Convertidor de Base Numèrica
Sistemes Numèrics Explicats: Del Binari als Nombres Romans i Més Enllà
Els sistemes numèrics són fonamentals per a les matemàtiques, la informàtica i la història humana. Des de la lògica binària dels ordinadors fins al sistema decimal que fem servir diàriament, entendre diferents bases desbloqueja coneixements sobre la representació de dades, la programació i les civilitzacions antigues. Aquesta guia cobreix més de 20 sistemes numèrics, incloent-hi el binari, l'hexadecimal, els nombres romans i codificacions especialitzades.
Conceptes Fonamentals: Com Funcionen els Sistemes Numèrics
Base (Radix)
El fonament de qualsevol sistema numèric
La base determina quants dígits únics s'utilitzen i com augmenten els valors de posició. La base 10 utilitza els dígits 0-9. La base 2 (binari) utilitza 0-1. La base 16 (hexadecimal) utilitza 0-9 més A-F.
En base 8 (octal): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀
Conjunts de DÍgits
Símbols que representen valors en un sistema numèric
Cada base requereix símbols únics per als valors de 0 a (base-1). El binari utilitza {0,1}. El decimal utilitza {0-9}. L'hexadecimal s'estén a {0-9, A-F} on A=10...F=15.
2F3₁₆ en hexadecimal = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀
Conversió de Base
Traduir nombres entre diferents sistemes
La conversió implica expandir a decimal utilitzant valors posicionals i després convertir a la base objectiu. De qualsevol base a decimal: suma de dígit×base^posició.
1011₂ → decimal: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀
- Tota base utilitza dígits de 0 a (base-1): binari {0,1}, octal {0-7}, hexadecimal {0-F}
- Els valors de posició = base^posició: el de més a la dreta és base⁰=1, el següent és base¹, després base²
- Bases més grans = més compacte: 255₁₀ = 11111111₂ = FF₁₆
- La informàtica afavoreix les potències de 2: binari (2¹), octal (2³), hexadecimal (2⁴)
- Els nombres romans no són posicionals: V sempre és igual a 5 independentment de la posició
- El domini de la base 10 prové de l'anatomia humana (10 dits)
Els Quatre Sistemes Numèrics Essencials
Binari (Base 2)
El llenguatge dels ordinadors - només 0s i 1s
El binari és la base de tots els sistemes digitals. Cada operació de l'ordinador es redueix a binari. Cada dígit (bit) representa estats d'encesa/apagada.
- Dígits: {0, 1} - conjunt mínim de símbols
- Un byte = 8 bits, representa 0-255 en decimal
- Les potències de 2 són nombres rodons: 1024₁₀ = 10000000000₂
- Suma simple: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
- S'utilitza en: CPU, memòria, xarxes, lògica digital
Octal (Base 8)
Representació binària compacta utilitzant els dígits 0-7
L'octal agrupa els dígits binaris en conjunts de tres (2³=8). Cada dígit octal = exactament 3 bits binaris.
- Dígits: {0-7} - no existeix el 8 ni el 9
- Cada dígit octal = 3 bits binaris: 7₈ = 111₂
- Permisos de Unix: 755 = rwxr-xr-x
- Històric: els primers miniordinadors
- Menys comú avui dia: l'hexadecimal ha reemplaçat l'octal
Decimal (Base 10)
El sistema numèric humà universal
El decimal és l'estàndard per a la comunicació humana a tot el món. La seva estructura de base 10 va evolucionar a partir de comptar amb els dits.
- Dígits: {0-9} - deu símbols
- Natural per als humans: 10 dits
- La notació científica utilitza el decimal: 6.022×10²³
- Moneda, mesures, calendaris
- Els ordinadors converteixen a binari internament
Hexadecimal (Base 16)
La taquigrafia del programador per al binari
L'hexadecimal és l'estàndard modern per representar el binari de forma compacta. Un dígit hexadecimal = exactament 4 bits (2⁴=16).
- Dígits: {0-9, A-F} on A=10...F=15
- Cada dígit hexadecimal = 4 bits: F₁₆ = 1111₂
- Un byte = 2 dígits hexadecimals: FF₁₆ = 255₁₀
- Colors RGB: #FF5733 = vermell(255) verd(87) blau(51)
- Adreces de memòria: 0x7FFF8A2C
Referència Ràpida: Mateix Nombre, Quatre Representacions
Entendre com apareix el mateix valor en diferents bases és crucial per a la programació:
| Decimal | Binari | Octal | Hexadecimal |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
| 64 | 1000000 | 100 | 40 |
| 255 | 11111111 | 377 | FF |
| 256 | 100000000 | 400 | 100 |
| 1024 | 10000000000 | 2000 | 400 |
Bases Matemàtiques i Alternatives
Més enllà de les bases estàndard de la informàtica, altres sistemes tenen aplicacions úniques:
Ternari (Base 3)
La base més eficient matemàticament
El ternari utilitza els dígits {0,1,2}. És la base més eficient per representar nombres (la més propera a e=2.718).
- Eficiència matemàtica òptima
- Ternari equilibrat: {-,0,+} simètric
- Lògica ternària en sistemes difusos
- Proposat per a la computació quàntica (qutrits)
Duodecimal (Base 12)
L'alternativa pràctica al decimal
La base 12 té més divisors (2,3,4,6) que la 10 (2,5), la qual cosa simplifica les fraccions. S'utilitza en el temps, les dotzenes, les polzades/peus.
- Temps: rellotge de 12 hores, 60 minuts (5×12)
- Imperial: 12 polzades = 1 peu
- Fraccions més fàcils: 1/3 = 0.4₁₂
- La Societat Duodecimal n'advoca l'adopció
Vigesimal (Base 20)
Comptar per vintenes
Els sistemes de base 20 van evolucionar a partir de comptar els dits de les mans i dels peus. Exemples Maies, Asteques, Celtes i Bascos.
- Sistema de calendari Maia
- Francès: quatre-vingts (80)
- Anglès: 'score' = 20
- Comptatge tradicional Inuit
Base 36
Base alfanumèrica màxima
Utilitza tots els dígits decimals (0-9) més totes les lletres (A-Z). Compacte i llegible per humans.
- Escurçadors d'URL: enllaços compactes
- Claus de llicència: activació de programari
- IDs de bases de dades: identificadors que es poden teclejar
- Codis de seguiment: paquets, comandes
Sistemes Numèrics Antics i Històrics
Nombres Romans
Antiga Roma (500 aC - 1500 dC)
Van dominar Europa durant 2000 anys. Cada símbol té un valor fix: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.
- Encara s'utilitzen: rellotges, Super Bowl, esquemes
- Sense zero: dificultats de càlcul
- Regles de subtracció: IV=4, IX=9, XL=40
- Limitats: l'estàndard arriba fins a 3999
- Reemplaçats pels nombres indoaràbics
Sexagesimal (Base 60)
Antiga Babilònia (3000 aC)
El sistema més antic que ha sobreviscut. 60 té 12 divisors, la qual cosa facilita les fraccions. S'utilitza per al temps i els angles.
- Temps: 60 segons/minut, 60 minuts/hora
- Angles: cercle de 360°, 60 minuts d'arc
- Divisibilitat: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 nets
- Càlculs astronòmics babilònics
Codificacions Especialitzades per a la Informàtica
Decimal Codificat en Binari (BCD)
Cada dígit decimal es codifica com a 4 bits
El BCD representa cada dígit decimal (0-9) com un binari de 4 bits. 392 es converteix en 0011 1001 0010. Evita errors de punt flotant.
- Sistemes financers: decimal exacte
- Rellotges digitals i calculadores
- Mainframes d'IBM: unitat decimal
- Bandes magnètiques de les targetes de crèdit
Codi Gray
Els valors adjacents difereixen en un bit
El codi Gray assegura que només un bit canviï entre nombres consecutius. És fonamental per a la conversió d'analògic a digital.
- Codificadors rotatoris: sensors de posició
- Conversió d'analògic a digital
- Mapes de Karnaugh: simplificació de la lògica
- Codis de correcció d'errors
Aplicacions al Món Real
Desenvolupament de Programari
Els programadors treballen amb múltiples bases diàriament:
- Adreces de memòria: 0x7FFEE4B2A000 (hexadecimal)
- Indicadors de bits: 0b10110101 (binari)
- Codis de color: #FF5733 (hexadecimal RGB)
- Permisos de fitxers: chmod 755 (octal)
- Depuració: hexdump, inspecció de memòria
Enginyeria de Xarxes
Els protocols de xarxa utilitzen hexadecimal i binari:
- Adreces MAC: 00:1A:2B:3C:4D:5E (hexadecimal)
- IPv4: 192.168.1.1 = notació binària
- IPv6: 2001:0db8:85a3:: (hexadecimal)
- Màscares de subxarxa: 255.255.255.0 = /24
- Inspecció de paquets: Wireshark hexadecimal
Electrònica Digital
Disseny de maquinari a nivell binari:
- Portes lògiques: AND, OR, NOT binari
- Registres de la CPU: 64 bits = 16 dígits hexadecimals
- Llenguatge d'assemblador: codis d'operació en hexadecimal
- Programació de FPGA: fluxos binaris
- Depuració de maquinari: analitzadors lògics
Matemàtiques i Teoria
La teoria de nombres explora propietats:
- Aritmètica modular: diverses bases
- Criptografia: RSA, corbes el·líptiques
- Generació de fractals: conjunt de Cantor ternari
- Patrons de nombres primers
- Combinatòria: patrons de comptatge
Dominar la Conversió de Base
Qualsevol Base → Decimal
Expandeix utilitzant valors posicionals:
- Identifica la base i els dígits
- Assigna posicions de dreta a esquerra (0, 1, 2...)
- Converteix els dígits a valors decimals
- Multiplica: dígit × base^posició
- Suma tots els termes
Decimal → Qualsevol Base
Divideix repetidament per la base objectiu:
- Divideix el nombre per la base objectiu
- Registra el residu (el dígit de més a la dreta)
- Divideix el quocient per la base de nou
- Repeteix fins que el quocient sigui 0
- Llegeix els residus de baix a dalt
Binari ↔ Octal/Hexadecimal
Agrupa els bits binaris:
- Binari → Hexadecimal: agrupa per 4 bits
- Binari → Octal: agrupa per 3 bits
- Hexadecimal → Binari: expandeix cada dígit a 4 bits
- Octal → Binari: expandeix a 3 bits per dígit
- Omet la conversió decimal per complet!
Càlcul Mental Ràpid
Trucs per a conversions comunes:
- Potències de 2: memoritza 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
- Hexadecimal: F=15, FF=255, FFF=4095
- Octal 777 = binari 111111111
- Doblar/dividir per la meitat: desplaçament binari
- Utilitza el mode programador de la calculadora
Dades Curioses
La Base 60 Babilònica Continua Viva
Cada vegada que mires el rellotge, estàs utilitzant un sistema de base 60 babilònic de 5000 anys. Van triar el 60 perquè té 12 divisors, la qual cosa facilita les fraccions.
El Desastre del Mars Climate Orbiter
El 1999, l'orbitador de Mart de la NASA de 125 milions de dòlars va ser destruït a causa d'errors de conversió d'unitats: un equip va utilitzar el sistema imperial i un altre el mètric. Una lliçó costosa de precisió.
No hi ha Zero en els Nombres Romans
Els nombres romans no tenen zero ni negatius. Això va fer que les matemàtiques avançades fossin gairebé impossibles fins que els nombres indoaràbics (0-9) van revolucionar les matemàtiques.
L'Apollo Va Utilitzar l'Octal
L'Ordinador de Guiatge de l'Apollo mostrava tot en octal (base 8). Els astronautes van memoritzar els codis octals per als programes que van portar els humans a la Lluna.
16.7 Milions de Colors en Hexadecimal
Els codis de color RGB utilitzen hexadecimal: #RRGGBB, on cadascun és de 00 a FF (0-255). Això dóna 256³ = 16.777.216 colors possibles en color veritable de 24 bits.
Ordinadors Ternaris Soviètics
Els investigadors soviètics van construir ordinadors ternaris (base 3) a les dècades de 1950 i 1970. L'ordinador Setun utilitzava una lògica de -1, 0, +1 en lloc de binària. La infraestructura binària va guanyar.
Millors Pràctiques de Conversió
Millors Pràctiques
- Comprèn el context: Binari per a operacions de la CPU, hexadecimal per a adreces de memòria, decimal per a la comunicació humana
- Memoritza les correspondències clau: Hexadecimal a binari (0-F), potències de 2 (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024)
- Utilitza notació de subíndex: 1011₂, FF₁₆, 255₁₀ per evitar ambigüitats (15 podria ser quinze o binari)
- Agrupa els dígits binaris: 4 bits = 1 dígit hexadecimal, 3 bits = 1 dígit octal per a una conversió ràpida
- Verifica els dígits vàlids: La base n només utilitza dígits de 0 a n-1 (la base 8 no pot tenir '8' o '9')
- Per a nombres grans: Converteix a una base intermèdia (binari↔hexadecimal és més fàcil que octal↔decimal)
Errors Comuns a Evitar
- Confondre els prefixos 0b (binari), 0o (octal), 0x (hexadecimal) en els llenguatges de programació
- Oblidar els zeros a l'esquerra en la conversió de binari a hexadecimal: 1010₂ = 0A₁₆, no A₁₆ (es necessiten nibbles parells)
- Utilitzar dígits no vàlids: 8 en octal, G en hexadecimal - causa errors d'anàlisi
- Barrejar bases sense notació: És '10' binari, decimal o hexadecimal? Especifica-ho sempre!
- Assumir la conversió directa octal↔hexadecimal: S'ha de passar pel binari (diferents agrupacions de bits)
- Aritmètica de nombres romans: V + V ≠ VV (els nombres romans no són posicionals)
Preguntes Freqüents
Per què la informàtica utilitza el sistema binari en lloc del decimal?
El binari es correspon perfectament amb els circuits electrònics: encès/apagat, alt/baix voltatge. Els sistemes de dos estats són fiables, ràpids i fàcils de fabricar. El sistema decimal requeriria 10 nivells de voltatge diferents, la qual cosa faria els circuits complexos i propensos a errors.
Com puc convertir ràpidament d'hexadecimal a binari?
Memoritza les 16 correspondències d'hexadecimal a binari (0=0000...F=1111). Converteix cada dígit hexadecimal de forma independent: A5₁₆ = 1010|0101₂. Agrupa el binari per 4 des de la dreta per revertir: 110101₂ = 35₁₆. No es necessita el decimal!
Quin és l'ús pràctic d'aprendre les bases numèriques?
Essencial per a la programació (adreces de memòria, operacions de bits), les xarxes (adreces IP, adreces MAC), la depuració (bolcats de memòria), l'electrònica digital (disseny lògic) i la seguretat (criptografia, hashing).
Per què l'octal és menys comú que l'hexadecimal ara?
L'hexadecimal s'alinea amb els límits dels bytes (8 bits = 2 dígits hexadecimals), mentre que l'octal no (8 bits = 2.67 dígits octals). Els ordinadors moderns estan orientats a bytes, la qual cosa fa que l'hexadecimal sigui més convenient. Només els permisos de fitxer de Unix mantenen la rellevància de l'octal.
Puc convertir directament entre octal i hexadecimal?
No hi ha un mètode directe fàcil. L'octal agrupa el binari per 3, l'hexadecimal per 4. S'ha de convertir a través del binari: octal→binari (3 bits)→hexadecimal (4 bits). Exemple: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. O utilitzar el decimal com a intermediari.
Per què segueixen existint els nombres romans?
Tradició i estètica. S'utilitzen per a la formalitat (Super Bowl, pel·lícules), la distinció (esquemes), l'atemporalitat (sense ambigüitat de segle) i l'elegància del disseny. No són pràctics per al càlcul però persisteixen culturalment.
Què passa si utilitzo dígits no vàlids en una base?
Cada base té regles estrictes. La base 8 no pot contenir 8 o 9. Si escrius 189₈, és invàlid. Els convertidors el rebutjaran. Els llenguatges de programació ho imposen: '09' causa errors en contextos octals.
Existeix una base 1?
La base 1 (unària) utilitza un sol símbol (marques de comptatge). No és realment posicional: 5 = '11111' (cinc marques). S'utilitza per al comptatge primitiu però és poc pràctic. Broma: l'unari és la base més fàcil, només has de continuar comptant!
Directori Complet d'Eines
Totes les 71 eines disponibles a UNITS