Конвертор Углова
Ugao — Od Stepena do Mikroarksekundi
Ovladajte jedinicama za ugao u matematici, astronomiji, navigaciji i inženjerstvu. Od stepena do radijana, od lučnih minuta do hiljaditih, razumite rotacije i šta brojevi znače u stvarnim primenama.
Osnove Uglova
Šta je Ugao?
Ugao meri rotaciju ili okretanje između dve linije. Zamislite otvaranje vrata ili okretanje točka. Meri se u stepenima (°), radijanima (rad) ili gradijanima. 360° = pun krug = jedna potpuna rotacija.
- Ugao = količina rotacije
- Pun krug = 360° = 2π rad
- Pravi ugao = 90° = π/2 rad
- Prava linija = 180° = π rad
Stepen naspram Radijana
Stepeni: krug podeljen na 360 delova (istorijski). Radijani: zasnovani na radijusu kruga. 2π radijana = 360°. Radijani su 'prirodni' za matematiku/fiziku. π rad = 180°, tako da je 1 rad ≈ 57.3°.
- 360° = 2π rad (pun krug)
- 180° = π rad (pola kruga)
- 90° = π/2 rad (pravi ugao)
- 1 rad ≈ 57.2958° (konverzija)
Druge Ugaone Jedinice
Gradijan: 100 grad = 90° (metrički ugao). Lučna minuta/sekunda: podela stepena (astronomija). Hiljaditi: vojna navigacija (6400 hiljaditih = krug). Svaka jedinica za specifičnu primenu.
- Gradijan: 400 grad = krug
- Lučna minuta: 1′ = 1/60°
- Lučna sekunda: 1″ = 1/3600°
- Hiljaditi (NATO): 6400 mil = krug
- Pun krug = 360° = 2π rad = 400 grad
- π rad = 180° (pola kruga)
- 1 rad ≈ 57.3°, 1° ≈ 0.01745 rad
- Radijani su prirodni za calculus/fiziku
Objašnjenje Sistema Jedinica
Sistem Stepena
360° po krugu (vavilonskog porekla - ~360 dana/godini). Podeljen: 1° = 60′ (lučnih minuta) = 3600″ (lučnih sekundi). Univerzalan za navigaciju, premeravanje, svakodnevnu upotrebu.
- 360° = pun krug
- 1° = 60 lučnih minuta (′)
- 1′ = 60 lučnih sekundi (″)
- Lako za ljude, istorijski
Sistem Radijana
Radijan: dužina luka = radijus. 2π rad = obim kruga/radijus. Prirodan za calculus (izvodi sin, cos). Standard u fizici, inženjerstvu. π rad = 180°.
- 2π rad = 360° (tačno)
- π rad = 180°
- 1 rad ≈ 57.2958°
- Prirodan za matematiku/fiziku
Gradijan i Vojni Sistem
Gradijan: 400 grad = krug (metrički ugao). 100 grad = pravi ugao. Hiljaditi: vojna navigacija - NATO koristi 6400 hiljaditih. SSSR je koristio 6000. Postoje različiti standardi.
- 400 grad = 360°
- 100 grad = 90° (pravi ugao)
- Hiljaditi (NATO): 6400 po krugu
- Hiljaditi (USSR): 6000 po krugu
Matematika Uglova
Ključne Konverzije
rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. grad = deg × 10/9. Uvek koristite radijane u calculusu! Trigonometrijske funkcije trebaju radijane za izvode.
- rad = deg × (π/180)
- deg = rad × (180/π)
- grad = deg × (10/9)
- Calculus zahteva radijane
Trigonometrija
sin, cos, tan povezuju uglove sa odnosima. Jedinični krug: radijus=1, ugao=θ. Koordinate tačke: (cos θ, sin θ). Osnovno za fiziku, inženjerstvo, grafiku.
- sin θ = suprotna/hipotenuza
- cos θ = susedna/hipotenuza
- tan θ = suprotna/susedna
- Jedinični krug: (cos θ, sin θ)
Sabiranje Uglova
Uglovi se sabiraju/oduzimaju normalno. 45° + 45° = 90°. Puna rotacija: dodati/oduzeti 360° (ili 2π). Modularna aritmetika za obmotavanje: 370° = 10°.
- θ₁ + θ₂ (normalno sabiranje)
- Obmotavanje: θ mod 360°
- 370° ≡ 10° (mod 360°)
- Negativni uglovi: -90° = 270°
Uobičajeni Uglovi
| Ugao | Stepen | Radijan | Napomene |
|---|---|---|---|
| Nula | 0° | 0 rad | Nema rotacije |
| Oštar | 30° | π/6 | Jednakostranični trougao |
| Oštar | 45° | π/4 | Pola pravog ugla |
| Oštar | 60° | π/3 | Jednakostranični trougao |
| Pravi | 90° | π/2 | Upravan, četvrtina okreta |
| Tupi | 120° | 2π/3 | Unutrašnjost šestougla |
| Tupi | 135° | 3π/4 | Spoljašnjost osmougla |
| Opružen | 180° | π | Pola kruga, prava linija |
| Ispupčen | 270° | 3π/2 | Tri četvrtine okreta |
| Pun | 360° | 2π | Potpuna rotacija |
| Lučna sekunda | 1″ | 4.85 µrad | Astronomska preciznost |
| Miliarksekunda | 0.001″ | 4.85 nrad | Hubble rezolucija |
| Mikroarksekunda | 0.000001″ | 4.85 prad | Satelit Gaia |
Ekvivalenti Uglova
| Opis | Stepen | Radijan | Gradijan |
|---|---|---|---|
| Pun krug | 360° | 2π ≈ 6.283 | 400 grad |
| Pola kruga | 180° | π ≈ 3.142 | 200 grad |
| Pravi ugao | 90° | π/2 ≈ 1.571 | 100 grad |
| Jedan radijan | ≈ 57.296° | 1 rad | ≈ 63.662 grad |
| Jedan stepen | 1° | ≈ 0.01745 rad | ≈ 1.111 grad |
| Jedan gradijan | 0.9° | ≈ 0.01571 rad | 1 grad |
| Lučna minuta | 1/60° | ≈ 0.000291 rad | 1/54 grad |
| Lučna sekunda | 1/3600° | ≈ 0.00000485 rad | 1/3240 grad |
| NATO hiljaditi | 0.05625° | ≈ 0.000982 rad | 0.0625 grad |
Primene u Stvarnom Svetu
Navigacija
Kompasni kursevi: 0°=Sever, 90°=Istok, 180°=Jug, 270°=Zapad. Vojska koristi hiljadite za preciznost. Kompas ima 32 tačke (svaka 11.25°). GPS koristi decimalne stepene.
- Kursevi: 0-360° od Severa
- NATO hiljaditi: 6400 po krugu
- Kompasne tačke: 32 (svaka 11.25°)
- GPS: decimalni stepeni
Astronomija
Položaji zvezda: preciznost lučnih sekundi. Paralalaksa: miliarksekunde. Hubble: ~50 mas rezolucija. Satelit Gaia: preciznost mikroarksekundi. Časovni ugao: 24h = 360°.
- Lučna sekunda: položaji zvezda
- Miliarksekunda: paralaksa, VLBI
- Mikroarksekunda: satelit Gaia
- Časovni ugao: 15°/sat
Inženjerstvo i Geodezija
Nagib: procentni nagib ili ugao. 10% nagib ≈ 5.7°. Dizajn puteva koristi procente. Geodezija koristi stepene/minute/sekunde. Gradijanski sistem za metričke zemlje.
- Nagib: % ili stepeni
- 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
- Geodezija: DMS (stepeni-minute-sekunde)
- Gradijan: metrička geodezija
Brza Matematika
Stepen ↔ Radijan
rad = deg × π/180. deg = rad × 180/π. Brzo: 180° = π rad, tako da podelite/pomnožite sa ovim odnosom.
- rad = deg × 0.01745
- deg = rad × 57.2958
- π rad = 180° (tačno)
- 2π rad = 360° (tačno)
Nagib u Ugao
ugao = arctan(nagib/100). 10% nagib = arctan(0.1) ≈ 5.71°. Obrnuto: nagib = tan(ugao) × 100.
- θ = arctan(nagib/100)
- 10% → arctan(0.1) = 5.71°
- 45° → tan(45°) = 100%
- Strmo: 100% = 45°
Lučne minute
1° = 60′ (lučna min). 1′ = 60″ (lučna sek). Ukupno: 1° = 3600″. Brza podela za preciznost.
- 1° = 60 lučnih minuta
- 1′ = 60 lučnih sekundi
- 1° = 3600 lučnih sekundi
- DMS: stepeni-minute-sekunde
Kako Konverzije Funkcionišu
- Korak 1: Izvor → stepeni
- Korak 2: Stepeni → cilj
- Radijan: deg × (π/180)
- Nagib: arctan(nagib/100)
- Lučne minute: deg × 60
Uobičajene Konverzije
| Iz | U | Formula | Primer |
|---|---|---|---|
| Stepen | Radijan | × π/180 | 90° = π/2 rad |
| Radijan | Stepen | × 180/π | π rad = 180° |
| Stepen | Gradijan | × 10/9 | 90° = 100 grad |
| Stepen | Lučna minuta | × 60 | 1° = 60′ |
| Lučna minuta | Lučna sekunda | × 60 | 1′ = 60″ |
| Stepen | Okret | ÷ 360 | 180° = 0.5 okreta |
| % nagib | Stepen | arctan(x/100) | 10% ≈ 5.71° |
| Stepen | Hiljaditi (NATO) | × 17.778 | 1° ≈ 17.78 mil |
Brzi Primeri
Rešeni Problemi
Nagib Puta
Put ima nagib od 8%. Koji je ugao?
θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°. Relativno blag nagib!
Kompasni Kurs
Navigirajte kursom od 135°. Koji je to kompasni pravac?
0°=S, 90°=I, 180°=J, 270°=Z. 135° je između I (90°) i J (180°). Pravac: Jugoistok (JI).
Položaj Zvezde
Zvezda se pomerila za 0.5 lučnih sekundi. Koliko je to stepeni?
1″ = 1/3600°. Dakle 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°. Malo pomeranje!
Uobičajene Greške
- **Režim radijana**: Kalkulator u režimu stepena kada koristite radijane = pogrešno! Proverite režim. sin(π) u režimu stepena ≠ sin(π) u režimu radijana.
- **Aproksimacija π**: π ≠ 3.14 tačno. Koristite dugme π ili Math.PI. 180° = π rad tačno, a ne 3.14 rad.
- **Negativni uglovi**: -90° ≠ nevažeće! Negativno = u smeru kazaljke na satu. -90° = 270° (idući u smeru kazaljke na satu od 0°).
- **Zbrka oko nagiba**: 10% nagib ≠ 10°! Mora se koristiti arctan. 10% ≈ 5.71°, a ne 10°. Uobičajena greška!
- **Lučna minuta ≠ vremenska minuta**: 1′ (lučna minuta) = 1/60°. 1 min (vremena) = različito! Nemojte mešati.
- **Puna rotacija**: 360° = 0° (ista pozicija). Uglovi su ciklični. 370° = 10°.
Zanimljivosti
Zašto 360 Stepeni?
Vavilonci su koristili sistem sa bazom 60 (seksagezimalni). 360 ima mnogo delilaca (24 faktora!). Približno odgovara broju od 360 dana u godini. Zgodno za astronomiju i merenje vremena. Takođe se deli ravnomerno sa 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...
Radijan je Prirodan
Radijan je definisan kao dužina luka = radijus. To čini calculus lepim: d/dx(sin x) = cos x (samo u radijanima!). U stepenima, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (zbrkano). Priroda 'koristi' radijane!
Gradijan je skoro uspeo
Metrički ugao: 100 grad = pravi ugao. Pokušano je tokom Francuske revolucije sa metričkim sistemom. Nikada nije postao popularan—stepeni su bili suviše ukorenjeni. Još uvek se koristi u nekim geodetskim poslovima (Švajcarska, severna Evropa). Kalkulatori imaju 'grad' režim!
Miliarksekunda = Ljudska kosa
1 miliarksekunda ≈ širina ljudske kose posmatrane sa 10 km udaljenosti! Svemirski teleskop Hubble može da razluči ~50 mas. Neverovatna preciznost za astronomiju. Koristi se za merenje zvezdane paralakse, dvojnih zvezda.
Hiljaditi za Artiljeriju
Vojni hiljaditi: 1 hiljaditi ≈ 1 m širine na 1 km udaljenosti (NATO: 1.02 m, dovoljno blizu). Lako mentalno računanje za procenu dometa. Različite zemlje koriste različite hiljadite (6000, 6300, 6400 po krugu). Praktična balistička jedinica!
Pravi Ugao = 90°, Zašto?
90 = 360/4 (četvrtina okreta). Ali 'pravi' dolazi od latinskog 'rectus' = uspravan, prav. Pravi ugao čini linije upravnim. Osnovno za gradnju—zgrade trebaju prave uglove da bi stajale!
Evolucija Merenja Ugla
Od drevne vavilonske astronomije do moderne satelitske preciznosti, merenje ugla je evoluiralo od praktičnog merenja vremena do osnove calculusa i kvantne mehanike. Krug od 360 stepeni, konvencija stara 4.000 godina, i dalje dominira uprkos matematičkoj eleganciji radijana.
2000. p.n.e. - 300. p.n.e.
Vavilonci su koristili seksagezimalni (baza-60) brojni sistem za astronomiju i merenje vremena. Podelili su krug na 360 delova jer je 360 ≈ broj dana u godini (zapravo 365.25), a 360 ima 24 delioca—neverovatno zgodno za razlomke.
Ovaj sistem sa bazom 60 opstaje i danas: 60 sekundi u minuti, 60 minuta u satu i u stepenu. Broj 360 se faktoriše kao 2³ × 3² × 5, deleći se ravnomerno sa 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180—san svakog kalkulatora!
- 2000. p.n.e.: Vavilonski astronomi prate nebeske pozicije u stepenima
- 360° izabrano zbog deljivosti i ~godišnje aproksimacije
- Baza-60 nam daje sate (24 = 360/15) i minute/sekunde
- Grčki astronomi usvajaju 360° iz vavilonskih tabela
300. p.n.e. - 1600. n.e.
Euklidovi Elementi (300. p.n.e.) su formalizovali geometriju uglova—pravi uglovi (90°), komplementarni (zbir do 90°), suplementarni (zbir do 180°). Grčki matematičari poput Hiparha stvorili su trigonometriju koristeći tabele zasnovane na stepenima za astronomiju i geodeziju.
Srednjovekovni navigatori su koristili astrolab i kompas sa 32 tačke (svaka 11.25°). Pomorcima su bili potrebni precizni kursevi; lučne minute (1/60°) i lučne sekunde (1/3600°) su se pojavile za zvezdane kataloge i pomorske karte.
- 300. p.n.e.: Euklidovi Elementi definišu geometrijske uglove
- 150. p.n.e.: Hiparh stvara prve trigonometrijske tabele (stepeni)
- 1200-te: Astrolab koristi oznake u stepenima za nebesku navigaciju
- 1569: Merkatorova projekcija karte zahteva matematiku koja čuva uglove
1600-te - 1800-te
Kako su Njutn i Lajbnic razvijali calculus (1670-ih), stepeni su postali problematični: d/dx(sin x) = (π/180)cos x u stepenima—ružna konstanta! Rodžer Kouts (1682-1716) i Leonard Ojler su formalizovali radijan: ugao = dužina luka / radijus. Sada je d/dx(sin x) = cos x prelepo.
Džejms Tomson je skovao termin 'radijan' 1873. godine (od latinskog 'radius'). Radijan je postao JEDINICA za matematičku analizu, fiziku i inženjerstvo. Ipak, stepeni su opstali u svakodnevnom životu jer ljudi više vole cele brojeve od π.
- 1670-te: Calculus otkriva da stepeni stvaraju zbrkane formule
- 1714: Rodžer Kouts razvija 'kružnu meru' (pre-radijan)
- 1748: Ojler obilato koristi radijane u analizi
- 1873: Tomson ga naziva 'radijan'; postaje matematički standard
1900-te - Danas
Artiljerija Prvog svetskog rata zahtevala je praktične ugaone jedinice: rođen je hiljaditi—1 hiljaditi ≈ 1 metar odstupanja na udaljenosti od 1 km. NATO je standardizovao 6400 hiljaditih/krugu (lep stepen dvojke), dok je SSSR koristio 6000 (decimalna pogodnost). Pravi miliradijan = 6283/krugu.
Astronomija svemirskog doba je postigla preciznost miliarksekundi (Hiparkos, 1989), a zatim mikroarksekundi (Gaia, 2013). Gaia meri zvezdanu paralaksu do 20 mikroarksekundi—ekvivalentno gledanju ljudske kose sa udaljenosti od 1.000 km! Moderna fizika koristi radijane univerzalno; samo navigacija i građevinarstvo i dalje preferiraju stepene.
- 1916: Vojna artiljerija usvaja hiljaditi za proračune dometa
- 1960: SI priznaje radijan kao koherentnu izvedenu jedinicu
- 1989: Satelit Hiparkos: ~1 miliarksekunda preciznosti
- 2013: Satelit Gaia: 20 mikroarksekundi preciznosti—mapira 1 milijardu zvezda
Profesionalni Saveti
- **Brzi radijan**: π rad = 180°. Pola kruga! Dakle π/2 = 90°, π/4 = 45°.
- **Mentalna matematika nagiba**: Mali nagibi: nagib% ≈ ugao° × 1.75. (10% ≈ 5.7°)
- **Lučna minuta**: 1° = 60′. Vaš palac na dužini ruke ≈ 2° ≈ 120′ širine.
- **Negativno = u smeru kazaljke na satu**: Pozitivni uglovi su suprotno od smera kazaljke na satu. -90° = 270° u smeru kazaljke na satu.
- **Modularno obmotavanje**: Slobodno dodajte/oduzmite 360°. 370° = 10°, -90° = 270°.
- **Jedinični krug**: cos = x, sin = y. Radijus = 1. Osnovno za trigonometriju!
- **Automatska naučna notacija**: Vrednosti < 0.000001° ili > 1.000.000.000° prikazuju se kao naučna notacija radi čitljivosti (neophodno za mikroarksekunde!).
Referenca Jedinica
Уобичајене Јединице
| Jedinica | Simbol | Stepen | Napomene |
|---|---|---|---|
| степен | ° | 1° (base) | Osnovna jedinica; 360° = krug. Univerzalni standard. |
| радијан | rad | 57.2958° | Prirodna jedinica; 2π rad = krug. Potrebno za calculus. |
| градијан (гон) | grad | 900.000000 m° | Metrički ugao; 400 grad = krug. Geodezija (Evropa). |
| окрет (револуција) | turn | 360.0000° | Puna rotacija; 1 okret = 360°. Jednostavan koncept. |
| револуција | rev | 360.0000° | Isto kao okret; 1 revolucija = 360°. Mehanički. |
| круг | circle | 360.0000° | Puna rotacija; 1 krug = 360°. |
| прави угао (квадрант) | ∟ | 90.0000° | Četvrtina okreta; 90°. Upravne linije. |
Лучни Минути и Лучне Секунде
| Jedinica | Simbol | Stepen | Napomene |
|---|---|---|---|
| лучни минут | ′ | 16.666667 m° | Lučna minuta; 1′ = 1/60°. Astronomija, navigacija. |
| лучна секунда | ″ | 277.777778 µ° | Lučna sekunda; 1″ = 1/3600°. Precizna astronomija. |
| милиарксекунда | mas | 2.778e-7° | 0.001″. Hubble preciznost (~50 mas rezolucija). |
| микроарксекунда | µas | 2.778e-10° | 0.000001″. Gaia satelit preciznost. Ultra-precizno. |
Навигација и Војска
| Jedinica | Simbol | Stepen | Napomene |
|---|---|---|---|
| тачка (компас) | point | 11.2500° | 32 tačke; 1 tačka = 11.25°. Tradicionalna navigacija. |
| хиљадити (НАТО) | mil | 56.250000 m° | 6400 po krugu; 1 mil ≈ 1 m na 1 km. Vojni standard. |
| хиљадити (СССР) | mil USSR | 60.000000 m° | 6000 po krugu. Ruski/sovjetski vojni standard. |
| хиљадити (Шведска) | streck | 57.142857 m° | 6300 po krugu. Skandinavski vojni standard. |
| бинарни степен | brad | 1.4063° | 256 po krugu; 1 brad ≈ 1.406°. Kompjuterska grafika. |
Астрономија и Небеска Тела
| Jedinica | Simbol | Stepen | Napomene |
|---|---|---|---|
| сатни угао | h | 15.0000° | 24h = 360°; 1h = 15°. Nebeske koordinate (RA). |
| минут времена | min | 250.000000 m° | 1 min = 15′ = 0.25°. Ugao zasnovan na vremenu. |
| секунда времена | s | 4.166667 m° | 1 s = 15″ ≈ 0.00417°. Precizan vremenski ugao. |
| знак (зодијак) | sign | 30.0000° | Zodijački znak; 12 znakova = 360°; 1 znak = 30°. Astrologija. |
Специјализовано и Инжењеринг
| Jedinica | Simbol | Stepen | Napomene |
|---|---|---|---|
| секстант | sextant | 60.0000° | 1/6 kruga; 60°. Geometrijska podela. |
| октант | octant | 45.0000° | 1/8 kruga; 45°. Geometrijska podela. |
| квадрант | quadrant | 90.0000° | 1/4 kruga; 90°. Isto kao pravi ugao. |
| проценат нагиба (нагиб) | % | formula | Procentni nagib; arctan(nagib/100) = ugao. Inženjerstvo. |
Često Postavljana Pitanja
Kada koristiti stepene, a kada radijane?
Koristite stepene za: svakodnevne uglove, navigaciju, geodeziju, građevinarstvo. Koristite radijane za: calculus, fizičke jednačine, programiranje (trigonometrijske funkcije). Radijani su 'prirodni' jer je dužina luka = radijus × ugao. Izvodi poput d/dx(sin x) = cos x rade samo u radijanima!
Zašto je π rad = 180° tačno?
Obim kruga = 2πr. Polukrug (prava linija) = πr. Radijan je definisan kao dužina luka/radijus. Za polukrug: luk = πr, radijus = r, tako da je ugao = πr/r = π radijana. Stoga, po definiciji je π rad = 180°.
Kako konvertovati procentni nagib u ugao?
Koristite arctan: ugao = arctan(nagib/100). Primer: 10% nagib = arctan(0.1) ≈ 5.71°. NE samo množiti! 10% ≠ 10°. Obrnuto: nagib = tan(ugao) × 100. 45° = tan(45°) × 100 = 100% nagib.
Koja je razlika između lučne minute i vremenske minute?
Lučna minuta (′) = 1/60 stepena (ugao). Vremenska minuta = 1/60 sata (vreme). Potpuno različito! U astronomiji, 'vremenska minuta' se konvertuje u ugao: 1 min = 15 lučnih minuta (jer je 24h = 360°, pa je 1 min = 360°/1440 = 0.25° = 15′).
Zašto različite zemlje koriste različite hiljadite?
Hiljaditi je dizajniran tako da je 1 hiljaditi ≈ 1 metar na 1 km (praktična balistika). Pravi matematički miliradijan = 1/1000 rad ≈ 6283 po krugu. NATO je to pojednostavio na 6400 (stepen dvojke, lepo se deli). SSSR je koristio 6000 (deli se sa 10). Švedska 6300 (kompromis). Svi su blizu 2π×1000.
Mogu li uglovi biti negativni?
Da! Pozitivno = suprotno od smera kazaljke na satu (matematička konvencija). Negativno = u smeru kazaljke na satu. -90° = 270° (ista pozicija, različit smer). U navigaciji se koristi opseg 0-360°. U matematici/fizici, negativni uglovi su uobičajeni. Primer: -π/2 = -90° = 270°.
Комплетан директоријум алата
Сви 71 алати доступни на UNITS