Msingi wa mfumo wowote wa nambari

Besi huamua ni tarakimu ngapi za kipekee zinazotumiwa na jinsi thamani za nafasi zinavyoongezeka. Besi 10 hutumia tarakimu 0-9. Besi 2 (mfumo wa nambari mbili) hutumia 0-1. Besi 16 (heksadesimali) hutumia 0-9 pamoja na A-F.

Katika besi 8 (oktali): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Alama zinazowakilisha thamani katika mfumo wa nambari

Kila besi inahitaji alama za kipekee kwa thamani kuanzia 0 hadi (besi-1). Mfumo wa nambari mbili hutumia {0,1}. Desimali hutumia {0-9}. Heksadesimali huongezeka hadi {0-9, A-F} ambapo A=10...F=15.

2F3₁₆ katika heksi = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Kutafsiri nambari kati ya mifumo tofauti

Ubadilishaji unahusisha kupanua hadi desimali kwa kutumia thamani za kimsimamo, kisha kubadilisha hadi besi lengwa. Kutoka besi yoyote hadi desimali: jumla ya tarakimu×besi^nafasi.

1011₂ → desimali: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Lugha ya kompyuta - 0 na 1 pekee

Mfumo wa nambari mbili ni msingi wa mifumo yote ya kidijitali. Kila operesheni ya kompyuta hupunguzwa kuwa mfumo wa nambari mbili. Kila tarakimu (biti) inawakilisha hali za kuwasha/kuzima.

• Tarakimu: {0, 1} - seti ndogo zaidi ya alama
• Baiti moja = biti 8, inawakilisha 0-255 katika desimali
• Nguvu za 2 ni nambari kamili: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Uongezaji rahisi: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Hutumika katika: CPU, kumbukumbu, mitandao, mantiki ya kidijitali

Uwakilishi fupi wa mfumo wa nambari mbili kwa kutumia tarakimu 0-7

Oktali hupanga tarakimu za mfumo wa nambari mbili katika seti za tatu (2³=8). Kila tarakimu ya oktali = biti 3 kamili za mfumo wa nambari mbili.

• Tarakimu: {0-7} - hakuna 8 wala 9
• Kila tarakimu ya oktali = biti 3 za mfumo wa nambari mbili: 7₈ = 111₂
• Ruhusa za Unix: 755 = rwxr-xr-x
• Kihistoria: kompyuta ndogo za awali
• Sio kawaida leo: heksi imechukua nafasi ya oktali

Mfumo wa nambari wa binadamu wote

Desimali ni kiwango cha mawasiliano ya binadamu duniani kote. Muundo wake wa besi-10 uliibuka kutokana na kuhesabu kwa vidole.

• Tarakimu: {0-9} - alama kumi
• Asili kwa binadamu: vidole 10
• Nukuu ya kisayansi hutumia desimali: 6.022×10²³
• Sarafu, vipimo, kalenda
• Kompyuta hubadilisha kuwa mfumo wa nambari mbili ndani

Njia fupi ya wataalamu wa programu kwa mfumo wa nambari mbili

Heksadesimali ni kiwango cha kisasa cha kuwakilisha mfumo wa nambari mbili kwa ufupi. Tarakimu moja ya heksi = biti 4 kamili (2⁴=16).

• Tarakimu: {0-9, A-F} ambapo A=10...F=15
• Kila tarakimu ya heksi = biti 4: F₁₆ = 1111₂
• Baiti moja = tarakimu 2 za heksi: FF₁₆ = 255₁₀
• Rangi za RGB: #FF5733 = nyekundu(255) kijani(87) buluu(51)
• Anwani za kumbukumbu: 0x7FFF8A2C

Besi yenye ufanisi zaidi kihisabati

Mfumo wa nambari tatu hutumia tarakimu {0,1,2}. Radiksi yenye ufanisi zaidi kwa kuwakilisha nambari (karibu zaidi na e=2.718).

• Ufanisi wa kihisabati wa hali ya juu
• Mfumo wa nambari tatu uliosawazishwa: {-,0,+} linganifu
• Mantiki ya mfumo wa nambari tatu katika mifumo isiyo dhahiri
• Imependekezwa kwa kompyuta ya quantum (qutrits)

Mbadala wa vitendo kwa desimali

Besi 12 ina vigawanyo vingi zaidi (2,3,4,6) kuliko 10 (2,5), ikirahisisha sehemu. Hutumika katika saa, dazeni, inchi/futi.

• Saa: saa ya masaa 12, dakika 60 (5×12)
• Kifalme: inchi 12 = futi 1
• Sehemu rahisi zaidi: 1/3 = 0.4₁₂
• Jamii ya Duodecimal inahimiza matumizi yake

Kuhesabu kwa ishirini

Mifumo ya besi 20 ilitokana na kuhesabu vidole vya mikono na miguu. Mifano ya Mayan, Aztec, Celtic, na Basque.

• Mfumo wa kalenda ya Mayan
• Kifaransa: quatre-vingts (80)
• Kiingereza: 'score' = 20
• Uhesabuji wa jadi wa Wainuit

Besi ya juu zaidi ya herufi na nambari

Hutumia tarakimu zote za desimali (0-9) pamoja na herufi zote (A-Z). Fupi na rahisi kusomwa na binadamu.

• Vifupisho vya URL: viungo fupi
• Funguo za leseni: uanzishaji wa programu
• Vitambulisho vya hifadhidata: vitambulisho vinavyoweza kuandikwa
• Misimbo ya ufuatiliaji: vifurushi, maagizo

Roma ya Kale (500 KK - 1500 BK)

Ilitawala Ulaya kwa miaka 2000. Kila alama ina thamani isiyobadilika: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Bado zinatumika: saa, Super Bowl, muhtasari
• Hakuna sifuri: ugumu wa kuhesabu
• Kanuni za kutoa: IV=4, IX=9, XL=40
• Kikomo: kiwango kinaenda hadi 3999
• Ilibadilishwa na namba za Kihindu-Kiarabu

Babiloni ya Kale (3000 KK)

Mfumo wa zamani zaidi uliosalia. 60 ina vigawanyo 12, ikirahisisha sehemu. Hutumika kwa muda na pembe.

• Muda: sekunde 60/dakika, dakika 60/saa
• Pembe: duara la 360°, dakika 60 za tao
• Uwezo wa kugawanyika: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 safi
• Hesabu za unajimu za Wababeli

Kila tarakimu ya desimali imesimbwa kama biti 4

BCD inawakilisha kila tarakimu ya desimali (0-9) kama mfumo wa nambari mbili wa biti 4. 392 inakuwa 0011 1001 0010. Huepuka makosa ya nambari zinazoelea.

• Mifumo ya kifedha: desimali kamili
• Saa za kidijitali na vikokotoo
• Kompyuta kuu za IBM: kitengo cha desimali
• Mistari ya sumaku ya kadi za mkopo

Thamani zinazofuatana hutofautiana kwa biti moja

Msimbo wa Gray unahakikisha biti moja tu inabadilika kati ya nambari zinazofuatana. Muhimu kwa ubadilishaji kutoka analojia hadi dijitali.

• Visimbaji vya mzunguko: sensorer za msimamo
• Ubadilishaji kutoka analojia hadi dijitali
• Ramani za Karnaugh: kurahisisha mantiki
• Misimbo ya kusahihisha makosa

Wataalamu wa programu hufanya kazi na besi nyingi kila siku:

• Anwani za kumbukumbu: 0x7FFEE4B2A000 (heksi)
• Benderà za biti: 0b10110101 (mfumo wa nambari mbili)
• Misimbo ya rangi: #FF5733 (heksi RGB)
• Ruhusa za faili: chmod 755 (oktali)
• Utatuzi wa hitilafu: hexdump, ukaguzi wa kumbukumbu

Itifaki za mtandao hutumia heksi na mfumo wa nambari mbili:

• Anwani za MAC: 00:1A:2B:3C:4D:5E (heksi)
• IPv4: 192.168.1.1 = nukuu ya mfumo wa nambari mbili
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (heksi)
• Vinyago vya mtandao mdogo: 255.255.255.0 = /24
• Ukaguzi wa pakiti: Wireshark heksi

Ubunifu wa vifaa katika kiwango cha mfumo wa nambari mbili:

• Milango ya mantiki: AND, OR, NOT mfumo wa nambari mbili
• Rejesta za CPU: biti 64 = tarakimu 16 za heksi
• Lugha ya kusanyiko: opcodes katika heksi
• Programu za FPGA: mitiririko ya mfumo wa nambari mbili
• Utatuzi wa hitilafu za vifaa: vichanganuzi vya mantiki

Nadharia ya nambari inachunguza sifa:

• Hesabu za moduli: besi mbalimbali
• Kriptografia: RSA, mikunjo ya eliptiki
• Uundaji wa fraktali: seti ya Cantor ya mfumo wa nambari tatu
• Ruwe za nambari tasa
• Kombinatoriki: ruwe za kuhesabu

Panua kwa kutumia thamani za kimsimamo:

• Tambua besi na tarakimu
• Gawa nafasi kutoka kulia kwenda kushoto (0, 1, 2...)
• Badilisha tarakimu kuwa thamani za desimali
• Zidisha: tarakimu × besi^nafasi
• Jumlisha masharti yote

Gawanya mara kwa mara kwa besi lengwa:

• Gawanya nambari kwa besi lengwa
• Rekodi baki (tarakimu ya kulia kabisa)
• Gawanya hisa kwa besi tena
• Rudia hadi hisa iwe 0
• Soma baki kutoka chini kwenda juu

Panga biti za mfumo wa nambari mbili:

• Mfumo wa Nambari Mbili → Heksi: panga kwa biti 4
• Mfumo wa Nambari Mbili → Oktali: panga kwa biti 3
• Heksi → Mfumo wa Nambari Mbili: panua kila tarakimu hadi biti 4
• Oktali → Mfumo wa Nambari Mbili: panua hadi biti 3 kwa kila tarakimu
• Ruka ubadilishaji wa desimali kabisa!

Mbinu za ubadilishaji wa kawaida:

• Nguvu za 2: kariri 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Heksi: F=15, FF=255, FFF=4095
• Oktali 777 = mfumo wa nambari mbili 111111111
• Kuzidisha mara mbili/kugawa mara mbili: songa mfumo wa nambari mbili
• Tumia hali ya programu ya kikokotoo

Kila wakati unapoangalia saa, unatumia mfumo wa besi-60 wa Wababeli wa miaka 5000. Walichagua 60 kwa sababu ina vigawanyo 12, ikirahisisha sehemu.

Mnamo 1999, obita ya Mars ya NASA ya dola milioni 125 iliharibiwa kutokana na makosa ya ubadilishaji wa vitengo - timu moja ilitumia mfumo wa kifalme, nyingine mfumo wa metriki. Somo la gharama kubwa katika usahihi.

Namba za Kirumi hazina sifuri na hazina hasi. Hii ilifanya hisabati ya hali ya juu karibu isiwezekane hadi namba za Kihindu-Kiarabu (0-9) zilipoleta mapinduzi katika hisabati.

Kompyuta ya Mwongozo ya Apollo ilionyesha kila kitu katika oktali (besi 8). Wanaanga walikariri misimbo ya oktali kwa programu zilizowapeleka wanadamu mwezini.

Misimbo ya rangi ya RGB hutumia heksi: #RRGGBB ambapo kila moja ni 00-FF (0-255). Hii inatoa rangi 256³ = 16,777,216 zinazowezekana katika rangi halisi ya biti 24.

Watafiti wa Kisovieti walijenga kompyuta za mfumo wa nambari tatu (besi-3) katika miaka ya 1950-70. Kompyuta ya Setun ilitumia mantiki ya -1, 0, +1 badala ya mfumo wa nambari mbili. Miundombinu ya mfumo wa nambari mbili ilishinda.

Mfumo wa nambari mbili unaendana kikamilifu na saketi za kielektroniki: kuwasha/kuzima, voltage ya juu/chini. Mifumo ya hali mbili ni ya kuaminika, ya haraka, na rahisi kutengeneza. Desimali ingehitaji viwango 10 tofauti vya voltage, na kufanya saketi kuwa ngumu na rahisi kupata makosa.

Kariri ramani 16 za heksi-hadi-mfumo wa nambari mbili (0=0000...F=1111). Badilisha kila tarakimu ya heksi kivyake: A5₁₆ = 1010|0101₂. Panga mfumo wa nambari mbili kwa 4 kutoka kulia ili kugeuza: 110101₂ = 35₁₆. Hakuna haja ya desimali!

Muhimu kwa programu (anwani za kumbukumbu, operesheni za biti), mitandao (anwani za IP, anwani za MAC), utatuzi wa hitilafu (utupaji wa kumbukumbu), elektroniki za kidijitali (ubunifu wa mantiki), na usalama (kriptografia, hashing).

Heksi inalingana na mipaka ya baiti (biti 8 = tarakimu 2 za heksi), wakati oktali haifanyi hivyo (biti 8 = tarakimu 2.67 za oktali). Kompyuta za kisasa zinaelekezwa kwa baiti, na kufanya heksi kuwa rahisi zaidi. Ruhusa tu za faili za Unix ndizo zinazofanya oktali kuwa muhimu.

Hakuna njia rahisi ya moja kwa moja. Oktali hupanga mfumo wa nambari mbili kwa 3, heksi kwa 4. Lazima ubadilishe kupitia mfumo wa nambari mbili: oktali→mfumo wa nambari mbili (biti 3)→heksi (biti 4). Mfano: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Au tumia desimali kama ya kati.

Tamaduni na uzuri. Hutumika kwa urasmi (Super Bowl, filamu), utofautishaji (muhtasari), kudumu (hakuna utata wa karne), na uzuri wa kubuni. Sio za vitendo kwa hesabu lakini zinadumu kiutamaduni.

Kila besi ina sheria kali. Besi 8 haiwezi kuwa na 8 au 9. Ukiandika 189₈, ni batili. Vigeuzi vitakataa. Lugha za programu zinatekeleza hili: '09' husababisha makosa katika miktadha ya oktali.

Besi 1 (umoja) hutumia alama moja (alama za kuhesabu). Sio ya kimsimamo kweli: 5 = '11111' (alama tano). Hutumika kwa kuhesabu kwa njia ya zamani lakini sio ya vitendo. Utani: umoja ndiyo besi rahisi zaidi - endelea tu kuhesabu!