Temelj svakog brojnog sistema

Osnova određuje koliko se jedinstvenih cifara koristi i kako se povećavaju mjesne vrijednosti. Osnova 10 koristi cifre 0-9. Osnova 2 (binarni) koristi 0-1. Osnova 16 (heksadecimalni) koristi 0-9 plus A-F.

U osnovi 8 (oktalni): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Simboli koji predstavljaju vrijednosti u brojnom sistemu

Svaka osnova zahtijeva jedinstvene simbole za vrijednosti od 0 do (osnova-1). Binarni koristi {0,1}. Decimalni koristi {0-9}. Heksadecimalni se proširuje na {0-9, A-F} gdje je A=10...F=15.

2F3₁₆ u heksadecimalnom = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Prevođenje brojeva između različitih sistema

Konverzija uključuje proširenje u decimalni sistem koristeći pozicione vrijednosti, a zatim konverziju u ciljnu osnovu. Iz bilo koje osnove u decimalni: zbir cifra×osnova^pozicija.

1011₂ → decimalni: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Jezik računara - samo 0 i 1

Binarni sistem je temelj svih digitalnih sistema. Svaka računarska operacija se svodi na binarni. Svaka cifra (bit) predstavlja stanje uključeno/isključeno.

• Cifre: {0, 1} - minimalni skup simbola
• Jedan bajt = 8 bita, predstavlja 0-255 u decimalnom sistemu
• Stepeni broja 2 su okrugli brojevi: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Sabiranje je jednostavno: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Koristi se u: CPU, memoriji, mrežama, digitalnoj logici

Kompaktni binarni prikaz koristeći cifre 0-7

Oktalni sistem grupiše binarne cifre u skupove od po tri (2³=8). Svaka oktalna cifra = tačno 3 binarna bita.

• Cifre: {0-7} - ne postoje 8 ili 9
• Svaka oktalna cifra = 3 binarna bita: 7₈ = 111₂
• Unix dozvole: 755 = rwxr-xr-x
• Historijski: rani miniračunari
• Danas manje uobičajen: heksadecimalni je zamijenio oktalni

Univerzalni ljudski brojni sistem

Decimalni sistem je standard za ljudsku komunikaciju širom svijeta. Njegova struktura osnove 10 evoluirala je iz brojanja na prste.

• Cifre: {0-9} - deset simbola
• Prirodan za ljude: 10 prstiju
• Naučna notacija koristi decimalni sistem: 6.022×10²³
• Valuta, mjerenja, kalendari
• Računari interno konvertuju u binarni

Programerska skraćenica za binarni

Heksadecimalni sistem je moderni standard za kompaktno predstavljanje binarnog. Jedna heksadecimalna cifra = tačno 4 bita (2⁴=16).

• Cifre: {0-9, A-F} gdje je A=10...F=15
• Svaka heksadecimalna cifra = 4 bita: F₁₆ = 1111₂
• Jedan bajt = 2 heksadecimalne cifre: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB boje: #FF5733 = crvena(255) zelena(87) plava(51)
• Memorijske adrese: 0x7FFF8A2C

Matematički najefikasnija osnova

Ternarni sistem koristi cifre {0,1,2}. Najefikasniji radiks za predstavljanje brojeva (najbliži e=2.718).

• Optimalna matematička efikasnost
• Balansirani ternarni: {-,0,+} simetričan
• Ternarna logika u fazi sistemima
• Predložen za kvantno računarstvo (kutriti)

Praktična alternativa decimalnom

Osnova 12 ima više djelilaca (2,3,4,6) od 10 (2,5), što pojednostavljuje razlomke. Koristi se za vrijeme, tuceta, inče/stope.

• Vrijeme: 12-satni sat, 60 minuta (5×12)
• Imperijalni: 12 inča = 1 stopa
• Lakši razlomci: 1/3 = 0.4₁₂
• Duodecimalno društvo zagovara usvajanje

Brojanje dvadeseticama

Sistemi osnove 20 su evoluirali iz brojanja prstiju na rukama i nogama. Primjeri Maja, Asteka, Kelta i Baska.

• Majanski kalendarski sistem
• Francuski: quatre-vingts (80)
• Engleski: 'score' = 20
• Tradicionalno brojanje Inuita

Maksimalna alfanumerička osnova

Koristi sve decimalne cifre (0-9) plus sva slova (A-Z). Kompaktan i čitljiv za ljude.

• Skraćivači URL-ova: kompaktni linkovi
• Licencni ključevi: aktivacija softvera
• ID-jevi baza podataka: identifikatori koji se mogu kucati
• Kodovi za praćenje: paketi, porudžbine

Drevni Rim (500 p.n.e. - 1500 n.e.)

Dominirao Evropom 2000 godina. Svaki simbol ima fiksnu vrijednost: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Još uvijek se koriste: satovi, Super Bowl, nacrti
• Nema nule: poteškoće u računanju
• Pravila oduzimanja: IV=4, IX=9, XL=40
• Ograničeni: standard ide do 3999
• Zamijenjeni hindu-arapskim brojevima

Drevni Babilon (3000 p.n.e.)

Najstariji preživjeli sistem. 60 ima 12 djelilaca, što olakšava razlomke. Koristi se za vrijeme i uglove.

• Vrijeme: 60 sekundi/minuta, 60 minuta/sat
• Uglovi: krug od 360°, 60 lučnih minuta
• Djeljivost: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 čisti
• Babilonski astronomski proračuni

Svaka decimalna cifra je kodirana kao 4 bita

BCD predstavlja svaku decimalnu cifru (0-9) kao 4-bitni binarni broj. 392 postaje 0011 1001 0010. Izbjegava greške sa pokretnim zarezom.

• Finansijski sistemi: tačan decimalni
• Digitalni satovi i kalkulatori
• IBM mainframe računari: decimalna jedinica
• Magnetne trake kreditnih kartica

Susjedne vrijednosti se razlikuju za jedan bit

Grayev kod osigurava da se samo jedan bit mijenja između uzastopnih brojeva. Kritičan za analogno-digitalnu konverziju.

• Rotacioni enkoderi: senzori pozicije
• Analogno-digitalna konverzija
• Karnaughove mape: pojednostavljenje logike
• Kodovi za ispravku grešaka

Programeri svakodnevno rade sa više osnova:

• Memorijske adrese: 0x7FFEE4B2A000 (heksadecimalni)
• Bit flagovi: 0b10110101 (binarni)
• Kodovi boja: #FF5733 (heksadecimalni RGB)
• Dozvole za datoteke: chmod 755 (oktalni)
• Debagiranje: hexdump, inspekcija memorije

Mrežni protokoli koriste heksadecimalni i binarni:

• MAC adrese: 00:1A:2B:3C:4D:5E (heksadecimalni)
• IPv4: 192.168.1.1 = binarna notacija
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (heksadecimalni)
• Maska podmreže: 255.255.255.0 = /24
• Inspekcija paketa: Wireshark heksadecimalni

Dizajn hardvera na binarnom nivou:

• Logička kola: AND, OR, NOT binarni
• CPU registri: 64-bit = 16 heksadecimalnih cifara
• Asemblerski jezik: opkodovi u heksadecimalnom
• FPGA programiranje: binarni tokovi
• Debagiranje hardvera: logički analizatori

Teorija brojeva istražuje svojstva:

• Modularna aritmetika: različite osnove
• Kriptografija: RSA, eliptičke krive
• Generiranje fraktala: Kantorov skup ternarno
• Obrasci prostih brojeva
• Kombinatorika: obrasci brojanja

Proširite koristeći pozicione vrijednosti:

• Identificirajte osnovu i cifre
• Dodijelite pozicije s desna na lijevo (0, 1, 2...)
• Konvertujte cifre u decimalne vrijednosti
• Pomnožite: cifra × osnova^pozicija
• Saberite sve članove

Uzastopno dijelite sa ciljnom osnovom:

• Podijelite broj sa ciljnom osnovom
• Zabilježite ostatak (krajnja desna cifra)
• Ponovo podijelite količnik sa osnovom
• Ponavljajte dok količnik ne bude 0
• Čitajte ostatke odozdo prema gore

Grupišite binarne bitove:

• Binarni → Heksadecimalni: grupišite po 4 bita
• Binarni → Oktalni: grupišite po 3 bita
• Heksadecimalni → Binarni: proširite svaku cifru na 4 bita
• Oktalni → Binarni: proširite na 3 bita po cifri
• Preskočite decimalnu konverziju u potpunosti!

Trikovi za uobičajene konverzije:

• Stepeni broja 2: zapamtite 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Heksadecimalni: F=15, FF=255, FFF=4095
• Oktalni 777 = binarni 111111111
• Udvostručavanje/prepolovljavanje: binarni pomak
• Koristite programerski način kalkulatora

Svaki put kada pogledate na sat, koristite 5000 godina star babilonski sistem osnove 60. Izabrali su 60 jer ima 12 djelilaca, što olakšava razlomke.

1999. godine, NASA-in Mars orbiter vrijedan 125 miliona dolara uništen je zbog grešaka u konverziji jedinica - jedan tim je koristio imperijalni, a drugi metrički sistem. Skupa lekcija o preciznosti.

Rimski brojevi nemaju nulu i nemaju negativne brojeve. To je učinilo naprednu matematiku gotovo nemogućom sve dok hindu-arapski brojevi (0-9) nisu revolucionisali matematiku.

Apollo Vodeći Računar je sve prikazivao u oktalnom sistemu (osnova 8). Astronauti su pamtili oktalne kodove za programe koji su spustili ljude na Mjesec.

RGB kodovi boja koriste heksadecimalni sistem: #RRGGBB gdje je svaki 00-FF (0-255). To daje 256³ = 16.777.216 mogućih boja u 24-bitnoj pravoj boji.

Sovjetski istraživači su gradili ternarna (osnova-3) računala 1950-ih i 70-ih godina. Računar Setun je koristio logiku -1, 0, +1 umjesto binarne. Binarna infrastruktura je pobijedila.

Binarni se savršeno preslikava na elektronička kola: uključeno/isključeno, visok/nizak napon. Sistemi s dva stanja su pouzdani, brzi i laki za proizvodnju. Decimalni bi zahtijevao 10 različitih nivoa napona, što bi kola učinilo složenim i sklonim greškama.

Zapamtite 16 mapiranja heksadecimalni-u-binarni (0=0000...F=1111). Konvertujte svaku heksadecimalnu cifru nezavisno: A5₁₆ = 1010|0101₂. Grupišite binarni po 4 s desna da biste obrnuli: 110101₂ = 35₁₆. Decimalni nije potreban!

Neophodno za programiranje (memorijske adrese, bit operacije), umrežavanje (IP adrese, MAC adrese), debagiranje (memorijski dumpovi), digitalnu elektroniku (logički dizajn) i sigurnost (kriptografija, heširanje).

Heksadecimalni se poravnava sa granicama bajta (8 bita = 2 heksadecimalne cifre), dok oktalni ne (8 bita = 2.67 oktalnih cifara). Moderni računari su orijentisani na bajtove, što heksadecimalni čini praktičnijim. Samo Unix dozvole za datoteke održavaju oktalni relevantnim.

Nema lake direktne metode. Oktalni grupiše binarni po 3, heksadecimalni po 4. Mora se konvertovati preko binarnog: oktalni→binarni (3 bita)→heksadecimalni (4 bita). Primjer: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Ili koristite decimalni kao posrednika.

Tradicija i estetika. Koriste se za formalnost (Super Bowl, filmovi), razlikovanje (nacrti), bezvremenost (nema dvosmislenosti vijeka) i eleganciju dizajna. Nisu praktični za računanje, ali su kulturno postojani.

Svaka osnova ima stroga pravila. Osnova 8 ne može sadržavati 8 ili 9. Ako napišete 189₈, to je nevažeće. Konvertori će to odbiti. Programski jezici to nameću: '09' uzrokuje greške u oktalnim kontekstima.

Osnova 1 (unarni) koristi jedan simbol (crtice). Nije zaista pozicioni: 5 = '11111' (pet crtica). Koristi se za primitivno brojanje, ali je nepraktičan. Šala: unarni je najlakša osnova - samo nastavite brojati!