Grunnlaget for ethvert tallsystem

Basen bestemmer hvor mange unike siffer som brukes og hvordan plassverdiene øker. Base 10 bruker sifrene 0-9. Base 2 (binært) bruker 0-1. Base 16 (heksadesimalt) bruker 0-9 pluss A-F.

I base 8 (oktalt): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Symboler som representerer verdier i et tallsystem

Hver base krever unike symboler for verdier fra 0 til (base-1). Binært bruker {0,1}. Desimalt bruker {0-9}. Heksadesimalt utvides til {0-9, A-F} der A=10...F=15.

2F3₁₆ i heksadesimalt = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Oversette tall mellom forskjellige systemer

Konvertering innebærer å utvide til desimalt ved hjelp av posisjonsverdier, og deretter konvertere til målbasen. Fra en hvilken som helst base til desimalt: summer siffer×base^posisjon.

1011₂ → desimalt: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Datamaskinens språk - bare 0-er og 1-ere

Binært er grunnlaget for alle digitale systemer. Hver dataoperasjon reduseres til binært. Hvert siffer (bit) representerer på/av-tilstander.

• Siffer: {0, 1} - minimalt symbolsett
• Én byte = 8 biter, representerer 0-255 i desimalt
• Potenser av 2 er runde tall: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Enkel addisjon: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Brukes i: CPUer, minne, nettverk, digital logikk

Kompakt binær representasjon ved bruk av sifrene 0-7

Oktalt grupperer binære siffer i sett på tre (2³=8). Hvert oktale siffer = nøyaktig 3 binære biter.

• Siffer: {0-7} - 8 eller 9 finnes ikke
• Hvert oktale siffer = 3 binære biter: 7₈ = 111₂
• Unix-tillatelser: 755 = rwxr-xr-x
• Historisk: tidlige minidatamaskiner
• Mindre vanlig i dag: heksadesimalt har erstattet oktalt

Det universelle menneskelige tallsystemet

Desimalt er standard for menneskelig kommunikasjon over hele verden. Dets base-10-struktur utviklet seg fra å telle på fingrene.

• Siffer: {0-9} - ti symboler
• Naturlig for mennesker: 10 fingre
• Vitenskapelig notasjon bruker desimalt: 6.022×10²³
• Valuta, mål, kalendere
• Datamaskiner konverterer internt til binært

Programmererens stenografi for binært

Heksadesimalt er den moderne standarden for å representere binært kompakt. Ett heksadesimalt siffer = nøyaktig 4 biter (2⁴=16).

• Siffer: {0-9, A-F} der A=10...F=15
• Hvert heksadesimale siffer = 4 biter: F₁₆ = 1111₂
• Én byte = 2 heksadesimale siffer: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB-farger: #FF5733 = rød(255) grønn(87) blå(51)
• Minneadresser: 0x7FFF8A2C

Matematisk den mest effektive basen

Ternært bruker sifrene {0,1,2}. Den mest effektive radixen for å representere tall (nærmest e=2.718).

• Matematisk effektivitet optimal
• Balansert ternært: {-,0,+} symmetrisk
• Ternær logikk i uklare systemer
• Foreslått for kvantedatamaskiner (qutrits)

Det praktiske alternativet til desimalt

Base 12 har flere delere (2,3,4,6) enn 10 (2,5), noe som forenkler brøker. Brukes i tid, dusin, tommer/fot.

• Tid: 12-timers klokke, 60 minutter (5×12)
• Imperial: 12 tommer = 1 fot
• Brøker enklere: 1/3 = 0.4₁₂
• Duodesimalforeningen fremmer adopsjon

Å telle i tjueere

Base 20-systemer utviklet seg fra å telle fingre + tær. Eksempler fra Maya, Aztec, Keltisk og Baskisk.

• Maya-kalendersystem
• Fransk: quatre-vingts (80)
• Engelsk: 'score' = 20
• Tradisjonell inuitt-telling

Maksimal alfanumerisk base

Bruker alle desimalsifre (0-9) pluss alle bokstaver (A-Z). Kompakt og leselig for mennesker.

• URL-forkortere: kompakte lenker
• Lisensnøkler: programvareaktivering
• Database-IDer: skrivbare identifikatorer
• Sporingskoder: pakker, bestillinger

Antikkens Roma (500 f.Kr. - 1500 e.Kr.)

Dominerte Europa i 2000 år. Hvert symbol har en fast verdi: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Fortsatt i bruk: klokker, Super Bowl, oversikter
• Ingen null: beregningsvansker
• Subtraktive regler: IV=4, IX=9, XL=40
• Begrenset: standarden går til 3999
• Erstattet av hindu-arabiske tall

Antikkens Babylon (3000 f.Kr.)

Eldste overlevende system. 60 har 12 delere, noe som gjør brøker enklere. Brukt for tid og vinkler.

• Tid: 60 sekunder/minutt, 60 minutter/time
• Vinkler: 360° sirkel, 60 bueminutter
• Delbarhet: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 rene
• Babylonske astronomiske beregninger

Hvert desimalsiffer er kodet som 4 biter

BCD representerer hvert desimalsiffer (0-9) som 4-bits binært. 392 blir 0011 1001 0010. Unngår flyttallsfeil.

• Finansielle systemer: nøyaktig desimal
• Digitale klokker og kalkulatorer
• IBM-stormaskiner: desimalenhet
• Magnetstriper på kredittkort

Tilstøtende verdier varierer med én bit

Gray-kode sikrer at bare én bit endres mellom påfølgende tall. Kritisk for analog-til-digital-konvertering.

• Rotasjonsenkodere: posisjonssensorer
• Analog-til-digital-konvertering
• Karnaugh-diagrammer: logisk forenkling
• Feilrettingskoder

Programmerere jobber med flere baser daglig:

• Minneadresser: 0x7FFEE4B2A000 (heksadesimalt)
• Bitflagg: 0b10110101 (binært)
• Fargekoder: #FF5733 (heksadesimalt RGB)
• Filrettigheter: chmod 755 (oktalt)
• Feilsøking: hexdump, minneinspeksjon

Nettverksprotokoller bruker heksadesimalt og binært:

• MAC-adresser: 00:1A:2B:3C:4D:5E (heksadesimalt)
• IPv4: 192.168.1.1 = binær notasjon
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (heksadesimalt)
• Subnettmasker: 255.255.255.0 = /24
• Pakkeinspeksjon: Wireshark heksadesimalt

Maskinvaredesign på binært nivå:

• Logiske porter: AND, OR, NOT binært
• CPU-registre: 64-bit = 16 heksadesimale siffer
• Assemblerspråk: opkoder i heksadesimalt
• FPGA-programmering: binære strømmer
• Maskinvarefeilsøking: logiske analysatorer

Tallteori utforsker egenskaper:

• Modulær aritmetikk: forskjellige baser
• Kryptografi: RSA, elliptiske kurver
• Fraktalgenerering: Cantor-sett ternært
• Primtallsmønstre
• Kombinatorikk: tellemønstre

Utvid ved hjelp av posisjonsverdier:

• Identifiser base og siffer
• Tildel posisjoner fra høyre til venstre (0, 1, 2...)
• Konverter siffer til desimale verdier
• Multipliser: siffer × base^posisjon
• Summer alle leddene

Del gjentatte ganger med målbasen:

• Del tallet med målbasen
• Registrer resten (sifferet lengst til høyre)
• Del kvotienten med basen igjen
• Gjenta til kvotienten er 0
• Les restene fra bunn til topp

Grupper binære biter:

• Binært → Heksadesimalt: grupper med 4 biter
• Binært → Oktalt: grupper med 3 biter
• Heksadesimalt → Binært: utvid hvert siffer til 4 biter
• Oktalt → Binært: utvid til 3 biter per siffer
• Hopp over desimalkonvertering helt!

Triks for vanlige konverteringer:

• Potenser av 2: husk 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Heksadesimalt: F=15, FF=255, FFF=4095
• Oktalt 777 = binært 111111111
• Dobling/halvering: binær forskyvning
• Bruk kalkulatorens programmeringsmodus

Hver gang du sjekker klokken, bruker du et 5000 år gammelt babylonsk base-60-system. De valgte 60 fordi det har 12 delere, noe som gjør brøker enklere.

I 1999 ble NASAs 125 millioner dollar dyre Mars-orbiter ødelagt på grunn av enhetskonverteringsfeil - ett team brukte det imperiale systemet, et annet det metriske. En kostbar leksjon i presisjon.

Romertall har ingen null og ingen negative tall. Dette gjorde avansert matematikk nesten umulig inntil hindu-arabiske tall (0-9) revolusjonerte matematikken.

Apollo Guidance Computer viste alt i oktalt (base 8). Astronautene lærte seg oktale koder for programmer som landet mennesker på månen.

RGB-fargekoder bruker heksadesimalt: #RRGGBB der hver er 00-FF (0-255). Dette gir 256³ = 16 777 216 mulige farger i 24-bits ekte farge.

Sovjetiske forskere bygget ternære (base-3) datamaskiner på 1950-70-tallet. Setun-datamaskinen brukte -1, 0, +1 logikk i stedet for binær. Binær infrastruktur vant.

Binært kartlegger perfekt til elektroniske kretser: på/av, høy/lav spenning. To-tilstandssystemer er pålitelige, raske og enkle å produsere. Desimalt ville kreve 10 distinkte spenningsnivåer, noe som gjør kretser komplekse og feilutsatte.

Husk de 16 heksadesimalt-til-binære kartleggingene (0=0000...F=1111). Konverter hvert heksadesimale siffer uavhengig: A5₁₆ = 1010|0101₂. Grupper binært med 4 fra høyre for å reversere: 110101₂ = 35₁₆. Ingen desimal er nødvendig!

Essensielt for programmering (minneadresser, bitoperasjoner), nettverksbygging (IP-adresser, MAC-adresser), feilsøking (minnedumper), digital elektronikk (logisk design) og sikkerhet (kryptografi, hashing).

Heksadesimalt er på linje med byte-grenser (8 biter = 2 heksadesimale siffer), mens oktalt ikke er det (8 biter = 2.67 oktale siffer). Moderne datamaskiner er byte-orienterte, noe som gjør heksadesimalt mer praktisk. Bare Unix-filrettigheter holder oktalt relevant.

Ingen enkel direkte metode. Oktalt grupperer binært med 3, heksadesimalt med 4. Må konvertere via binært: oktalt→binært (3 biter)→heksadesimalt (4 biter). Eksempel: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Eller bruk desimalt som et mellomledd.

Tradisjon og estetikk. Brukes for formalitet (Super Bowl, filmer), distinksjon (oversikter), tidløshet (ingen århundretvetydighet) og designeleganse. Ikke praktisk for beregning, men kulturelt vedvarende.

Hver base har strenge regler. Base 8 kan ikke inneholde 8 eller 9. Hvis du skriver 189₈, er det ugyldig. Omformere vil avvise det. Programmeringsspråk håndhever dette: '09' forårsaker feil i oktale kontekster.

Base 1 (unært) bruker ett symbol (tellemerker). Ikke egentlig posisjonelt: 5 = '11111' (fem merker). Brukes for primitiv telling, men upraktisk. Spøk: unært er den enkleste basen - bare fortsett å telle!