พื้นฐานของระบบจำนวนใดๆ

ฐานกำหนดจำนวนตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันที่ใช้และวิธีที่ค่าประจำตำแหน่งเพิ่มขึ้น ฐาน 10 ใช้ตัวเลข 0-9 ฐาน 2 (เลขฐานสอง) ใช้ 0-1 ฐาน 16 (เลขฐานสิบหก) ใช้ 0-9 และ A-F

ในฐาน 8 (เลขฐานแปด): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

สัญลักษณ์ที่แสดงค่าในระบบจำนวน

แต่ละฐานต้องการสัญลักษณ์ที่ไม่ซ้ำกันสำหรับค่า 0 ถึง (ฐาน-1) เลขฐานสองใช้ {0,1} เลขฐานสิบใช้ {0-9} เลขฐานสิบหกขยายเป็น {0-9, A-F} โดยที่ A=10...F=15

2F3₁₆ ในเลขฐานสิบหก = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

การแปลตัวเลขระหว่างระบบต่างๆ

การแปลงเกี่ยวข้องกับการขยายเป็นเลขฐานสิบโดยใช้ค่าประจำตำแหน่ง แล้วแปลงเป็นฐานเป้าหมาย จากฐานใดๆ ไปยังเลขฐานสิบ: ผลรวมของ หลัก×ฐาน^ตำแหน่ง

1011₂ → เลขฐานสิบ: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

ภาษาของคอมพิวเตอร์ - มีเพียง 0 และ 1

เลขฐานสองเป็นพื้นฐานของระบบดิจิทัลทั้งหมด การทำงานของคอมพิวเตอร์ทุกอย่างลดลงเหลือเพียงเลขฐานสอง แต่ละหลัก (บิต) แทนสถานะเปิด/ปิด

• ตัวเลข: {0, 1} - ชุดสัญลักษณ์ที่น้อยที่สุด
• หนึ่งไบต์ = 8 บิต แทนค่า 0-255 ในเลขฐานสิบ
• เลขยกกำลังของ 2 เป็นเลขกลมๆ: 1024₁₀ = 10000000000₂
• การบวกอย่างง่าย: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• ใช้ใน: CPU, หน่วยความจำ, เครือข่าย, ตรรกะดิจิทัล

การแสดงเลขฐานสองแบบกระชับโดยใช้ตัวเลข 0-7

เลขฐานแปดจัดกลุ่มตัวเลขฐานสองเป็นชุดละสามตัว (2³=8) แต่ละหลักของเลขฐานแปด = 3 บิตฐานสองพอดี

• ตัวเลข: {0-7} - ไม่มี 8 หรือ 9
• แต่ละหลักของเลขฐานแปด = 3 บิตฐานสอง: 7₈ = 111₂
• สิทธิ์ของ Unix: 755 = rwxr-xr-x
• ในอดีต: มินิคอมพิวเตอร์ยุคแรก
• พบได้น้อยลงในปัจจุบัน: เลขฐานสิบหกได้เข้ามาแทนที่เลขฐานแปด

ระบบจำนวนสากลของมนุษย์

เลขฐานสิบเป็นมาตรฐานสำหรับการสื่อสารของมนุษย์ทั่วโลก โครงสร้างฐาน 10 ของมันวิวัฒนาการมาจากการนับนิ้ว

• ตัวเลข: {0-9} - สิบสัญลักษณ์
• เป็นธรรมชาติสำหรับมนุษย์: 10 นิ้ว
• สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ใช้เลขฐานสิบ: 6.022×10²³
• สกุลเงิน, การวัด, ปฏิทิน
• คอมพิวเตอร์แปลงเป็นเลขฐานสองภายใน

ตัวย่อของโปรแกรมเมอร์สำหรับเลขฐานสอง

เลขฐานสิบหกเป็นมาตรฐานสมัยใหม่สำหรับการแสดงเลขฐานสองอย่างกระชับ หนึ่งหลักของเลขฐานสิบหก = 4 บิตพอดี (2⁴=16)

• ตัวเลข: {0-9, A-F} โดยที่ A=10...F=15
• แต่ละหลักของเลขฐานสิบหก = 4 บิต: F₁₆ = 1111₂
• หนึ่งไบต์ = 2 หลักของเลขฐานสิบหก: FF₁₆ = 255₁₀
• สี RGB: #FF5733 = แดง(255) เขียว(87) น้ำเงิน(51)
• ที่อยู่หน่วยความจำ: 0x7FFF8A2C

ฐานที่มีประสิทธิภาพสูงสุดทางคณิตศาสตร์

เลขฐานสามใช้ตัวเลข {0,1,2} เป็นรากที่มีประสิทธิภาพสูงสุดในการแสดงตัวเลข (ใกล้เคียงกับ e=2.718 มากที่สุด)

• ประสิทธิภาพทางคณิตศาสตร์ที่ดีที่สุด
• เลขฐานสามสมดุล: {-,0,+} สมมาตร
• ตรรกะเลขฐานสามในระบบฟัซซี
• เสนอสำหรับคอมพิวเตอร์ควอนตัม (qutrits)

ทางเลือกที่ใช้งานได้จริงสำหรับเลขฐานสิบ

ฐาน 12 มีตัวหาร (2,3,4,6) มากกว่า 10 (2,5) ทำให้เศษส่วนง่ายขึ้น ใช้ในเรื่องเวลา โหล นิ้ว/ฟุต

• เวลา: นาฬิกา 12 ชั่วโมง, 60 นาที (5×12)
• ระบบอิมพีเรียล: 12 นิ้ว = 1 ฟุต
• เศษส่วนง่ายขึ้น: 1/3 = 0.4₁₂
• สมาคม Dozenal สนับสนุนการนำไปใช้

การนับทีละยี่สิบ

ระบบฐาน 20 วิวัฒนาการมาจากการนับนิ้วมือและนิ้วเท้า ตัวอย่างเช่น มายา แอซเท็ก เคลต์ และบาสก์

• ระบบปฏิทินของชาวมายา
• ภาษาฝรั่งเศส: quatre-vingts (80)
• ภาษาอังกฤษ: 'score' = 20
• การนับแบบดั้งเดิมของชาวอินูอิต

ฐานตัวอักษรและตัวเลขสูงสุด

ใช้ตัวเลขฐานสิบทั้งหมด (0-9) และตัวอักษรทั้งหมด (A-Z) กระชับและมนุษย์สามารถอ่านได้

• ตัวย่อ URL: ลิงก์ที่กระชับ
• คีย์ใบอนุญาต: การเปิดใช้งานซอฟต์แวร์
• รหัสฐานข้อมูล: ตัวระบุที่สามารถพิมพ์ได้
• รหัสติดตาม: พัสดุ, คำสั่งซื้อ

กรุงโรมโบราณ (500 ปีก่อนคริสตกาล - ค.ศ. 1500)

ครอบงำยุโรปเป็นเวลา 2000 ปี แต่ละสัญลักษณ์มีค่าคงที่: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000

• ยังคงใช้: นาฬิกา, ซูเปอร์โบวล์, โครงร่าง
• ไม่มีศูนย์: ความยากลำบากในการคำนวณ
• กฎการลบ: IV=4, IX=9, XL=40
• จำกัด: มาตรฐานไปถึง 3999
• แทนที่ด้วยตัวเลขฮินดู-อารบิก

บาบิโลนโบราณ (3000 ปีก่อนคริสตกาล)

ระบบที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังคงอยู่ 60 มีตัวหาร 12 ตัว ทำให้เศษส่วนง่ายขึ้น ใช้สำหรับเวลาและมุม

• เวลา: 60 วินาที/นาที, 60 นาที/ชั่วโมง
• มุม: วงกลม 360°, 60 ลิปดา
• ความสามารถในการหาร: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 ลงตัว
• การคำนวณทางดาราศาสตร์ของชาวบาบิโลน

แต่ละหลักของเลขฐานสิบเข้ารหัสเป็น 4 บิต

BCD แสดงแต่ละหลักของเลขฐานสิบ (0-9) เป็นเลขฐานสอง 4 บิต 392 กลายเป็น 0011 1001 0010 หลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดของทศนิยมลอยตัว

• ระบบการเงิน: ทศนิยมที่แน่นอน
• นาฬิกาดิจิทัลและเครื่องคิดเลข
• เมนเฟรมของ IBM: หน่วยทศนิยม
• แถบแม่เหล็กของบัตรเครดิต

ค่าที่อยู่ติดกันแตกต่างกันหนึ่งบิต

รหัสเกรย์รับประกันว่ามีเพียงหนึ่งบิตที่เปลี่ยนแปลงระหว่างตัวเลขที่ต่อเนื่องกัน สำคัญอย่างยิ่งสำหรับการแปลงอนาล็อกเป็นดิจิทัล

• ตัวเข้ารหัสแบบหมุน: เซ็นเซอร์ตำแหน่ง
• การแปลงอนาล็อกเป็นดิจิทัล
• แผนที่คาร์โนห์: การลดรูปตรรกะ
• รหัสแก้ไขข้อผิดพลาด

โปรแกรมเมอร์ทำงานกับฐานหลายฐานทุกวัน:

• ที่อยู่หน่วยความจำ: 0x7FFEE4B2A000 (เลขฐานสิบหก)
• บิตแฟล็ก: 0b10110101 (เลขฐานสอง)
• รหัสสี: #FF5733 (RGB ฐานสิบหก)
• สิทธิ์ของไฟล์: chmod 755 (เลขฐานแปด)
• การดีบัก: hexdump, การตรวจสอบหน่วยความจำ

โปรโตคอลเครือข่ายใช้เลขฐานสิบหกและเลขฐานสอง:

• ที่อยู่ MAC: 00:1A:2B:3C:4D:5E (เลขฐานสิบหก)
• IPv4: 192.168.1.1 = สัญกรณ์ฐานสอง
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (เลขฐานสิบหก)
• ซับเน็ตมาสก์: 255.255.255.0 = /24
• การตรวจสอบแพ็กเก็ต: Wireshark ฐานสิบหก

การออกแบบฮาร์ดแวร์ที่ระดับฐานสอง:

• เกตตรรกะ: AND, OR, NOT ฐานสอง
• รีจิสเตอร์ของ CPU: 64 บิต = 16 หลักของเลขฐานสิบหก
• ภาษาแอสเซมบลี: opcodes ในเลขฐานสิบหก
• การเขียนโปรแกรม FPGA: สตรีมฐานสอง
• การดีบักฮาร์ดแวร์: เครื่องวิเคราะห์ตรรกะ

ทฤษฎีจำนวนสำรวจคุณสมบัติต่างๆ:

• เลขคณิตมอดุลาร์: ฐานต่างๆ
• การเข้ารหัสลับ: RSA, เส้นโค้งวงรี
• การสร้างแฟร็กทัล: เซตของแคนเตอร์ฐานสาม
• รูปแบบจำนวนเฉพาะ
• การจัดหมู่: รูปแบบการนับ

ขยายโดยใช้ค่าประจำตำแหน่ง:

• ระบุฐานและตัวเลข
• กำหนดตำแหน่งจากขวาไปซ้าย (0, 1, 2...)
• แปลงตัวเลขเป็นค่าฐานสิบ
• คูณ: หลัก × ฐาน^ตำแหน่ง
• รวมทุกพจน์

หารซ้ำๆ ด้วยฐานเป้าหมาย:

• หารตัวเลขด้วยฐานเป้าหมาย
• บันทึกเศษ (หลักขวาสุด)
• หารผลหารด้วยฐานอีกครั้ง
• ทำซ้ำจนกว่าผลหารจะเป็น 0
• อ่านเศษจากล่างขึ้นบน

จัดกลุ่มบิตฐานสอง:

• เลขฐานสอง → เลขฐานสิบหก: จัดกลุ่มทีละ 4 บิต
• เลขฐานสอง → เลขฐานแปด: จัดกลุ่มทีละ 3 บิต
• เลขฐานสิบหก → เลขฐานสอง: ขยายแต่ละหลักเป็น 4 บิต
• เลขฐานแปด → เลขฐานสอง: ขยายเป็น 3 บิตต่อหลัก
• ข้ามการแปลงเป็นเลขฐานสิบไปเลย!

เทคนิคสำหรับการแปลงทั่วไป:

• เลขยกกำลังของ 2: จำ 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• เลขฐานสิบหก: F=15, FF=255, FFF=4095
• เลขฐานแปด 777 = เลขฐานสอง 111111111
• การเพิ่มเป็นสองเท่า/การลดลงครึ่งหนึ่ง: การเลื่อนบิตฐานสอง
• ใช้โหมดโปรแกรมเมอร์ของเครื่องคิดเลข

ทุกครั้งที่คุณดูนาฬิกา คุณกำลังใช้ระบบฐาน 60 ของชาวบาบิโลนที่มีอายุ 5000 ปี พวกเขาเลือก 60 เพราะมีตัวหาร 12 ตัว ทำให้เศษส่วนง่ายขึ้น

ในปี 1999 ยานโคจรรอบดาวอังคารของ NASA มูลค่า 125 ล้านดอลลาร์ถูกทำลายเนื่องจากข้อผิดพลาดในการแปลงหน่วย - ทีมหนึ่งใช้ระบบอิมพีเรียล อีกทีมใช้ระบบเมตริก บทเรียนราคาแพงในเรื่องความแม่นยำ

เลขโรมันไม่มีศูนย์และไม่มีค่าลบ ทำให้คณิตศาสตร์ขั้นสูงแทบจะเป็นไปไม่ได้จนกระทั่งตัวเลขฮินดู-อารบิก (0-9) ปฏิวัติวงการคณิตศาสตร์

คอมพิวเตอร์นำทางของอะพอลโลแสดงทุกอย่างเป็นเลขฐานแปด (ฐาน 8) นักบินอวกาศท่องจำรหัสฐานแปดสำหรับโปรแกรมที่นำมนุษย์ลงจอดบนดวงจันทร์

รหัสสี RGB ใช้เลขฐานสิบหก: #RRGGBB โดยที่แต่ละค่าคือ 00-FF (0-255) ซึ่งให้สีที่เป็นไปได้ 256³ = 16,777,216 สีในสีจริง 24 บิต

นักวิจัยโซเวียตสร้างคอมพิวเตอร์ฐานสาม (ฐาน 3) ในช่วงทศวรรษ 1950-70 คอมพิวเตอร์ Setun ใช้ตรรกะ -1, 0, +1 แทนที่จะเป็นเลขฐานสอง โครงสร้างพื้นฐานของเลขฐานสองเป็นฝ่ายชนะ

เลขฐานสองจับคู่กับวงจรอิเล็กทรอนิกส์ได้อย่างสมบูรณ์แบบ: เปิด/ปิด, แรงดันไฟฟ้าสูง/ต่ำ ระบบสองสถานะมีความน่าเชื่อถือ รวดเร็ว และง่ายต่อการผลิต เลขฐานสิบจะต้องใช้ระดับแรงดันไฟฟ้าที่แตกต่างกัน 10 ระดับ ทำให้วงจรซับซ้อนและเกิดข้อผิดพลาดได้ง่าย

จดจำการจับคู่เลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสอง 16 แบบ (0=0000...F=1111) แปลงแต่ละหลักของเลขฐานสิบหกแยกกัน: A5₁₆ = 1010|0101₂ จัดกลุ่มเลขฐานสองทีละ 4 จากขวาเพื่อย้อนกลับ: 110101₂ = 35₁₆ ไม่ต้องใช้เลขฐานสิบ!

จำเป็นสำหรับการเขียนโปรแกรม (ที่อยู่หน่วยความจำ, การดำเนินการบิต), เครือข่าย (ที่อยู่ IP, ที่อยู่ MAC), การดีบัก (การดัมพ์หน่วยความจำ), อิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัล (การออกแบบตรรกะ), และความปลอดภัย (การเข้ารหัสลับ, การแฮช)

เลขฐานสิบหกสอดคล้องกับขอบเขตของไบต์ (8 บิต = 2 หลักของเลขฐานสิบหก) ในขณะที่เลขฐานแปดไม่สอดคล้อง (8 บิต = 2.67 หลักของเลขฐานแปด) คอมพิวเตอร์สมัยใหม่เป็นแบบไบต์ ทำให้เลขฐานสิบหกสะดวกกว่า มีเพียงสิทธิ์ของไฟล์ Unix เท่านั้นที่ยังคงความเกี่ยวข้องของเลขฐานแปด

ไม่มีวิธีที่ง่ายและตรงไปตรงมา เลขฐานแปดจัดกลุ่มเลขฐานสองทีละ 3, เลขฐานสิบหกทีละ 4 ต้องแปลงผ่านเลขฐานสอง: เลขฐานแปด→เลขฐานสอง (3 บิต)→เลขฐานสิบหก (4 บิต) ตัวอย่าง: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆ หรือใช้เลขฐานสิบเป็นตัวกลาง

ประเพณีและความสวยงาม ใช้สำหรับความเป็นทางการ (ซูเปอร์โบวล์, ภาพยนตร์), การแยกแยะ (โครงร่าง), ความอมตะ (ไม่มีความกำกวมของศตวรรษ), และความสง่างามในการออกแบบ ไม่เหมาะสำหรับการคำนวณแต่ยังคงมีอยู่ทางวัฒนธรรม

แต่ละฐานมีกฎที่เข้มงวด ฐาน 8 ไม่สามารถมี 8 หรือ 9 ได้ หากคุณเขียน 189₈ ถือว่าไม่ถูกต้อง ตัวแปลงจะปฏิเสธ ภาษาโปรแกรมบังคับใช้สิ่งนี้: '09' ทำให้เกิดข้อผิดพลาดในบริบทของเลขฐานแปด

ฐาน 1 (เลขฐานหนึ่ง) ใช้สัญลักษณ์เดียว (ขีดนับ) ไม่ใช่ระบบประจำตำแหน่งอย่างแท้จริง: 5 = '11111' (ห้าขีด) ใช้สำหรับการนับแบบดั้งเดิมแต่ไม่เหมาะกับการใช้งานจริง เรื่องตลก: เลขฐานหนึ่งเป็นฐานที่ง่ายที่สุด - แค่นับต่อไป!