Základ akejkoľvek číselnej sústavy

Základ určuje, koľko jedinečných číslic sa používa a ako sa zvyšujú hodnoty miest. Základ 10 používa číslice 0-9. Základ 2 (dvojková) používa 0-1. Základ 16 (šestnástková) používa 0-9 plus A-F.

V základe 8 (osmičková): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Symboly reprezentujúce hodnoty v číselnej sústave

Každý základ vyžaduje jedinečné symboly pre hodnoty od 0 po (základ-1). Dvojková používa {0,1}. Desiatková používa {0-9}. Šestnástková sa rozširuje na {0-9, A-F}, kde A=10...F=15.

2F3₁₆ v šestnástkovej = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Prekladanie čísel medzi rôznymi sústavami

Prevod zahŕňa rozvinutie do desiatkovej sústavy pomocou pozičných hodnôt, a potom prevod do cieľového základu. Z akéhokoľvek základu do desiatkovej: súčet číslica×základ^pozícia.

1011₂ → desiatková: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Jazyk počítačov - len 0 a 1

Dvojková sústava je základom všetkých digitálnych systémov. Každá počítačová operácia sa redukuje na dvojkovú. Každá číslica (bit) reprezentuje stavy zapnuté/vypnuté.

• Číslice: {0, 1} - minimálna sada symbolov
• Jeden bajt = 8 bitov, reprezentuje 0-255 v desiatkovej sústave
• Mocniny 2 sú okrúhle čísla: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Jednoduché sčítanie: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Používa sa v: CPU, pamäti, sieťach, digitálnej logike

Kompaktná dvojková reprezentácia pomocou číslic 0-7

Osmičková sústava zoskupuje dvojkové číslice do sád po troch (2³=8). Každá osmičková číslica = presne 3 dvojkové bity.

• Číslice: {0-7} - neexistuje 8 ani 9
• Každá osmičková číslica = 3 dvojkové bity: 7₈ = 111₂
• Unixové oprávnenia: 755 = rwxr-xr-x
• Historicky: rané minipočítače
• Dnes menej bežná: šestnástková nahradila osmičkovú

Univerzálna ľudská číselná sústava

Desiatková sústava je štandardom pre ľudskú komunikáciu po celom svete. Jej štruktúra so základom 10 sa vyvinula z počítania na prstoch.

• Číslice: {0-9} - desať symbolov
• Prirodzená pre ľudí: 10 prstov
• Vedecká notácia používa desiatkovú sústavu: 6.022×10²³
• Mena, miery, kalendáre
• Počítače interne prevádzajú na dvojkovú

Programátorská skratka pre dvojkovú sústavu

Šestnástková sústava je moderným štandardom pre kompaktnú reprezentáciu dvojkovej sústavy. Jedna šestnástková číslica = presne 4 bity (2⁴=16).

• Číslice: {0-9, A-F}, kde A=10...F=15
• Každá šestnástková číslica = 4 bity: F₁₆ = 1111₂
• Jeden bajt = 2 šestnástkové číslice: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB farby: #FF5733 = červená(255) zelená(87) modrá(51)
• Pamäťové adresy: 0x7FFF8A2C

Matematicky najefektívnejší základ

Trojková sústava používa číslice {0,1,2}. Najefektívnejší radix na reprezentáciu čísel (najbližšie k e=2.718).

• Optimálna matematická efektivita
• Vyvážená trojková: {-,0,+} symetrická
• Trojková logika v fuzzy systémoch
• Navrhovaná pre kvantové počítače (qutrity)

Praktická alternatíva k desiatkovej

Základ 12 má viac deliteľov (2,3,4,6) ako 10 (2,5), čo zjednodušuje zlomky. Používa sa v čase, tuctoch, palcoch/stopách.

• Čas: 12-hodinové hodiny, 60 minút (5×12)
• Imperiálny: 12 palcov = 1 stopa
• Jednoduchšie zlomky: 1/3 = 0.4₁₂
• Dvanástková Spoločnosť obhajuje prijatie

Počítanie po dvadsiatkach

Sústavy so základom 20 sa vyvinuli z počítania prstov na rukách a nohách. Príklady u Mayov, Aztékov, Keltov a Baskov.

• Mayský kalendárový systém
• Francúzština: quatre-vingts (80)
• Angličtina: 'score' = 20
• Tradičné počítanie Inuitov

Maximálny alfanumerický základ

Používa všetky desiatkové číslice (0-9) plus všetky písmená (A-Z). Kompaktné a čitateľné pre človeka.

• Skracovače URL: kompaktné odkazy
• Licenčné kľúče: aktivácia softvéru
• ID databáz: identifikátory, ktoré sa dajú napísať
• Sledovacie kódy: balíky, objednávky

Staroveký Rím (500 p.n.l. - 1500 n.l.)

Dominovali v Európe 2000 rokov. Každý symbol má pevnú hodnotu: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Stále sa používajú: hodiny, Super Bowl, osnovy
• Žiadna nula: problémy s výpočtami
• Pravidlá odčítania: IV=4, IX=9, XL=40
• Obmedzené: štandard ide do 3999
• Nahradené hindu-arabskými číslicami

Staroveká Babylónia (3000 p.n.l.)

Najstaršia prežívajúca sústava. 60 má 12 deliteľov, čo uľahčuje prácu so zlomkami. Používa sa pre čas a uhly.

• Čas: 60 sekúnd/minúta, 60 minút/hodina
• Uhly: 360° kruh, 60 oblúkových minút
• Deliteľnosť: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 čisté
• Babylonské astronomické výpočty

Každá desiatková číslica je kódovaná ako 4 bity

BCD reprezentuje každú desiatkovú číslicu (0-9) ako 4-bitovú dvojkovú. 392 sa stáva 0011 1001 0010. Vyhýba sa chybám s pohyblivou desatinnou čiarkou.

• Finančné systémy: presná desiatková
• Digitálne hodiny a kalkulačky
• IBM mainframy: desiatková jednotka
• Magnetické prúžky kreditných kariet

Susedné hodnoty sa líšia o jeden bit

Grayov kód zabezpečuje, že sa medzi po sebe idúcimi číslami zmení iba jeden bit. Kritické pre analógovo-digitálnu konverziu.

• Rotačné enkodéry: snímače polohy
• Analógovo-digitálna konverzia
• Karnaughove mapy: zjednodušenie logiky
• Kódy na opravu chýb

Programátori pracujú s viacerými základmi denne:

• Pamäťové adresy: 0x7FFEE4B2A000 (šestnástková)
• Bitové príznaky: 0b10110101 (dvojková)
• Kódy farieb: #FF5733 (šestnástková RGB)
• Práva k súborom: chmod 755 (osmičková)
• Ladenie: hexdump, inšpekcia pamäte

Sieťové protokoly používajú šestnástkovú a dvojkovú sústavu:

• MAC adresy: 00:1A:2B:3C:4D:5E (šestnástková)
• IPv4: 192.168.1.1 = dvojková notácia
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (šestnástková)
• Masky podsiete: 255.255.255.0 = /24
• Inšpekcia paketov: Wireshark šestnástková

Návrh hardvéru na dvojkovej úrovni:

• Logické hradlá: AND, OR, NOT dvojkové
• CPU registre: 64-bit = 16 šestnástkových číslic
• Jazyk symbolických adries: opkódy v šestnástkovej sústave
• Programovanie FPGA: dvojkové prúdy
• Ladenie hardvéru: logické analyzátory

Teória čísel skúma vlastnosti:

• Modulárna aritmetika: rôzne základy
• Kryptografia: RSA, eliptické krivky
• Generovanie fraktálov: Cantorova množina trojková
• Vzory prvočísel
• Kombinatorika: vzory počítania

Rozviňte pomocou pozičných hodnôt:

• Identifikujte základ a číslice
• Priraďte pozície sprava doľava (0, 1, 2...)
• Preveďte číslice na desiatkové hodnoty
• Vynásobte: číslica × základ^pozícia
• Sčítajte všetky členy

Opakovane deľte cieľovým základom:

• Deľte číslo cieľovým základom
• Zaznamenajte zvyšok (najpravejšia číslica)
• Znova deľte podiel základom
• Opakujte, kým podiel nie je 0
• Čítajte zvyšky zdola nahor

Zoskupte dvojkové bity:

• Dvojková → Šestnástková: zoskupte po 4 bity
• Dvojková → Osmičková: zoskupte po 3 bity
• Šestnástková → Dvojková: rozviňte každú číslicu na 4 bity
• Osmičková → Dvojková: rozviňte na 3 bity na číslicu
• Úplne preskočte desiatkovú konverziu!

Triky pre bežné prevody:

• Mocniny 2: zapamätajte si 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Šestnástková: F=15, FF=255, FFF=4095
• Osmičková 777 = dvojková 111111111
• Zdvojnásobenie/polenie: dvojkový posun
• Použite programátorský režim kalkulačky

Zakaždým, keď sa pozriete na hodiny, používate 5000 rokov starý babylonský systém so základom 60. Vybrali si 60, pretože má 12 deliteľov, čo uľahčuje prácu so zlomkami.

V roku 1999 bol orbiter Marsu od NASA v hodnote 125 miliónov dolárov zničený kvôli chybám v prevode jednotiek - jeden tím použil imperiálny systém, druhý metrický. Drahá lekcia o presnosti.

Rímske číslice nemajú nulu a žiadne záporné čísla. To robilo pokročilú matematiku takmer nemožnou, až kým hindu-arabské číslice (0-9) nezrevolucionizovali matematiku.

Navigačný počítač Apollo zobrazoval všetko v osmičkovej sústave (základ 8). Astronauti si pamätali osmičkové kódy pre programy, ktoré dostali ľudí na Mesiac.

RGB farebné kódy používajú šestnástkovú sústavu: #RRGGBB, kde každá je 00-FF (0-255). To dáva 256³ = 16 777 216 možných farieb v 24-bitovej skutočnej farbe.

Sovietski výskumníci stavali trojkové (základ-3) počítače v rokoch 1950-70. Počítač Setun používal logiku -1, 0, +1 namiesto dvojkovej. Dvojková infraštruktúra zvíťazila.

Dvojková sústava dokonale zodpovedá elektronickým obvodom: zapnuté/vypnuté, vysoké/nízke napätie. Dvojstavové systémy sú spoľahlivé, rýchle a ľahko sa vyrábajú. Desiatková by vyžadovala 10 odlišných úrovní napätia, čo by obvody urobilo zložitými a náchylnými na chyby.

Zapamätajte si 16 mapovaní zo šestnástkovej na dvojkovú (0=0000...F=1111). Preveďte každú šestnástkovú číslicu nezávisle: A5₁₆ = 1010|0101₂. Zoskupte dvojkové po 4 sprava na obrátenie: 110101₂ = 35₁₆. Desiatková nie je potrebná!

Nevyhnutné pre programovanie (pamäťové adresy, bitové operácie), sieťovanie (IP adresy, MAC adresy), ladenie (výpisy pamäte), digitálnu elektroniku (návrh logiky) a bezpečnosť (kryptografia, hashovanie).

Šestnástková sa zhoduje s hranicami bajtov (8 bitov = 2 šestnástkové číslice), zatiaľ čo osmičková nie (8 bitov = 2.67 osmičkových číslic). Moderné počítače sú orientované na bajty, čo robí šestnástkovú pohodlnejšou. Len Unixové práva k súborom udržiavajú osmičkovú relevantnú.

Neexistuje žiadna jednoduchá priama metóda. Osmičková zoskupuje dvojkové po 3, šestnástková po 4. Musí sa konvertovať cez dvojkovú: osmičková→dvojková (3 bity)→šestnástková (4 bity). Príklad: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Alebo použite desiatkovú ako medzistupeň.

Tradícia a estetika. Používajú sa pre formálnosť (Super Bowl, filmy), rozlíšenie (osnovy), nadčasovosť (žiadna nejednoznačnosť storočia) a eleganciu dizajnu. Nie sú praktické na výpočty, ale kultúrne pretrvávajú.

Každý základ má prísne pravidlá. Základ 8 nemôže obsahovať 8 alebo 9. Ak napíšete 189₈, je to neplatné. Prevodníky to odmietnu. Programovacie jazyky to presadzujú: '09' spôsobuje chyby v osmičkových kontextoch.

Základ 1 (unárna) používa jeden symbol (záznamové značky). Nie je skutočne pozičná: 5 = '11111' (päť značiek). Používa sa na primitívne počítanie, ale je nepraktická. Vtip: unárna je najjednoduchší základ - stačí pokračovať v počítaní!