Calculadora d'Equacions Quadràtiques
Resol equacions quadràtiques ax² + bx + c = 0 amb solucions detallades pas a pas i anàlisi gràfica
Com Utilitzar la Calculadora d'Equacions Quadràtiques
- Introdueix els coeficients a, b i c per a la teva equació quadràtica ax² + bx + c = 0
- Tingues en compte que el coeficient 'a' no pot ser zero (altrament no és quadràtica)
- Utilitza els botons d'exemple per provar diferents tipus d'equacions quadràtiques
- Visualitza l'equació en temps real per veure-la formatada correctament
- Comprova el discriminant per entendre quin tipus de solucions esperar
- Revisa la solució pas a pas per entendre el procés de resolució
- Examina el vèrtex i l'eix de simetria per a una comprensió gràfica
Comprenent les Equacions Quadràtiques
Una equació quadràtica és una equació polinòmica de grau 2, escrita en la forma estàndard ax² + bx + c = 0, on a ≠ 0.
Coeficient 'a'
El coeficient de x². Determina si la paràbola s'obre cap amunt (a > 0) o cap avall (a < 0).
Importance: No pot ser zero. Un |a| més gran fa la paràbola més estreta.
Coeficient 'b'
El coeficient de x. Afecta la posició horitzontal del vèrtex i l'eix de simetria.
Importance: Pot ser zero. Combinat amb 'a', determina la coordenada x del vèrtex: x = -b/(2a).
Coeficient 'c'
El terme constant. Representa la intersecció amb l'eix y de la paràbola (on creua l'eix y).
Importance: Pot ser zero. El punt (0, c) és on la paràbola intersecta l'eix y.
La Fórmula Quadràtica
La fórmula quadràtica és un mètode universal per resoldre qualsevol equació quadràtica ax² + bx + c = 0.
Δ = b² - 4ac
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Discriminant: Δ = b² - 4ac
El discriminant (Δ) determina la naturalesa i el nombre de solucions
-b
Negatiu del coeficient b
Purpose: Centra les solucions al voltant de l'eix de simetria
±√Δ
Més/menys l'arrel quadrada del discriminant
Purpose: Determina a quina distància es troben les solucions del centre
2a
El doble del coeficient principal
Purpose: Escala les solucions basant-se en l'amplada de la paràbola
Comprenent el Discriminant
El discriminant Δ = b² - 4ac ens informa sobre la naturalesa de les solucions abans de calcular-les.
Δ > 0
Resultat: Dues solucions reals diferents
La paràbola creua l'eix x en dos punts. Les solucions són nombres reals.
Exemple: x² - 5x + 6 = 0 té Δ = 25 - 24 = 1 > 0, per tant existeixen dues solucions reals.
Gràficament: La paràbola intersecta l'eix x dues vegades
Δ = 0
Resultat: Una solució real repetida
La paràbola toca l'eix x en exactament un punt (vèrtex sobre l'eix x).
Exemple: x² - 4x + 4 = 0 té Δ = 16 - 16 = 0, per tant una solució repetida x = 2.
Gràficament: La paràbola toca l'eix x al vèrtex
Δ < 0
Resultat: Dues solucions complexes
La paràbola no creua l'eix x. Les solucions involucren nombres imaginaris.
Exemple: x² + 2x + 5 = 0 té Δ = 4 - 20 = -16 < 0, per tant existeixen solucions complexes.
Gràficament: La paràbola no intersecta l'eix x
Mètodes per Resoldre Equacions Quadràtiques
Fórmula Quadràtica
Quan utilitzar: Sempre funciona per a qualsevol equació quadràtica
Passos:
- Identificar a, b, c
- Calcular el discriminant Δ = b² - 4ac
- Aplicar la fórmula x = (-b ± √Δ)/(2a)
Avantatges: Mètode universal, mostra el discriminant
Desavantatges: Pot implicar aritmètica complexa
Factorització
Quan utilitzar: Quan l'equació es pot factoritzar fàcilment
Passos:
- Factoritzar ax² + bx + c en (px + q)(rx + s)
- Igualar cada factor a zero
- Resoldre px + q = 0 i rx + s = 0
Avantatges: Ràpid quan la factorització és evident
Desavantatges: No totes les quadràtiques es factoritzen fàcilment
Completant el Quadrat
Quan utilitzar: En convertir a la forma del vèrtex o en la derivació de la fórmula quadràtica
Passos:
- Reorganitzar a x² + (b/a)x = -c/a
- Afegir (b/2a)² a banda i banda
- Factoritzar el costat esquerre com un quadrat perfecte
Avantatges: Mostra la forma del vèrtex, bo per a la comprensió
Desavantatges: Més passos que la fórmula quadràtica
Representació Gràfica
Quan utilitzar: Per a la comprensió visual o solucions aproximades
Passos:
- Representar la paràbola y = ax² + bx + c
- Trobar les interseccions amb l'eix x on y = 0
- Llegir les solucions del gràfic
Avantatges: Visual, mostra totes les propietats
Desavantatges: Pot no donar valors exactes
Aplicacions de les Equacions Quadràtiques en el Món Real
Física - Moviment de Projectils
L'alçada dels objectes llançats segueix equacions quadràtiques
Equació: h(t) = -16t² + v₀t + h₀
Variables: h = alçada, t = temps, v₀ = velocitat inicial, h₀ = alçada inicial
Problema: Quan impacta el projectil a terra? (resoleu per a t quan h = 0)
Negocis - Optimització de Beneficis
Els ingressos i els beneficis sovint segueixen models quadràtics
Equació: P(x) = -ax² + bx - c
Variables: P = benefici, x = quantitat venuda, els coeficients depenen dels costos
Problema: Trobar la quantitat que maximitza el benefici (vèrtex de la paràbola)
Enginyeria - Disseny de Ponts
Els arcs parabòlics distribueixen el pes de manera eficient
Equació: y = ax² + bx + c
Variables: Descriu la corba dels cables dels ponts penjants
Problema: Dissenyar la forma del cable per a una distribució òptima de la càrrega
Agricultura - Optimització d'Àrees
Maximitzar l'àrea amb un perímetre fix
Equació: A = x(P - 2x)/2 = -x² + (P/2)x
Variables: A = àrea, x = amplada, P = tanca disponible
Problema: Trobar les dimensions que maximitzen l'àrea tancada
Tecnologia - Processament de Senyals
Equacions quadràtiques en filtres digitals i disseny d'antenes
Equació: Diverses formes segons l'aplicació
Variables: Resposta en freqüència, potència del senyal, temporització
Problema: Optimitzar la qualitat del senyal i minimitzar les interferències
Medicina - Concentració de Fàrmacs
Nivells de fàrmacs al torrent sanguini al llarg del temps
Equació: C(t) = -at² + bt + c
Variables: C = concentració, t = temps després de l'administració
Problema: Determinar els intervals de dosificació òptims
Errors Comuns en Resoldre Equacions Quadràtiques
ERROR: Oblidar el ± a la fórmula quadràtica
Problema: Trobar només una solució quan n'existeixen dues
Solució: Incloure sempre tant el + com el - quan el discriminant > 0
Exemple: Per a x² - 5x + 6 = 0, tant x = 2 com x = 3 són solucions
ERROR: Establir a = 0
Problema: L'equació es converteix en lineal, no quadràtica
Solució: Assegureu-vos que el coeficient de x² no sigui zero per a les equacions quadràtiques
Exemple: 0x² + 3x + 2 = 0 és en realitat 3x + 2 = 0, una equació lineal
ERROR: Errors aritmètics amb nombres negatius
Problema: Errors de signe en calcular el discriminant o aplicar la fórmula
Solució: Seguiu amb atenció els signes negatius, especialment amb b² i -4ac
Exemple: Per a x² - 6x + 9, el discriminant és (-6)² - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0
ERROR: Malinterpretar les solucions complexes
Problema: Pensar que l'equació no té solucions quan el discriminant < 0
Solució: Les solucions complexes són vàlides en matemàtiques, simplement no són nombres reals
Exemple: x² + 1 = 0 té solucions x = ±i, que són nombres complexos
ERROR: Ordre incorrecte de les operacions
Problema: Calcular incorrectament el discriminant
Solució: Recordeu b² - 4ac: primer eleveu b al quadrat, després resteu 4ac
Exemple: Per a 2x² + 3x + 1, el discriminant és 3² - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1
ERROR: Arrodonir massa aviat
Problema: Errors d'arrodoniment acumulats en càlculs de diversos passos
Solució: Mantingueu la precisió completa fins a la resposta final, després arrodoniu adequadament
Exemple: Utilitzeu el valor complet del discriminant a la fórmula quadràtica, no la versió arrodonida
Casos Especials i Patrons
Trinomis Quadrats Perfectes
Forma: a²x² ± 2abx + b² = (ax ± b)²
Exemple: x² - 6x + 9 = (x - 3)²
Solució: Una arrel repetida: x = 3
Reconeixement: El discriminant és igual a zero
Diferència de Quadrats
Forma: a²x² - b² = (ax - b)(ax + b)
Exemple: x² - 16 = (x - 4)(x + 4)
Solució: Dues arrels oposades: x = ±4
Reconeixement: Sense terme lineal (b = 0), constant negativa
Terme Lineal Absent
Forma: ax² + c = 0
Exemple: 2x² - 8 = 0
Solució: x² = 4, per tant x = ±2
Reconeixement: Només hi ha termes x² i constant
Terme Constant Absent
Forma: ax² + bx = 0 = x(ax + b)
Exemple: 3x² - 6x = 0 = 3x(x - 2)
Solució: x = 0 o x = 2
Reconeixement: Primer treure factor comú x
Preguntes Freqüents sobre l'Equació Quadràtica
Què fa que una equació sigui quadràtica?
Una equació és quadràtica si la potència més alta de la variable és 2 i el coeficient de x² no és zero. Ha de tenir la forma ax² + bx + c = 0.
Pot una equació quadràtica no tenir solucions?
Les equacions quadràtiques sempre tenen exactament 2 solucions, però poden ser nombres complexos quan el discriminant és negatiu. En nombres reals, no hi ha solucions quan Δ < 0.
Per què de vegades obtenim una solució en lloc de dues?
Quan el discriminant = 0, obtenim una solució repetida (anomenada arrel doble). Matemàticament, encara són dues solucions que coincideixen.
Què ens diu el discriminant?
El discriminant (b² - 4ac) determina els tipus de solucions: positiu = dues solucions reals, zero = una solució repetida, negatiu = dues solucions complexes.
Com sé quin mètode utilitzar?
La fórmula quadràtica sempre funciona. Utilitzeu la factorització si l'equació es factoritza fàcilment. Utilitzeu completar el quadrat per entendre o convertir a la forma del vèrtex.
Què passa si el meu coeficient 'a' és negatiu?
Cap problema! La fórmula quadràtica gestiona coeficients negatius. Només cal anar amb compte amb els signes en calcular el discriminant i aplicar la fórmula.
Puc resoldre equacions quadràtiques sense la fórmula quadràtica?
Sí! Podeu factoritzar (quan sigui possible), completar el quadrat o representar gràficament. No obstant això, la fórmula quadràtica és el mètode universal més fiable.
Per a què s'utilitzen les solucions complexes?
Les solucions complexes apareixen en enginyeria, física i matemàtiques avançades. Representen relacions matemàtiques importants fins i tot quan no són 'reals' en el sentit quotidià.
Directori Complet d'Eines
Totes les 71 eines disponibles a UNITS