कोण परिवर्तक
कोण — डिग्री से माइक्रोआर्कसेकंड तक
गणित, खगोल विज्ञान, नेविगेशन और इंजीनियरिंग में कोण इकाइयों में महारत हासिल करें। डिग्री से रेडियन तक, आर्कमिनट से मिल्स तक, घुमावों और वास्तविक अनुप्रयोगों में संख्याओं का क्या मतलब है, इसे समझें।
कोणों के मूल सिद्धांत
कोण क्या है?
एक कोण दो रेखाओं के बीच घुमाव या मोड़ को मापता है। एक दरवाजा खोलने या एक पहिया घुमाने के बारे में सोचें। इसे डिग्री (°), रेडियन (rad), या ग्रेडियन में मापा जाता है। 360° = पूर्ण वृत्त = एक पूर्ण घुमाव।
- कोण = घुमाव की मात्रा
- पूर्ण वृत्त = 360° = 2π rad
- समकोण = 90° = π/2 rad
- सीधी रेखा = 180° = π rad
डिग्री बनाम रेडियन
डिग्री: वृत्त को 360 भागों में विभाजित किया गया है (ऐतिहासिक)। रेडियन: वृत्त की त्रिज्या पर आधारित। 2π रेडियन = 360°। रेडियन गणित/भौतिकी के लिए 'प्राकृतिक' हैं। π rad = 180°, इसलिए 1 rad ≈ 57.3°।
- 360° = 2π rad (पूर्ण वृत्त)
- 180° = π rad (आधा वृत्त)
- 90° = π/2 rad (समकोण)
- 1 rad ≈ 57.2958° (रूपांतरण)
अन्य कोण इकाइयाँ
ग्रेडियन: 100 ग्रेडियन = 90° (मीट्रिक कोण)। आर्कमिनट/आर्कसेकंड: डिग्री के उपखंड (खगोल विज्ञान)। मिल: सैन्य नेविगेशन (6400 मिल्स = वृत्त)। प्रत्येक इकाई एक विशिष्ट अनुप्रयोग के लिए है।
- ग्रेडियन: 400 ग्रेडियन = वृत्त
- आर्कमिनट: 1′ = 1/60°
- आर्कसेकंड: 1″ = 1/3600°
- मिल (NATO): 6400 मिल्स = वृत्त
- पूर्ण वृत्त = 360° = 2π rad = 400 grad
- π rad = 180° (आधा वृत्त)
- 1 rad ≈ 57.3°, 1° ≈ 0.01745 rad
- रेडियन कैलकुलस/भौतिकी के लिए प्राकृतिक हैं
इकाई प्रणालियों की व्याख्या
डिग्री प्रणाली
प्रति वृत्त 360° (बेबीलोनियन मूल - ~360 दिन/वर्ष)। उपविभाजित: 1° = 60′ (आर्कमिनट्स) = 3600″ (आर्कसेकंड्स)। नेविगेशन, सर्वेक्षण, रोजमर्रा के उपयोग के लिए सार्वभौमिक।
- 360° = पूर्ण वृत्त
- 1° = 60 आर्कमिनट्स (′)
- 1′ = 60 आर्कसेकंड्स (″)
- मनुष्यों के लिए आसान, ऐतिहासिक
रेडियन प्रणाली
रेडियन: चाप की लंबाई = त्रिज्या। 2π rad = वृत्त की परिधि/त्रिज्या। कैलकुलस (sin, cos के डेरिवेटिव) के लिए प्राकृतिक। भौतिकी, इंजीनियरिंग मानक। π rad = 180°।
- 2π rad = 360° (सटीक)
- π rad = 180°
- 1 rad ≈ 57.2958°
- गणित/भौतिकी के लिए प्राकृतिक
ग्रेडियन और सैन्य
ग्रेडियन: 400 ग्रेडियन = वृत्त (मीट्रिक कोण)। 100 ग्रेडियन = समकोण। मिल: सैन्य नेविगेशन - NATO 6400 मिल्स का उपयोग करता है। USSR 6000 का उपयोग करता था। विभिन्न मानक मौजूद हैं।
- 400 ग्रेडियन = 360°
- 100 ग्रेडियन = 90° (समकोण)
- मिल (NATO): प्रति वृत्त 6400
- मिल (USSR): प्रति वृत्त 6000
कोणों का गणित
मुख्य रूपांतरण
rad = डिग्री × π/180। डिग्री = rad × 180/π। ग्रेडियन = डिग्री × 10/9। कैलकुलस में हमेशा रेडियन का उपयोग करें! त्रिकोणमितीय कार्यों को डेरिवेटिव के लिए रेडियन की आवश्यकता होती है।
- rad = डिग्री × (π/180)
- डिग्री = rad × (180/π)
- ग्रेडियन = डिग्री × (10/9)
- कैलकुलस के लिए रेडियन की आवश्यकता है
त्रिकोणमिति
sin, cos, tan कोणों को अनुपातों से संबंधित करते हैं। इकाई वृत्त: त्रिज्या=1, कोण=θ। बिंदु के निर्देशांक: (cos θ, sin θ)। भौतिकी, इंजीनियरिंग, ग्राफिक्स के लिए आवश्यक।
- sin θ = विपरीत/कर्ण
- cos θ = आसन्न/कर्ण
- tan θ = विपरीत/आसन्न
- इकाई वृत्त: (cos θ, sin θ)
कोणों का जोड़
कोणों को सामान्य रूप से जोड़ा/घटाया जाता है। 45° + 45° = 90°। पूर्ण घुमाव: 360° (या 2π) जोड़ें/घटाएं। रैपिंग के लिए मॉड्यूलो अंकगणित: 370° = 10°।
- θ₁ + θ₂ (सामान्य जोड़)
- रैप: θ mod 360°
- 370° ≡ 10° (mod 360°)
- ऋणात्मक कोण: -90° = 270°
सामान्य कोण
| कोण | डिग्री | रेडियन | टिप्पणियाँ |
|---|---|---|---|
| शून्य | 0° | 0 rad | कोई घुमाव नहीं |
| न्यून | 30° | π/6 | समबाहु त्रिभुज |
| न्यून | 45° | π/4 | आधा समकोण |
| न्यून | 60° | π/3 | समबाहु त्रिभुज |
| समकोण | 90° | π/2 | लंबवत, चौथाई मोड़ |
| अधिक | 120° | 2π/3 | षट्भुज का आंतरिक कोण |
| अधिक | 135° | 3π/4 | अष्टभुज का बाहरी कोण |
| सीधा | 180° | π | आधा वृत्त, सीधी रेखा |
| प्रतिवर्ती | 270° | 3π/2 | तीन-चौथाई मोड़ |
| पूर्ण | 360° | 2π | पूर्ण घुमाव |
| आर्कसेकंड | 1″ | 4.85 µrad | खगोलीय परिशुद्धता |
| मिलीआर्कसेकंड | 0.001″ | 4.85 nrad | हबल रिज़ॉल्यूशन |
| माइक्रोआर्कसेकंड | 0.000001″ | 4.85 prad | गाया उपग्रह |
कोण के समकक्ष
| विवरण | डिग्री | रेडियन | ग्रेडियन |
|---|---|---|---|
| पूर्ण वृत्त | 360° | 2π ≈ 6.283 | 400 grad |
| आधा वृत्त | 180° | π ≈ 3.142 | 200 grad |
| समकोण | 90° | π/2 ≈ 1.571 | 100 grad |
| एक रेडियन | ≈ 57.296° | 1 rad | ≈ 63.662 grad |
| एक डिग्री | 1° | ≈ 0.01745 rad | ≈ 1.111 grad |
| एक ग्रेडियन | 0.9° | ≈ 0.01571 rad | 1 grad |
| आर्कमिनट | 1/60° | ≈ 0.000291 rad | 1/54 grad |
| आर्कसेकंड | 1/3600° | ≈ 0.00000485 rad | 1/3240 grad |
| NATO मिल | 0.05625° | ≈ 0.000982 rad | 0.0625 grad |
वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग
नेविगेशन
कम्पास बियरिंग्स: 0°=उत्तर, 90°=पूर्व, 180°=दक्षिण, 270°=पश्चिम। सैन्य परिशुद्धता के लिए मिल्स का उपयोग करता है। कम्पास में 32 बिंदु होते हैं (प्रत्येक 11.25°)। GPS दशमलव डिग्री का उपयोग करता है।
- बियरिंग्स: उत्तर से 0-360°
- NATO मिल: प्रति वृत्त 6400
- कम्पास बिंदु: 32 (प्रत्येक 11.25°)
- GPS: दशमलव डिग्री
खगोल विज्ञान
तारों की स्थिति: आर्कसेकंड परिशुद्धता। लंबन: मिलीआर्कसेकंड। हबल: ~50 mas रिज़ॉल्यूशन। गाया उपग्रह: माइक्रोआर्कसेकंड परिशुद्धता। घंटे का कोण: 24h = 360°।
- आर्कसेकंड: तारों की स्थिति
- मिलीआर्कसेकंड: लंबन, VLBI
- माइक्रोआर्कसेकंड: गाया उपग्रह
- घंटे का कोण: 15°/घंटा
इंजीनियरिंग और सर्वेक्षण
ढलान: प्रतिशत ग्रेड या कोण। 10% ग्रेड ≈ 5.7°। सड़क डिजाइन प्रतिशत का उपयोग करता है। सर्वेक्षण डिग्री/मिनट/सेकंड का उपयोग करता है। मीट्रिक देशों के लिए ग्रेडियन प्रणाली।
- ढलान: % या डिग्री
- 10% ≈ 5.7° (arctan 0.1)
- सर्वेक्षण: DMS (डिग्री-मिनट-सेकंड)
- ग्रेडियन: मीट्रिक सर्वेक्षण
त्वरित गणित
डिग्री ↔ रेडियन
rad = डिग्री × π/180। डिग्री = rad × 180/π। त्वरित: 180° = π rad, इसलिए इस अनुपात से विभाजित/गुणा करें।
- rad = डिग्री × 0.01745
- डिग्री = rad × 57.2958
- π rad = 180° (सटीक)
- 2π rad = 360° (सटीक)
ढलान को कोण में
कोण = arctan(ढलान/100)। 10% ढलान = arctan(0.1) ≈ 5.71°। उलटा: ढलान = tan(कोण) × 100।
- θ = arctan(ग्रेड/100)
- 10% → arctan(0.1) = 5.71°
- 45° → tan(45°) = 100%
- खड़ी ढलान: 100% = 45°
आर्कमिनट्स
1° = 60′ (आर्कमिनट)। 1′ = 60″ (आर्कसेकंड)। कुल: 1° = 3600″। परिशुद्धता के लिए त्वरित उपखंड।
- 1° = 60 आर्कमिनट्स
- 1′ = 60 आर्कसेकंड्स
- 1° = 3600 आर्कसेकंड्स
- DMS: डिग्री-मिनट-सेकंड
रूपांतरण कैसे काम करते हैं
- चरण 1: स्रोत → डिग्री
- चरण 2: डिग्री → लक्ष्य
- रेडियन: डिग्री × (π/180)
- ढलान: arctan(ग्रेड/100)
- आर्कमिनट्स: डिग्री × 60
सामान्य रूपांतरण
| से | में | सूत्र | उदाहरण |
|---|---|---|---|
| डिग्री | रेडियन | × π/180 | 90° = π/2 rad |
| रेडियन | डिग्री | × 180/π | π rad = 180° |
| डिग्री | ग्रेडियन | × 10/9 | 90° = 100 grad |
| डिग्री | आर्कमिनट | × 60 | 1° = 60′ |
| आर्कमिनट | आर्कसेकंड | × 60 | 1′ = 60″ |
| डिग्री | घुमाव | ÷ 360 | 180° = 0.5 घुमाव |
| % ग्रेड | डिग्री | arctan(x/100) | 10% ≈ 5.71° |
| डिग्री | मिल (NATO) | × 17.778 | 1° ≈ 17.78 मिल |
त्वरित उदाहरण
हल की गई समस्याएँ
सड़क की ढलान
एक सड़क में 8% ग्रेड है। कोण क्या है?
θ = arctan(8/100) = arctan(0.08) ≈ 4.57°। अपेक्षाकृत कोमल ढलान!
कम्पास बियरिंग
135° बियरिंग पर नेविगेट करें। कम्पास की दिशा क्या है?
0°=उ, 90°=पू, 180°=द, 270°=प। 135° पू (90°) और द (180°) के बीच है। दिशा: दक्षिण-पूर्व (SE)।
तारे की स्थिति
एक तारा 0.5 आर्कसेकंड चला। यह कितने डिग्री है?
1″ = 1/3600°। तो 0.5″ = 0.5/3600 = 0.000139°। छोटी सी हलचल!
सामान्य गलतियाँ
- **रेडियन मोड**: रेडियन का उपयोग करते समय कैलकुलेटर डिग्री मोड में = गलत! मोड जांचें। डिग्री मोड में sin(π) ≠ रेडियन मोड में sin(π)।
- **π का सन्निकटन**: π ≠ 3.14 बिल्कुल। π बटन या Math.PI का उपयोग करें। 180° = π rad बिल्कुल, 3.14 rad नहीं।
- **ऋणात्मक कोण**: -90° ≠ अमान्य! ऋणात्मक = दक्षिणावर्त। -90° = 270° (0° से दक्षिणावर्त जा रहा है)।
- **ढलान भ्रम**: 10% ग्रेड ≠ 10°! arctan का उपयोग करना चाहिए। 10% ≈ 5.71°, 10° नहीं। सामान्य त्रुटि!
- **आर्कमिनट ≠ समय मिनट**: 1′ (आर्कमिनट) = 1/60°। 1 मिनट (समय) = अलग! भ्रमित न हों।
- **पूर्ण घुमाव**: 360° = 0° (समान स्थिति)। कोण चक्रीय हैं। 370° = 10°।
मजेदार तथ्य
360 डिग्री क्यों?
बेबीलोनियन आधार-60 (सेक्सजेसिमल) प्रणाली का उपयोग करते थे। 360 के कई विभाजक हैं (24 कारक!)। यह वर्ष में लगभग 360 दिनों से मेल खाता है। खगोल विज्ञान और समय-निर्धारण के लिए सुविधाजनक। यह 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12... से भी समान रूप से विभाजित होता है।
रेडियन प्राकृतिक है
रेडियन को चाप की लंबाई = त्रिज्या द्वारा परिभाषित किया गया है। यह कैलकुलस को सुंदर बनाता है: d/dx(sin x) = cos x (केवल रेडियन में!)। डिग्री में, d/dx(sin x) = (π/180)cos x (गन्दा)। प्रकृति 'रेडियन' का उपयोग करती है!
ग्रेडियन लगभग पकड़ में आ गया था
मीट्रिक कोण: 100 ग्रेडियन = समकोण। फ्रांसीसी क्रांति के दौरान मीट्रिक प्रणाली के साथ प्रयास किया गया। कभी लोकप्रिय नहीं हुआ—डिग्री बहुत गहरी जड़ें जमा चुकी थीं। अभी भी कुछ सर्वेक्षणों में उपयोग किया जाता है (स्विट्जरलैंड, उत्तरी यूरोप)। कैलकुलेटर में 'ग्रेड' मोड होता है!
मिलीआर्कसेकंड = मानव बाल
1 मिलीआर्कसेकंड ≈ 10 किमी दूर से देखे गए मानव बाल की चौड़ाई! हबल स्पेस टेलीस्कोप ~50 mas को हल कर सकता है। खगोल विज्ञान के लिए अविश्वसनीय परिशुद्धता। तारकीय लंबन, बाइनरी सितारों को मापने के लिए उपयोग किया जाता है।
तोपखाने के लिए मिल
सैन्य मिल: 1 मिल ≈ 1 किमी की दूरी पर 1 मीटर की चौड़ाई (NATO: 1.02 मीटर, काफी करीब)। रेंज अनुमान के लिए आसान मानसिक गणित। विभिन्न देश विभिन्न मिल्स का उपयोग करते हैं (प्रति वृत्त 6000, 6300, 6400)। व्यावहारिक बैलिस्टिक्स इकाई!
समकोण = 90°, क्यों?
90 = 360/4 (चौथाई मोड़)। लेकिन 'सम' लैटिन 'रेक्टस' = सीधा, खड़ा से आता है। समकोण लंबवत रेखाएँ बनाता है। निर्माण के लिए आवश्यक—इमारतों को खड़ा रहने के लिए समकोण की आवश्यकता होती है!
कोण मापन का विकास
प्राचीन बेबीलोनियन खगोल विज्ञान से लेकर आधुनिक उपग्रह परिशुद्धता तक, कोण मापन व्यावहारिक समय-निर्धारण से कैलकुलस और क्वांटम यांत्रिकी की नींव तक विकसित हुआ है। 360-डिग्री वृत्त, एक 4,000 साल पुरानी परंपरा, रेडियन की गणितीय सुंदरता के बावजूद अभी भी हावी है।
2000 ईसा पूर्व - 300 ईसा पूर्व
बेबीलोनियन खगोल विज्ञान और समय-निर्धारण के लिए एक सेक्सजेसिमल (आधार-60) संख्या प्रणाली का उपयोग करते थे। उन्होंने वृत्त को 360 भागों में विभाजित किया क्योंकि 360 ≈ एक वर्ष में दिन (वास्तव में 365.25), और 360 के 24 विभाजक हैं—अविश्वसनीय रूप से भिन्नों के लिए सुविधाजनक।
यह आधार-60 प्रणाली आज भी बनी हुई है: प्रति मिनट 60 सेकंड, प्रति घंटे 60 मिनट और प्रति डिग्री। संख्या 360 को 2³ × 3² × 5 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, जो 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 से समान रूप से विभाजित होता है—एक कैलकुलेटर का सपना!
- 2000 ईसा पूर्व: बेबीलोनियन खगोलविद डिग्री में आकाशीय स्थितियों को ट्रैक करते हैं
- 360° को विभाज्यता और ~वर्ष सन्निकटन के लिए चुना गया
- आधार-60 हमें घंटे (24 = 360/15) और मिनट/सेकंड देता है
- ग्रीक खगोलविदों ने बेबीलोनियन तालिकाओं से 360° को अपनाया
300 ईसा पूर्व - 1600 ईस्वी
यूक्लिड के 'एलिमेंट्स' (300 ईसा पूर्व) ने कोण ज्यामिति को औपचारिक रूप दिया—समकोण (90°), पूरक (योग 90°), संपूरक (योग 180°)। हिप्पार्कस जैसे ग्रीक गणितज्ञों ने खगोल विज्ञान और सर्वेक्षण के लिए डिग्री-आधारित तालिकाओं का उपयोग करके त्रिकोणमिति बनाई।
मध्यकालीन नाविकों ने 32 बिंदुओं (प्रत्येक 11.25°) के साथ एस्ट्रोलैब और कम्पास का उपयोग किया। नाविकों को सटीक बियरिंग की आवश्यकता थी; आर्कमिनट्स (1/60°) और आर्कसेकंड्स (1/3600°) तारकीय कैटलॉग और समुद्री चार्ट के लिए उभरे।
- 300 ईसा पूर्व: यूक्लिड के 'एलिमेंट्स' ज्यामितीय कोणों को परिभाषित करते हैं
- 150 ईसा पूर्व: हिप्पार्कस पहली त्रिकोणमितीय सारणी (डिग्री) बनाता है
- 1200 के दशक: एस्ट्रोलैब आकाशीय नेविगेशन के लिए डिग्री चिह्नों का उपयोग करता है
- 1569: मर्केटर मानचित्र प्रक्षेपण को कोण-संरक्षण गणित की आवश्यकता है
1600 - 1800 के दशक
जैसे ही न्यूटन और लाइबनिज ने कैलकुलस (1670 के दशक) विकसित किया, डिग्री समस्याग्रस्त हो गई: डिग्री में d/dx(sin x) = (π/180)cos x—एक भद्दा स्थिरांक! रोजर कोट्स (1682-1716) और लिओनहार्ड यूलर ने रेडियन को औपचारिक रूप दिया: कोण = चाप की लंबाई / त्रिज्या। अब d/dx(sin x) = cos x खूबसूरती से।
जेम्स थॉमसन ने 1873 में 'रेडियन' शब्द गढ़ा (लैटिन 'रेडियस' से)। रेडियन गणितीय विश्लेषण, भौतिकी और इंजीनियरिंग के लिए इकाई बन गया। फिर भी डिग्री रोजमर्रा की जिंदगी में बनी रही क्योंकि मनुष्य π पर पूर्णांक पसंद करते हैं।
- 1670 के दशक: कैलकुलस से पता चलता है कि डिग्री गंदे सूत्र बनाती है
- 1714: रोजर कोट्स ने 'वृत्ताकार माप' (पूर्व-रेडियन) विकसित किया
- 1748: यूलर विश्लेषण में रेडियन का व्यापक उपयोग करता है
- 1873: थॉमसन ने इसे 'रेडियन' नाम दिया; गणितीय मानक बन गया
1900 - वर्तमान
प्रथम विश्व युद्ध की तोपखाने को व्यावहारिक कोण इकाइयों की आवश्यकता थी: मिल का जन्म हुआ—1 मिल ≈ 1 किमी की दूरी पर 1 मीटर का विचलन। NATO ने 6400 मिल्स/वृत्त को मानकीकृत किया (2 की एक अच्छी शक्ति), जबकि USSR ने 6000 का उपयोग किया (दशमलव सुविधा)। सच्चा मिलीरेडियन = 6283/वृत्त।
अंतरिक्ष-युग के खगोल विज्ञान ने मिलीआर्कसेकंड परिशुद्धता (हिप्पारकोस, 1989), फिर माइक्रोआर्कसेकंड (गाया, 2013) हासिल की। गाया 20 माइक्रोआर्कसेकंड तक तारकीय लंबन को मापता है—1,000 किमी दूर से एक मानव बाल को देखने के बराबर! आधुनिक भौतिकी सार्वभौमिक रूप से रेडियन का उपयोग करती है; केवल नेविगेशन और निर्माण अभी भी डिग्री पसंद करते हैं।
- 1916: सैन्य तोपखाने ने रेंज गणना के लिए मिल को अपनाया
- 1960: SI ने रेडियन को एक सुसंगत व्युत्पन्न इकाई के रूप में मान्यता दी
- 1989: हिप्पारकोस उपग्रह: ~1 मिलीआर्कसेकंड परिशुद्धता
- 2013: गाया उपग्रह: 20 माइक्रोआर्कसेकंड परिशुद्धता—1 अरब तारों का मानचित्रण
प्रो टिप्स
- **त्वरित रेडियन**: π rad = 180°। आधा वृत्त! तो π/2 = 90°, π/4 = 45°।
- **ढलान मानसिक गणित**: छोटी ढलानें: ग्रेड% ≈ कोण° × 1.75। (10% ≈ 5.7°)
- **आर्कमिनट**: 1° = 60′। आपका अंगूठा हाथ की लंबाई पर ≈ 2° ≈ 120′ चौड़ा।
- **ऋणात्मक = दक्षिणावर्त**: धनात्मक कोण वामावर्त। -90° = 270° दक्षिणावर्त।
- **मॉड्यूलो रैप**: 360° को स्वतंत्र रूप से जोड़ें/घटाएं। 370° = 10°, -90° = 270°।
- **इकाई वृत्त**: cos = x, sin = y। त्रिज्या = 1। त्रिकोणमिति के लिए मौलिक!
- **वैज्ञानिक संकेतन ऑटो**: 0.000001° से कम या 1,000,000,000° से अधिक मान पठनीयता के लिए वैज्ञानिक संकेतन के रूप में प्रदर्शित होते हैं (माइक्रोआर्कसेकंड के लिए आवश्यक!)।
इकाइयों का संदर्भ
सामान्य इकाइयाँ
| इकाई | प्रतीक | डिग्री | टिप्पणियाँ |
|---|---|---|---|
| डिग्री | ° | 1° (base) | आधार इकाई; 360° = वृत्त। सार्वभौमिक मानक। |
| रेडियन | rad | 57.2958° | प्राकृतिक इकाई; 2π rad = वृत्त। कैलकुलस के लिए आवश्यक। |
| ग्रेडियन (गॉन) | grad | 900.000000 m° | मीट्रिक कोण; 400 ग्रेडियन = वृत्त। सर्वेक्षण (यूरोप)। |
| टर्न (चक्कर) | turn | 360.0000° | पूर्ण घुमाव; 1 घुमाव = 360°। सरल अवधारणा। |
| चक्कर | rev | 360.0000° | घुमाव के समान; 1 क्रांति = 360°। यांत्रिक। |
| वृत्त | circle | 360.0000° | पूर्ण घुमाव; 1 वृत्त = 360°। |
| समकोण (चतुर्थांश) | ∟ | 90.0000° | चौथाई मोड़; 90°। लंबवत रेखाएँ। |
आर्कमिनट और आर्कसेकंड
| इकाई | प्रतीक | डिग्री | टिप्पणियाँ |
|---|---|---|---|
| आर्क का मिनट (आर्कमिनट) | ′ | 16.666667 m° | आर्कमिनट; 1′ = 1/60°। खगोल विज्ञान, नेविगेशन। |
| आर्क का सेकंड (आर्कसेकंड) | ″ | 277.777778 µ° | आर्कसेकंड; 1″ = 1/3600°। सटीक खगोल विज्ञान। |
| मिलीआर्कसेकंड | mas | 2.778e-7° | 0.001″। हबल परिशुद्धता (~50 mas रिज़ॉल्यूशन)। |
| माइक्रोआर्कसेकंड | µas | 2.778e-10° | 0.000001″। गाया उपग्रह परिशुद्धता। अति-सटीक। |
नेविगेशन और सैन्य
| इकाई | प्रतीक | डिग्री | टिप्पणियाँ |
|---|---|---|---|
| बिंदु (कम्पास) | point | 11.2500° | 32 बिंदु; 1 बिंदु = 11.25°। पारंपरिक नेविगेशन। |
| मिल (नाटो) | mil | 56.250000 m° | प्रति वृत्त 6400; 1 मिल ≈ 1 किमी पर 1 मीटर। सैन्य मानक। |
| मिल (यूएसएसआर) | mil USSR | 60.000000 m° | प्रति वृत्त 6000। रूसी/सोवियत सैन्य मानक। |
| मिल (स्वीडन) | streck | 57.142857 m° | प्रति वृत्त 6300। स्कैंडिनेवियाई सैन्य मानक। |
| बाइनरी डिग्री | brad | 1.4063° | प्रति वृत्त 256; 1 brad ≈ 1.406°। कंप्यूटर ग्राफिक्स। |
खगोल विज्ञान और खगोलीय
| इकाई | प्रतीक | डिग्री | टिप्पणियाँ |
|---|---|---|---|
| घंटा कोण | h | 15.0000° | 24h = 360°; 1h = 15°। खगोलीय निर्देशांक (RA)। |
| समय का मिनट | min | 250.000000 m° | 1 मिनट = 15′ = 0.25°। समय-आधारित कोण। |
| समय का सेकंड | s | 4.166667 m° | 1 सेकंड = 15″ ≈ 0.00417°। सटीक समय कोण। |
| संकेत (राशि) | sign | 30.0000° | राशि चिन्ह; 12 राशियाँ = 360°; 1 राशि = 30°। ज्योतिष। |
विशेष और इंजीनियरिंग
| इकाई | प्रतीक | डिग्री | टिप्पणियाँ |
|---|---|---|---|
| सेक्सटैंट | sextant | 60.0000° | 1/6 वृत्त; 60°। ज्यामितीय विभाजन। |
| ऑक्टेंट | octant | 45.0000° | 1/8 वृत्त; 45°। ज्यामितीय विभाजन। |
| चतुर्थांश | quadrant | 90.0000° | 1/4 वृत्त; 90°। समकोण के समान। |
| प्रतिशत ग्रेड (ढलान) | % | formula | प्रतिशत ग्रेड; arctan(ग्रेड/100) = कोण। इंजीनियरिंग। |
FAQ
डिग्री बनाम रेडियन का उपयोग कब करें?
डिग्री का उपयोग करें: रोजमर्रा के कोण, नेविगेशन, सर्वेक्षण, निर्माण के लिए। रेडियन का उपयोग करें: कैलकुलस, भौतिकी समीकरण, प्रोग्रामिंग (त्रिकोणमितीय कार्य) के लिए। रेडियन 'प्राकृतिक' हैं क्योंकि चाप की लंबाई = त्रिज्या × कोण। d/dx(sin x) = cos x जैसे डेरिवेटिव केवल रेडियन में काम करते हैं!
π rad = 180° बिल्कुल क्यों है?
वृत्त की परिधि = 2πr। आधा वृत्त (सीधी रेखा) = πr। रेडियन को चाप की लंबाई/त्रिज्या के रूप में परिभाषित किया गया है। आधे वृत्त के लिए: चाप = πr, त्रिज्या = r, इसलिए कोण = πr/r = π रेडियन। इसलिए, परिभाषा के अनुसार π rad = 180° है।
ढलान प्रतिशत को कोण में कैसे परिवर्तित करें?
arctan का उपयोग करें: कोण = arctan(ग्रेड/100)। उदाहरण: 10% ग्रेड = arctan(0.1) ≈ 5.71°। बस गुणा न करें! 10% ≠ 10°। उलटा: ग्रेड = tan(कोण) × 100। 45° = tan(45°) × 100 = 100% ग्रेड।
आर्कमिनट और समय मिनट के बीच क्या अंतर है?
आर्कमिनट (′) = एक डिग्री का 1/60 (कोण)। समय मिनट = एक घंटे का 1/60 (समय)। पूरी तरह से अलग! खगोल विज्ञान में, 'समय मिनट' को कोण में परिवर्तित किया जाता है: 1 मिनट = 15 आर्कमिनट्स (क्योंकि 24h = 360°, इसलिए 1 मिनट = 360°/1440 = 0.25° = 15′)।
विभिन्न देश विभिन्न मिल्स का उपयोग क्यों करते हैं?
मिल को इस तरह से डिज़ाइन किया गया था कि 1 मिल ≈ 1 किमी पर 1 मीटर (व्यावहारिक बैलिस्टिक्स)। सच्चा गणितीय मिलीरेडियन = 1/1000 रेडियन ≈ 6283 प्रति वृत्त। NATO ने इसे 6400 (2 की शक्ति, अच्छी तरह से विभाजित होता है) में सरल बनाया। USSR ने 6000 (10 से विभाजित होता है) का उपयोग किया। स्वीडन 6300 (समझौता)। सभी 2π×1000 के करीब हैं।
क्या कोण ऋणात्मक हो सकते हैं?
हाँ! धनात्मक = वामावर्त (गणितीय परंपरा)। ऋणात्मक = दक्षिणावर्त। -90° = 270° (समान स्थिति, अलग दिशा)। नेविगेशन में, 0-360° रेंज का उपयोग करें। गणित/भौतिकी में, ऋणात्मक कोण आम हैं। उदाहरण: -π/2 = -90° = 270°।
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