæret bruger milligrader for præcision. Kompasset har 32 streger (11,25° hver). GPS bruger decimalgrader.

• Kurser: 0-360° fra Nord
• NATO milligrad: 6400 pr. cirkel
• Kompasstreger: 32 (11,25° hver)
• GPS: decimalgrader

Stjernepositioner: præcision i buesekunder. Parallakse: millibuesekunder. Hubble: ~50 mas opløsning. Gaia-satellitten: mikrobuesekund præcision. Timevinkel: 24t = 360°.

• Buesekund: stjernepositioner
• Millibuesekund: parallakse, VLBI
• Mikrobuesekund: Gaia-satellitten
• Timevinkel: 15°/time

Hældning: procentvis stigning eller vinkel. 10% stigning ≈ 5,7°. Vejdesign bruger procent. Landmåling bruger grader/minutter/sekunder. Nygrad-systemet for metriske lande.

• Hældning: % eller grader
• 10% ≈ 5,7° (arctan 0,1)
• Landmåling: GMS (grad-minut-sekund)
• Nygrad: metrisk landmåling

rad = grad × π/180. grad = rad × 180/π. Hurtigt: 180° = π rad, så divider/multiplicer med dette forhold.

• rad = grad × 0,01745
• grad = rad × 57,2958
• π rad = 180° (præcist)
• 2π rad = 360° (præcist)

vinkel = arctan(hældning/100). 10% hældning = arctan(0,1) ≈ 5,71°. Omvendt: hældning = tan(vinkel) × 100.

• θ = arctan(stigning/100)
• 10% → arctan(0,1) = 5,71°
• 45° → tan(45°) = 100%
• Stejl: 100% = 45°

1° = 60′ (bueminut). 1′ = 60″ (buesekund). Total: 1° = 3600″. Hurtig underinddeling for præcision.

• 1° = 60 bueminutter
• 1′ = 60 buesekunder
• 1° = 3600 buesekunder
• GMS: grader-minutter-sekunder

En vej har en stigning på 8%. Hvad er vinklen?

θ = arctan(8/100) = arctan(0,08) ≈ 4,57°. En relativt svag hældning!

Naviger efter en kurs på 135°. Hvilken kompasretning er det?

0°=N, 90°=Ø, 180°=S, 270°=V. 135° er mellem Ø (90°) og S (180°). Retning: Sydøst (SØ).

En stjerne har flyttet sig 0,5 buesekunder. Hvor mange grader er det?

1″ = 1/3600°. Så 0,5″ = 0,5/3600 = 0,000139°. En lille bevægelse!

Babylonierne brugte et sexagesimalt (base-60) system. 360 har mange divisorer (24 faktorer!). Svarer cirka til 360 dage på et år. Praktisk for astronomi og tidsmåling. Kan også deles jævnt med 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

Radian er defineret ved buelængde = radius. Gør calculus smuk: d/dx(sin x) = cos x (kun i radianer!). I grader er d/dx(sin x) = (π/180)cos x (rodet). Naturen 'bruger' radianer!

Metrisk vinkel: 100 grad = ret vinkel. Forsøgt indført under den Franske Revolution med det metriske system. Blev aldrig populært—grader var for indgroede. Bruges stadig i visse landmålingsopgaver (Schweiz, Nordeuropa). Lommeregnere har en 'grad'-tilstand!

1 millibuesekund ≈ bredden af et menneskehår set fra 10 km afstand! Hubble-rumteleskopet kan opløse ~50 mas. Utrolig præcision for astronomi. Bruges til at måle stjerneparallakse, dobbeltstjerner.

Militær milligrad: 1 milligrad ≈ 1 m bredde på 1 km afstand (NATO: 1,02 m, tæt nok). Nem hovedregning til afstandsvurdering. Forskellige lande bruger forskellige milligrader (6000, 6300, 6400 pr. cirkel). Praktisk ballistisk enhed!

90 = 360/4 (kvart omgang). Men 'ret' kommer fra latin 'rectus' = oprejst, lige. En ret vinkel danner vinkelrette linjer. Essentielt for byggeri—bygninger har brug for rette vinkler for at stå!

Babylonierne brugte et sexagesimalt (base-60) talsystem til astronomi og tidsmåling. De delte cirklen i 360 dele, fordi 360 ≈ dage på et år (faktisk 365,25), og 360 har 24 divisorer—utroligt praktisk for brøker.

Dette base-60 system eksisterer stadig i dag: 60 sekunder pr. minut, 60 minutter pr. time og pr. grad. Tallet 360 kan faktoriseres som 2³ × 3² × 5, og kan deles jævnt med 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—en lommeregners drøm!

• 2000 f.Kr.: Babyloniske astronomer sporer himmelpositioner i grader
• 360° valgt for dets delelighed og ~års-tilnærmelse
• Base-60 giver os timer (24 = 360/15) og minutter/sekunder
• Græske astronomer adopterer 360° fra babyloniske tabeller

Euklids Elementer (300 f.Kr.) formaliserede vinkelgeometri—rette vinkler (90°), komplementære (sum til 90°), supplementære (sum til 180°). Græske matematikere som Hipparchos skabte trigonometri ved hjælp af grad-baserede tabeller til astronomi og landmåling.

Middelalderlige navigatører brugte astrolabiet og kompasset med 32 streger (hver 11,25°). Søfolk havde brug for præcise kurser; bueminutter (1/60°) og buesekunder (1/3600°) opstod til stjernekataloger og søkort.

• 300 f.Kr.: Euklids Elementer definerer geometriske vinkler
• 150 f.Kr.: Hipparchos skaber de første trigonometriske tabeller (grader)
• 1200-tallet: Astrolabiet bruger gradmarkeringer til himmelsk navigation
• 1569: Mercator-kortprojektion kræver vinkelbevarende matematik

Da Newton og Leibniz udviklede calculus (1670'erne), blev grader problematiske: d/dx(sin x) = (π/180)cos x i grader—en grim konstant! Roger Cotes (1682-1716) og Leonhard Euler formaliserede radianen: vinkel = buelængde / radius. Nu er d/dx(sin x) = cos x smukt.

James Thomson opfandt udtrykket 'radian' i 1873 (fra latin 'radius'). Radianen blev DEN enhed for matematisk analyse, fysik og ingeniørvidenskab. Alligevel fortsatte grader i dagligdagen, fordi mennesker foretrækker hele tal frem for π.

• 1670'erne: Calculus afslører, at grader skaber rodede formler
• 1714: Roger Cotes udvikler 'cirkulært mål' (før-radian)
• 1748: Euler bruger radianer i udstrakt grad i analyse
• 1873: Thomson navngiver den 'radian'; bliver matematisk standard

Første Verdenskrigs artilleri krævede praktiske vinkelenheder: milligraden blev født—1 milligrad ≈ 1 meter afvigelse på 1 km afstand. NATO standardiserede 6400 milligrader/cirkel (en pæn potens af 2), mens USSR brugte 6000 (decimal bekvemmelighed). Sand milliradian = 6283/cirkel.

Rumalderens astronomi opnåede millibuesekund-præcision (Hipparcos, 1989), derefter mikrobuesekunder (Gaia, 2013). Gaia måler stjerneparallakse til 20 mikrobuesekunder—svarende til at se et menneskehår fra 1.000 km afstand! Moderne fysik bruger radianer universelt; kun navigation og byggeri foretrækker stadig grader.

• 1916: Militært artilleri adopterer milligrad til afstandsberegninger
• 1960: SI anerkender radian som en kohærent afledt enhed
• 1989: Hipparcos-satellitten: ~1 millibuesekund præcision
• 2013: Gaia-satellitten: 20 mikrobuesekund præcision—kortlægger 1 milliard stjerner

Brug grader til: dagligdags vinkler, navigation, landmåling, byggeri. Brug radianer til: calculus, fysiske ligninger, programmering (trigonometriske funktioner). Radianer er 'naturlige', fordi buelængde = radius × vinkel. Afledte som d/dx(sin x) = cos x virker kun i radianer!

Cirklens omkreds = 2πr. Halv cirkel (lige linje) = πr. Radian er defineret som buelængde/radius. For en halv cirkel: bue = πr, radius = r, så vinkel = πr/r = π radianer. Derfor er π rad = 180° per definition.

Brug arctan: vinkel = arctan(stigning/100). Eksempel: 10% stigning = arctan(0,1) ≈ 5,71°. IKKE bare gange! 10% ≠ 10°. Omvendt: stigning = tan(vinkel) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% stigning.

Bueminut (′) = 1/60 af en grad (vinkel). Tidsminut = 1/60 af en time (tid). Helt forskellige! I astronomi omregnes 'tidsminut' til en vinkel: 1 min = 15 bueminutter (fordi 24t = 360°, så 1 min = 360°/1440 = 0,25° = 15′).

Milligrad blev designet, så 1 milligrad ≈ 1 meter på 1 km (praktisk ballistik). Sand matematisk milliradian = 1/1000 rad ≈ 6283 pr. cirkel. NATO forenklede det til 6400 (en potens af 2, kan let deles). USSR brugte 6000 (kan deles med 10). Sverige 6300 (kompromis). Alle er tæt på 2π×1000.

Ja! Positiv = mod uret (matematisk konvention). Negativ = med uret. -90° = 270° (samme position, forskellig retning). I navigation, brug intervallet 0-360°. I matematik/fysik er negative vinkler almindelige. Eksempel: -π/2 = -90° = 270°.