Nền tảng của bất kỳ hệ thống số nào

Cơ số xác định có bao nhiêu chữ số duy nhất được sử dụng và giá trị của các vị trí tăng lên như thế nào. Cơ số 10 sử dụng các chữ số 0-9. Cơ số 2 (nhị phân) sử dụng 0-1. Cơ số 16 (thập lục phân) sử dụng 0-9 cộng với A-F.

Trong cơ số 8 (bát phân): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Các ký hiệu biểu thị giá trị trong một hệ thống số

Mỗi cơ số yêu cầu các ký hiệu duy nhất cho các giá trị từ 0 đến (cơ số-1). Hệ nhị phân sử dụng {0,1}. Hệ thập phân sử dụng {0-9}. Hệ thập lục phân mở rộng thành {0-9, A-F} trong đó A=10...F=15.

2F3₁₆ trong hệ thập lục phân = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Dịch các số giữa các hệ thống khác nhau

Việc chuyển đổi bao gồm việc khai triển sang hệ thập phân bằng cách sử dụng các giá trị vị trí, sau đó chuyển đổi sang cơ số mục tiêu. Từ bất kỳ cơ số nào sang thập phân: tổng của chữ số×cơ số^vị trí.

1011₂ → thập phân: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Ngôn ngữ của máy tính - chỉ có 0 và 1

Nhị phân là nền tảng của tất cả các hệ thống kỹ thuật số. Mọi hoạt động của máy tính đều được rút gọn về nhị phân. Mỗi chữ số (bit) biểu thị trạng thái bật/tắt.

• Chữ số: {0, 1} - bộ ký hiệu tối thiểu
• Một byte = 8 bit, biểu thị từ 0-255 trong hệ thập phân
• Lũy thừa của 2 là các số tròn: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Phép cộng đơn giản: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Được sử dụng trong: CPU, bộ nhớ, mạng, logic kỹ thuật số

Biểu diễn nhị phân nhỏ gọn sử dụng các chữ số 0-7

Bát phân nhóm các chữ số nhị phân thành các bộ ba (2³=8). Mỗi chữ số bát phân = chính xác 3 bit nhị phân.

• Chữ số: {0-7} - không tồn tại số 8 hoặc 9
• Mỗi chữ số bát phân = 3 bit nhị phân: 7₈ = 111₂
• Quyền Unix: 755 = rwxr-xr-x
• Lịch sử: các máy tính mini đời đầu
• Ít phổ biến ngày nay: thập lục phân đã thay thế bát phân

Hệ thống số phổ quát của con người

Thập phân là tiêu chuẩn cho giao tiếp của con người trên toàn thế giới. Cấu trúc cơ số 10 của nó phát triển từ việc đếm trên ngón tay.

• Chữ số: {0-9} - mười ký hiệu
• Tự nhiên đối với con người: 10 ngón tay
• Ký hiệu khoa học sử dụng hệ thập phân: 6.022×10²³
• Tiền tệ, đo lường, lịch
• Máy tính chuyển đổi sang nhị phân trong nội bộ

Cách viết tắt của lập trình viên cho hệ nhị phân

Thập lục phân là tiêu chuẩn hiện đại để biểu diễn nhị phân một cách nhỏ gọn. Một chữ số thập lục phân = chính xác 4 bit (2⁴=16).

• Chữ số: {0-9, A-F} trong đó A=10...F=15
• Mỗi chữ số thập lục phân = 4 bit: F₁₆ = 1111₂
• Một byte = 2 chữ số thập lục phân: FF₁₆ = 255₁₀
• Màu RGB: #FF5733 = đỏ(255) xanh lá(87) xanh dương(51)
• Địa chỉ bộ nhớ: 0x7FFF8A2C

Cơ số hiệu quả nhất về mặt toán học

Tam phân sử dụng các chữ số {0,1,2}. Là cơ số hiệu quả nhất để biểu diễn các số (gần nhất với e=2.718).

• Hiệu quả toán học tối ưu
• Hệ tam phân cân bằng: {-,0,+} đối xứng
• Logic tam phân trong các hệ thống mờ
• Được đề xuất cho máy tính lượng tử (qutrit)

Giải pháp thay thế thiết thực cho hệ thập phân

Cơ số 12 có nhiều ước số hơn (2,3,4,6) so với 10 (2,5), giúp đơn giản hóa các phân số. Được sử dụng trong thời gian, tá, inch/feet.

• Thời gian: đồng hồ 12 giờ, 60 phút (5×12)
• Hệ đo lường Anh: 12 inch = 1 foot
• Phân số dễ dàng hơn: 1/3 = 0.4₁₂
• Hiệp hội Dozenal ủng hộ việc áp dụng

Đếm theo hai mươi

Các hệ thống cơ số 20 phát triển từ việc đếm ngón tay + ngón chân. Các ví dụ của người Maya, Aztec, Celtic và Basque.

• Hệ thống lịch của người Maya
• Tiếng Pháp: quatre-vingts (80)
• Tiếng Anh: 'score' = 20
• Cách đếm truyền thống của người Inuit

Cơ số chữ và số tối đa

Sử dụng tất cả các chữ số thập phân (0-9) cộng với tất cả các chữ cái (A-Z). Nhỏ gọn và con người có thể đọc được.

• Công cụ rút gọn URL: liên kết nhỏ gọn
• Khóa cấp phép: kích hoạt phần mềm
• ID cơ sở dữ liệu: định danh có thể gõ được
• Mã theo dõi: gói hàng, đơn hàng

La Mã Cổ Đại (500 TCN - 1500 SCN)

Thống trị châu Âu trong 2000 năm. Mỗi ký hiệu có một giá trị cố định: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Vẫn được sử dụng: đồng hồ, Super Bowl, dàn ý
• Không có số không: khó khăn trong tính toán
• Quy tắc trừ: IV=4, IX=9, XL=40
• Hạn chế: tiêu chuẩn chỉ đến 3999
• Được thay thế bằng chữ số Hindu-Arabic

Babylon Cổ Đại (3000 TCN)

Hệ thống còn tồn tại lâu đời nhất. 60 có 12 ước số, giúp các phân số dễ dàng hơn. Được sử dụng cho thời gian và góc.

• Thời gian: 60 giây/phút, 60 phút/giờ
• Góc: vòng tròn 360°, 60 phút cung
• Khả năng chia hết: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 rõ ràng
• Các tính toán thiên văn của người Babylon

Mỗi chữ số thập phân được mã hóa thành 4 bit

BCD biểu diễn mỗi chữ số thập phân (0-9) dưới dạng nhị phân 4 bit. 392 trở thành 0011 1001 0010. Tránh các lỗi dấu phẩy động.

• Hệ thống tài chính: thập phân chính xác
• Đồng hồ kỹ thuật số và máy tính
• Máy tính lớn của IBM: đơn vị thập phân
• Dải từ của thẻ tín dụng

Các giá trị liền kề chỉ khác nhau một bit

Mã Gray đảm bảo chỉ có một bit thay đổi giữa các số liên tiếp. Rất quan trọng cho việc chuyển đổi tương tự-số.

• Bộ mã hóa quay: cảm biến vị trí
• Chuyển đổi tương tự-số
• Bìa Karnaugh: đơn giản hóa logic
• Mã sửa lỗi

Lập trình viên làm việc với nhiều cơ số hàng ngày:

• Địa chỉ bộ nhớ: 0x7FFEE4B2A000 (thập lục phân)
• Cờ bit: 0b10110101 (nhị phân)
• Mã màu: #FF5733 (RGB thập lục phân)
• Quyền truy cập tệp: chmod 755 (bát phân)
• Gỡ lỗi: hexdump, kiểm tra bộ nhớ

Các giao thức mạng sử dụng hệ thập lục phân và nhị phân:

• Địa chỉ MAC: 00:1A:2B:3C:4D:5E (thập lục phân)
• IPv4: 192.168.1.1 = ký hiệu nhị phân
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (thập lục phân)
• Mặt nạ mạng con: 255.255.255.0 = /24
• Kiểm tra gói tin: Wireshark thập lục phân

Thiết kế phần cứng ở cấp độ nhị phân:

• Cổng logic: AND, OR, NOT nhị phân
• Thanh ghi CPU: 64-bit = 16 chữ số thập lục phân
• Ngôn ngữ Assembly: mã opcode bằng hệ thập lục phân
• Lập trình FPGA: luồng nhị phân
• Gỡ lỗi phần cứng: máy phân tích logic

Lý thuyết số khám phá các thuộc tính:

• Số học mô-đun: các cơ số khác nhau
• Mật mã học: RSA, đường cong elip
• Tạo fractal: tập hợp Cantor tam phân
• Các mẫu số nguyên tố
• Tổ hợp: các mẫu đếm

Khai triển bằng cách sử dụng các giá trị vị trí:

• Xác định cơ số và các chữ số
• Gán các vị trí từ phải sang trái (0, 1, 2...)
• Chuyển đổi các chữ số sang giá trị thập phân
• Nhân: chữ số × cơ số^vị trí
• Tổng tất cả các số hạng

Chia liên tục cho cơ số mục tiêu:

• Chia số cho cơ số mục tiêu
• Ghi lại số dư (chữ số ngoài cùng bên phải)
• Chia thương cho cơ số một lần nữa
• Lặp lại cho đến khi thương bằng 0
• Đọc các số dư từ dưới lên trên

Nhóm các bit nhị phân:

• Nhị phân → Thập lục phân: nhóm theo 4 bit
• Nhị phân → Bát phân: nhóm theo 3 bit
• Thập lục phân → Nhị phân: khai triển mỗi chữ số thành 4 bit
• Bát phân → Nhị phân: khai triển thành 3 bit cho mỗi chữ số
• Bỏ qua hoàn toàn việc chuyển đổi thập phân!

Các mẹo cho các chuyển đổi thông thường:

• Lũy thừa của 2: ghi nhớ 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Hệ thập lục phân: F=15, FF=255, FFF=4095
• Bát phân 777 = nhị phân 111111111
• Nhân đôi/chia đôi: dịch chuyển nhị phân
• Sử dụng chế độ lập trình viên của máy tính

Mỗi khi bạn xem đồng hồ, bạn đang sử dụng hệ thống cơ số 60 của người Babylon có từ 5000 năm trước. Họ chọn 60 vì nó có 12 ước số, giúp các phân số dễ dàng hơn.

Năm 1999, tàu quỹ đạo Sao Hỏa trị giá 125 triệu đô la của NASA đã bị phá hủy do lỗi chuyển đổi đơn vị - một đội sử dụng hệ đo lường Anh, đội còn lại sử dụng hệ mét. Một bài học đắt giá về sự chính xác.

Chữ số La Mã không có số không và không có số âm. Điều này khiến toán học cao cấp gần như không thể thực hiện được cho đến khi chữ số Hindu-Arabic (0-9) cách mạng hóa toán học.

Máy tính Hướng dẫn Apollo hiển thị mọi thứ bằng hệ bát phân (cơ số 8). Các phi hành gia đã ghi nhớ các mã bát phân cho các chương trình đưa con người lên Mặt Trăng.

Mã màu RGB sử dụng hệ thập lục phân: #RRGGBB trong đó mỗi màu là 00-FF (0-255). Điều này cho ra 256³ = 16.777.216 màu có thể có trong màu thực 24-bit.

Các nhà nghiên cứu Liên Xô đã chế tạo các máy tính tam phân (cơ số 3) trong những năm 1950-70. Máy tính Setun sử dụng logic -1, 0, +1 thay vì nhị phân. Cơ sở hạ tầng nhị phân đã chiến thắng.

Nhị phân hoàn toàn phù hợp với các mạch điện tử: bật/tắt, điện áp cao/thấp. Các hệ thống hai trạng thái đáng tin cậy, nhanh chóng và dễ sản xuất. Hệ thập phân sẽ yêu cầu 10 mức điện áp riêng biệt, làm cho các mạch phức tạp và dễ bị lỗi.

Ghi nhớ 16 ánh xạ từ thập lục phân sang nhị phân (0=0000...F=1111). Chuyển đổi từng chữ số thập lục phân một cách độc lập: A5₁₆ = 1010|0101₂. Nhóm nhị phân theo 4 từ phải sang để đảo ngược: 110101₂ = 35₁₆. Không cần hệ thập phân!

Thiết yếu cho lập trình (địa chỉ bộ nhớ, các phép toán bit), mạng (địa chỉ IP, địa chỉ MAC), gỡ lỗi (kết xuất bộ nhớ), điện tử kỹ thuật số (thiết kế logic) và bảo mật (mật mã học, băm).

Hệ thập lục phân phù hợp với ranh giới byte (8 bit = 2 chữ số thập lục phân), trong khi hệ bát phân thì không (8 bit = 2.67 chữ số bát phân). Các máy tính hiện đại hoạt động theo byte, làm cho hệ thập lục phân thuận tiện hơn. Chỉ có quyền truy cập tệp Unix giữ cho hệ bát phân còn phù hợp.

Không có phương pháp trực tiếp dễ dàng. Bát phân nhóm nhị phân theo 3, thập lục phân theo 4. Phải chuyển đổi qua nhị phân: bát phân→nhị phân (3 bit)→thập lục phân (4 bit). Ví dụ: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Hoặc sử dụng hệ thập phân làm trung gian.

Truyền thống và thẩm mỹ. Được sử dụng cho sự trang trọng (Super Bowl, phim ảnh), sự khác biệt (dàn ý), sự vượt thời gian (không có sự mơ hồ về thế kỷ) và sự thanh lịch trong thiết kế. Không thực tế cho việc tính toán nhưng vẫn tồn tại về mặt văn hóa.

Mỗi cơ số có các quy tắc nghiêm ngặt. Cơ số 8 không thể chứa 8 hoặc 9. Nếu bạn viết 189₈, nó không hợp lệ. Các bộ chuyển đổi sẽ từ chối nó. Các ngôn ngữ lập trình thực thi điều này: '09' gây ra lỗi trong các ngữ cảnh bát phân.

Cơ số 1 (đơn phân) sử dụng một ký hiệu (vạch đếm). Không thực sự là hệ vị trí: 5 = '11111' (năm vạch). Được sử dụng để đếm sơ khai nhưng không thực tế. Đùa vui: đơn phân là cơ số dễ nhất - chỉ cần tiếp tục đếm!