اساس هر سیستم عددی

پایه تعیین می‌کند که چند رقم منحصر به فرد استفاده می‌شود و چگونه ارزش‌های مکانی افزایش می‌یابند. پایه 10 از ارقام 0-9 استفاده می‌کند. پایه 2 (باینری) از 0-1 استفاده می‌کند. پایه 16 (هگزادسیمال) از 0-9 به علاوه A-F استفاده می‌کند.

در پایه 8 (اکتال): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

نمادهایی که مقادیر را در یک سیستم عددی نشان می‌دهند

هر پایه به نمادهای منحصر به فردی برای مقادیر از 0 تا (پایه-1) نیاز دارد. باینری از {0,1} استفاده می‌کند. ده‌دهی از {0-9} استفاده می‌کند. هگزادسیمال به {0-9, A-F} گسترش می‌یابد که در آن A=10...F=15.

2F3₁₆ در هگزادسیمال = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

ترجمه اعداد بین سیستم‌های مختلف

تبدیل شامل بسط به ده‌دهی با استفاده از ارزش‌های موضعی و سپس تبدیل به پایه هدف است. از هر پایه‌ای به ده‌دهی: مجموع رقم×پایه^موقعیت.

1011₂ → ده‌دهی: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

زبان کامپیوترها - فقط 0 و 1

باینری اساس همه سیستم‌های دیجیتال است. هر عملیات کامپیوتری به باینری کاهش می‌یابد. هر رقم (بیت) حالت‌های روشن/خاموش را نشان می‌دهد.

• ارقام: {0, 1} - حداقل مجموعه نمادها
• یک بایت = 8 بیت، 0-255 را در ده‌دهی نشان می‌دهد
• توان‌های 2 اعداد گرد هستند: 1024₁₀ = 10000000000₂
• جمع ساده: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• مورد استفاده در: پردازنده‌ها، حافظه، شبکه‌ها، منطق دیجیتال

نمایش فشرده باینری با استفاده از ارقام 0-7

اکتال ارقام باینری را در مجموعه‌های سه تایی گروه‌بندی می‌کند (2³=8). هر رقم اکتال = دقیقاً 3 بیت باینری.

• ارقام: {0-7} - 8 یا 9 وجود ندارد
• هر رقم اکتال = 3 بیت باینری: 7₈ = 111₂
• مجوزهای یونیکس: 755 = rwxr-xr-x
• تاریخی: مینی‌کامپیوترهای اولیه
• امروزه کمتر رایج است: هگزادسیمال جایگزین اکتال شده است

سیستم عددی جهانی انسان

ده‌دهی استاندارد ارتباطات انسانی در سراسر جهان است. ساختار پایه 10 آن از شمارش روی انگشتان تکامل یافته است.

• ارقام: {0-9} - ده نماد
• طبیعی برای انسان‌ها: 10 انگشت
• نمادگذاری علمی از ده‌دهی استفاده می‌کند: 6.022×10²³
• واحد پول، اندازه‌گیری‌ها، تقویم‌ها
• کامپیوترها به صورت داخلی به باینری تبدیل می‌کنند

خلاصه‌نویسی برنامه‌نویس برای باینری

هگزادسیمال استاندارد مدرن برای نمایش فشرده باینری است. یک رقم هگزادسیمال = دقیقاً 4 بیت (2⁴=16).

• ارقام: {0-9, A-F} که در آن A=10...F=15
• هر رقم هگزادسیمال = 4 بیت: F₁₆ = 1111₂
• یک بایت = 2 رقم هگزادسیمال: FF₁₆ = 255₁₀
• رنگ‌های RGB: #FF5733 = قرمز(255) سبز(87) آبی(51)
• آدرس‌های حافظه: 0x7FFF8A2C

کارآمدترین پایه از نظر ریاضی

سه‌تایی از ارقام {0,1,2} استفاده می‌کند. کارآمدترین ریشه برای نمایش اعداد (نزدیک‌ترین به e=2.718).

• کارایی ریاضی بهینه
• سه‌تایی متوازن: {-,0,+} متقارن
• منطق سه‌تایی در سیستم‌های فازی
• پیشنهاد شده برای محاسبات کوانتومی (کیوتریت)

جایگزین عملی برای ده‌دهی

پایه 12 نسبت به 10 (2,5) مقسوم‌علیه‌های بیشتری (2,3,4,6) دارد که کسرها را ساده‌تر می‌کند. در زمان، دوجین، اینچ/فوت استفاده می‌شود.

• زمان: ساعت 12 ساعته، 60 دقیقه (5×12)
• امپریال: 12 اینچ = 1 فوت
• کسرهای آسان‌تر: 1/3 = 0.4₁₂
• جامعه دوازدهی از پذیرش آن حمایت می‌کند

شمارش با بیست‌ها

سیستم‌های پایه 20 از شمارش انگشتان دست و پا تکامل یافته‌اند. نمونه‌های مایا، آزتک، سلتیک و باسک.

• سیستم تقویم مایا
• فرانسوی: quatre-vingts (80)
• انگلیسی: 'score' = 20
• شمارش سنتی اینویت

حداکثر پایه الفبایی-عددی

از همه ارقام ده‌دهی (0-9) به علاوه همه حروف (A-Z) استفاده می‌کند. فشرده و قابل خواندن برای انسان.

• کوتاه کننده‌های URL: لینک‌های فشرده
• کلیدهای مجوز: فعال‌سازی نرم‌افزار
• شناسه‌های پایگاه داده: شناسه‌های قابل تایپ
• کدهای رهگیری: بسته‌ها، سفارشات

روم باستان (500 قبل از میلاد - 1500 پس از میلاد)

2000 سال بر اروپا تسلط داشت. هر نماد ارزش ثابتی دارد: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• هنوز استفاده می‌شود: ساعت‌ها، سوپربول، رئوس مطالب
• بدون صفر: مشکلات محاسباتی
• قواعد کاهشی: IV=4, IX=9, XL=40
• محدود: استاندارد تا 3999 می‌رسد
• جایگزین شده با اعداد هندی-عربی

بابل باستان (3000 قبل از میلاد)

قدیمی‌ترین سیستم باقی‌مانده. 60 دارای 12 مقسوم‌علیه است که کسرها را آسان‌تر می‌کند. برای زمان و زوایا استفاده می‌شد.

• زمان: 60 ثانیه/دقیقه، 60 دقیقه/ساعت
• زوایا: دایره 360 درجه، 60 دقیقه قوسی
• قابلیت تقسیم: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 تمیز
• محاسبات نجومی بابلی

هر رقم ده‌دهی به عنوان 4 بیت کدگذاری شده است

BCD هر رقم ده‌دهی (0-9) را به عنوان 4 بیت باینری نشان می‌دهد. 392 به 0011 1001 0010 تبدیل می‌شود. از خطاهای ممیز شناور جلوگیری می‌کند.

• سیستم‌های مالی: ده‌دهی دقیق
• ساعت‌های دیجیتال و ماشین حساب‌ها
• مین‌فریم‌های IBM: واحد ده‌دهی
• نوارهای مغناطیسی کارت اعتباری

مقادیر مجاور با یک بیت تفاوت دارند

کد گری تضمین می‌کند که فقط یک بیت بین اعداد متوالی تغییر می‌کند. برای تبدیل آنالوگ به دیجیتال حیاتی است.

• انکودرهای چرخشی: سنسورهای موقعیت
• تبدیل آنالوگ به دیجیتال
• نقشه‌های کارنو: ساده‌سازی منطق
• کدهای تصحیح خطا

برنامه‌نویسان روزانه با چندین پایه کار می‌کنند:

• آدرس‌های حافظه: 0x7FFEE4B2A000 (هگزادسیمال)
• پرچم‌های بیت: 0b10110101 (باینری)
• کدهای رنگ: #FF5733 (هگزادسیمال RGB)
• مجوزهای فایل: chmod 755 (اکتال)
• اشکال‌زدایی: hexdump، بازرسی حافظه

پروتکل‌های شبکه از هگزادسیمال و باینری استفاده می‌کنند:

• آدرس‌های MAC: 00:1A:2B:3C:4D:5E (هگزادسیمال)
• IPv4: 192.168.1.1 = نمادگذاری باینری
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (هگزادسیمال)
• ماسک‌های زیرشبکه: 255.255.255.0 = /24
• بازرسی بسته: Wireshark هگزادسیمال

طراحی سخت‌افزار در سطح باینری:

• گیت‌های منطقی: AND, OR, NOT باینری
• رجیسترهای CPU: 64 بیت = 16 رقم هگزادسیمال
• زبان اسمبلی: کدهای عملیاتی در هگزادسیمال
• برنامه‌نویسی FPGA: جریان‌های باینری
• اشکال‌زدایی سخت‌افزار: تحلیل‌گرهای منطقی

نظریه اعداد خواص را بررسی می‌کند:

• حساب پیمانه‌ای: پایه‌های مختلف
• رمزنگاری: RSA، منحنی‌های بیضوی
• تولید فراکتال: مجموعه کانتور سه‌تایی
• الگوهای اعداد اول
• ترکیبیات: الگوهای شمارش

با استفاده از ارزش‌های موضعی بسط دهید:

• پایه و ارقام را شناسایی کنید
• موقعیت‌ها را از راست به چپ اختصاص دهید (0, 1, 2...)
• ارقام را به مقادیر ده‌دهی تبدیل کنید
• ضرب کنید: رقم × پایه^موقعیت
• همه عبارات را جمع کنید

به طور مکرر بر پایه هدف تقسیم کنید:

• عدد را بر پایه هدف تقسیم کنید
• باقیمانده را ثبت کنید (رقم سمت راست‌ترین)
• خارج قسمت را دوباره بر پایه تقسیم کنید
• تا زمانی که خارج قسمت 0 شود تکرار کنید
• باقیمانده‌ها را از پایین به بالا بخوانید

بیت‌های باینری را گروه‌بندی کنید:

• باینری → هگزادسیمال: با 4 بیت گروه‌بندی کنید
• باینری → اکتال: با 3 بیت گروه‌بندی کنید
• هگزادسیمال → باینری: هر رقم را به 4 بیت بسط دهید
• اکتال → باینری: هر رقم را به 3 بیت بسط دهید
• تبدیل ده‌دهی را کاملاً نادیده بگیرید!

ترفندهایی برای تبدیل‌های رایج:

• توان‌های 2: 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536 را به خاطر بسپارید
• هگزادسیمال: F=15, FF=255, FFF=4095
• اکتال 777 = باینری 111111111
• دو برابر کردن/نصف کردن: شیفت باینری
• از حالت برنامه‌نویس ماشین حساب استفاده کنید

هر بار که به ساعت نگاه می‌کنید، از یک سیستم پایه 60 بابلی 5000 ساله استفاده می‌کنید. آنها 60 را انتخاب کردند زیرا 12 مقسوم‌علیه دارد که کسرها را آسان‌تر می‌کند.

در سال 1999، مدارگرد 125 میلیون دلاری مریخ ناسا به دلیل خطاهای تبدیل واحد نابود شد - یک تیم از سیستم امپریال و دیگری از متریک استفاده می‌کرد. درسی گران‌قیمت در دقت.

اعداد رومی صفر و اعداد منفی ندارند. این امر ریاضیات پیشرفته را تقریباً غیرممکن کرده بود تا اینکه اعداد هندی-عربی (0-9) ریاضیات را متحول کردند.

کامپیوتر راهنمای آپولو همه چیز را در اکتال (پایه 8) نمایش می‌داد. فضانوردان کدهای اکتال را برای برنامه‌هایی که انسان‌ها را روی ماه فرود آوردند، به خاطر سپردند.

کدهای رنگ RGB از هگزادسیمال استفاده می‌کنند: #RRGGBB که هر کدام 00-FF (0-255) است. این امر 256³ = 16,777,216 رنگ ممکن را در رنگ واقعی 24 بیتی می‌دهد.

محققان شوروی در دهه‌های 1950-70 کامپیوترهای سه‌تایی (پایه 3) ساختند. کامپیوتر ستون از منطق -1، 0، +1 به جای باینری استفاده می‌کرد. زیرساخت باینری پیروز شد.

باینری کاملاً با مدارهای الکترونیکی مطابقت دارد: روشن/خاموش، ولتاژ بالا/پایین. سیستم‌های دو حالته قابل اعتماد، سریع و آسان برای ساخت هستند. ده‌دهی به 10 سطح ولتاژ متمایز نیاز دارد که مدارها را پیچیده و مستعد خطا می‌کند.

16 نگاشت هگزادسیمال به باینری (0=0000...F=1111) را به خاطر بسپارید. هر رقم هگزادسیمال را به طور مستقل تبدیل کنید: A5₁₆ = 1010|0101₂. برای برعکس کردن، باینری را از راست به صورت 4 تایی گروه‌بندی کنید: 110101₂ = 35₁₆. نیازی به ده‌دهی نیست!

برای برنامه‌نویسی (آدرس‌های حافظه، عملیات بیت)، شبکه‌سازی (آدرس‌های IP، آدرس‌های MAC)، اشکال‌زدایی (دامپ‌های حافظه)، الکترونیک دیجیتال (طراحی منطقی) و امنیت (رمزنگاری، هشینگ) ضروری است.

هگزادسیمال با مرزهای بایت (8 بیت = 2 رقم هگزادسیمال) هم‌تراز است، در حالی که اکتال اینطور نیست (8 بیت = 2.67 رقم اکتال). کامپیوترهای مدرن بایت‌گرا هستند که هگزادسیمال را راحت‌تر می‌کند. فقط مجوزهای فایل یونیکس اکتال را مرتبط نگه می‌دارند.

هیچ روش مستقیم آسانی وجود ندارد. اکتال باینری را با 3 و هگزادسیمال با 4 گروه‌بندی می‌کند. باید از طریق باینری تبدیل کنید: اکتال→باینری (3 بیت)→هگزادسیمال (4 بیت). مثال: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. یا از ده‌دهی به عنوان واسطه استفاده کنید.

سنت و زیبایی‌شناسی. برای رسمیت (سوپربول، فیلم‌ها)، تمایز (رئوس مطالب)، جاودانگی (بدون ابهام قرن) و ظرافت طراحی استفاده می‌شود. برای محاسبه عملی نیستند اما از نظر فرهنگی پایدار هستند.

هر پایه قوانین سختگیرانه‌ای دارد. پایه 8 نمی‌تواند 8 یا 9 داشته باشد. اگر 189₈ بنویسید، نامعتبر است. مبدل‌ها آن را رد می‌کنند. زبان‌های برنامه‌نویسی این را اعمال می‌کنند: '09' در زمینه‌های اکتال باعث خطا می‌شود.

پایه 1 (یکانی) از یک نماد (علامت‌های شمارش) استفاده می‌کند. واقعاً موضعی نیست: 5 = '11111' (پنج علامت). برای شمارش ابتدایی استفاده می‌شود اما غیرعملی است. شوخی: یکانی ساده‌ترین پایه است - فقط به شمارش ادامه دهید!