Themeli i çdo sistemi numrash

Baza përcakton sa shifra unike përdoren dhe si rriten vlerat e vendeve. Baza 10 përdor shifrat 0-9. Baza 2 (binar) përdor 0-1. Baza 16 (heksadecimal) përdor 0-9 plus A-F.

Në bazën 8 (oktal): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Simbolet që paraqesin vlera në një sistem numrash

Çdo bazë kërkon simbole unike për vlerat 0 deri në (baza-1). Binari përdor {0,1}. Dhjetori përdor {0-9}. Heksadecimali zgjerohet në {0-9, A-F} ku A=10...F=15.

2F3₁₆ në heksadecimal = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Përkthimi i numrave midis sistemeve të ndryshme

Konvertimi përfshin zgjerimin në dhjetor duke përdorur vlerat pozicionale, pastaj konvertimin në bazën e synuar. Nga çdo bazë në dhjetor: shuma shifër×bazë^pozicion.

1011₂ → dhjetor: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Gjuha e kompjuterëve - vetëm 0 dhe 1

Binari është themeli i të gjitha sistemeve dixhitale. Çdo operacion kompjuterik reduktohet në binar. Çdo shifër (bit) paraqet gjendjet ndezur/fikur.

• Shifrat: {0, 1} - seti minimal i simboleve
• Një bajt = 8 bit, paraqet 0-255 në dhjetor
• Fuqitë e 2 janë numra të plotë: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Mbledhja e thjeshtë: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Përdoret në: CPU, memorie, rrjete, logjikë dixhitale

Paraqitje kompakte binare duke përdorur shifrat 0-7

Oktali grupon shifrat binare në grupe prej tre (2³=8). Çdo shifër oktale = saktësisht 3 bit binarë.

• Shifrat: {0-7} - nuk ekziston 8 apo 9
• Çdo shifër oktale = 3 bit binarë: 7₈ = 111₂
• Lejet e Unix: 755 = rwxr-xr-x
• Historikisht: minikompjuterët e hershëm
• Më pak i zakonshëm sot: heksadecimali ka zëvendësuar oktalin

Sistemi universal i numrave njerëzorë

Dhjetori është standardi për komunikimin njerëzor në mbarë botën. Struktura e tij me bazë 10 evoluoi nga numërimi me gishta.

• Shifrat: {0-9} - dhjetë simbole
• Natyral për njerëzit: 10 gishta
• Notacioni shkencor përdor dhjetorin: 6.022×10²³
• Monedha, matjet, kalendarët
• Kompjuterët konvertojnë në binar brenda tyre

Shkurtimi i programuesve për binarin

Heksadecimali është standardi modern për paraqitjen kompakte të binarit. Një shifër heksadecimale = saktësisht 4 bit (2⁴=16).

• Shifrat: {0-9, A-F} ku A=10...F=15
• Çdo shifër heksadecimale = 4 bit: F₁₆ = 1111₂
• Një bajt = 2 shifra heksadecimale: FF₁₆ = 255₁₀
• Ngjyrat RGB: #FF5733 = e kuqe(255) e gjelbër(87) blu(51)
• Adresat e memories: 0x7FFF8A2C

Baza më efikase matematikisht

Ternari përdor shifrat {0,1,2}. Radiksi më efikas për paraqitjen e numrave (më afër e=2.718).

• Efikasitet optimal matematikor
• Ternari i balancuar: {-,0,+} simetrik
• Logjika ternare në sistemet fuzzy
• Propozuar për kompjuterë kuantikë (qutrits)

Alternativa praktike për dhjetorin

Baza 12 ka më shumë pjesëtues (2,3,4,6) se 10 (2,5), duke thjeshtuar thyesat. Përdoret në kohë, duzina, inç/këmbë.

• Koha: ora 12-orëshe, 60 minuta (5×12)
• Imperial: 12 inç = 1 këmbë
• Thyesat më të lehta: 1/3 = 0.4₁₂
• Shoqëria Duodecimal mbron adoptimin e tij

Numërimi me njëzeta

Sistemet me bazë 20 evoluan nga numërimi i gishtave të duarve + këmbëve. Shembuj nga Majat, Aztekët, Keltët dhe Baskët.

• Sistemi kalendarik i Majave
• Frëngjisht: quatre-vingts (80)
• Anglisht: 'score' = 20
• Numërimi tradicional i Inuitëve

Baza maksimale alfanumerike

Përdor të gjitha shifrat dhjetore (0-9) plus të gjitha shkronjat (A-Z). Kompakt dhe i lexueshëm nga njeriu.

• Shkurtuesit e URL-ve: lidhje kompakte
• Çelësat e licencës: aktivizimi i softuerit
• ID-të e bazave të të dhënave: identifikues të shtypshëm
• Kodet e gjurmimit: pako, porosi

Roma e Lashtë (500 p.e.s. - 1500 e.s.)

Dominuan Evropën për 2000 vjet. Çdo simbol ka një vlerë fikse: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Ende përdoren: orët, Super Bowl, skicat
• Pa zero: vështirësi në llogaritje
• Rregullat zbritëse: IV=4, IX=9, XL=40
• Të kufizuar: standardi shkon deri në 3999
• Zëvendësuar nga numrat Hindu-Arabikë

Babilonia e Lashtë (3000 p.e.s.)

Sistemi më i vjetër i mbijetuar. 60 ka 12 pjesëtues, duke i bërë thyesat më të lehta. Përdoret për kohën dhe këndet.

• Koha: 60 sekonda/minutë, 60 minuta/orë
• Këndet: rrethi 360°, 60 minuta harku
• Pjesëtueshmëria: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 të pastra
• Llogaritjet astronomike babilonase

Çdo shifër dhjetore kodohet si 4 bit

BCD paraqet çdo shifër dhjetore (0-9) si një binar 4-bitësh. 392 bëhet 0011 1001 0010. Shmang gabimet e pikës lëvizëse.

• Sistemet financiare: dhjetor i saktë
• Orët dixhitale dhe kalkulatorët
• Mainframe-t e IBM: njësia dhjetore
• Shiritat magnetikë të kartave të kreditit

Vlerat fqinje ndryshojnë me një bit

Kodi Gray siguron që vetëm një bit ndryshon midis numrave të njëpasnjëshëm. Kritik për konvertimin analog-dixhital.

• Enkoderët rrotullues: sensorët e pozicionit
• Konvertimi analog-dixhital
• Hartat Karnaugh: thjeshtimi i logjikës
• Kodet e korrigjimit të gabimeve

Programuesit punojnë me baza të shumta çdo ditë:

• Adresat e memories: 0x7FFEE4B2A000 (heksadecimal)
• Flamujt bit: 0b10110101 (binar)
• Kodet e ngjyrave: #FF5733 (heksadecimal RGB)
• Lejet e skedarëve: chmod 755 (oktal)
• Debugimi: hexdump, inspektimi i memories

Protokollet e rrjetit përdorin heksadecimalin dhe binarin:

• Adresat MAC: 00:1A:2B:3C:4D:5E (heksadecimal)
• IPv4: 192.168.1.1 = notacion binar
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (heksadecimal)
• Maskat e nënrrjetit: 255.255.255.0 = /24
• Inspektimi i paketave: Wireshark heksadecimal

Dizajni i harduerit në nivelin binar:

• Portat logjike: AND, OR, NOT binar
• Regjistrat e CPU: 64-bit = 16 shifra heksadecimale
• Gjuha Assembly: opkodet në heksadecimal
• Programimi FPGA: rrjedhat binare
• Debugimi i harduerit: analizatorët logjikë

Teoria e numrave eksploron vetitë:

• Aritmetika modulare: baza të ndryshme
• Kriptografia: RSA, kurbat eliptike
• Gjenerimi i fraktaleve: seti Cantor ternar
• Modelet e numrave prim
• Kombinatorika: modelet e numërimit

Zgjeroni duke përdorur vlerat pozicionale:

• Identifikoni bazën dhe shifrat
• Caktoni pozicionet nga e djathta në të majtë (0, 1, 2...)
• Konvertoni shifrat në vlera dhjetore
• Shumëzoni: shifër × bazë^pozicion
• Mblidhni të gjithë termat

Pjesëtoni vazhdimisht me bazën e synuar:

• Pjesëtoni numrin me bazën e synuar
• Regjistroni mbetjen (shifra më e djathtë)
• Pjesëtoni herësin përsëri me bazën
• Përsëriteni derisa herësi të jetë 0
• Lexoni mbetjet nga poshtë-lart

Gruponi bitet binarë:

• Binar → Heksadecimal: gruponi me 4 bit
• Binar → Oktal: gruponi me 3 bit
• Heksadecimal → Binar: zgjeroni çdo shifër në 4 bit
• Oktal → Binar: zgjeroni në 3 bit për çdo shifër
• Anashkaloni plotësisht konvertimin dhjetor!

Truke për konvertime të zakonshme:

• Fuqitë e 2: mbani mend 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Heksadecimal: F=15, FF=255, FFF=4095
• Oktal 777 = binar 111111111
• Dyfishimi/përgjysmimi: zhvendosja binare
• Përdorni modalitetin programues të kalkulatorit

Sa herë që kontrolloni orën, ju jeni duke përdorur një sistem me bazë 60 babilonas 5000-vjeçar. Ata zgjodhën 60 sepse ka 12 pjesëtues, duke i bërë thyesat më të lehta.

Në 1999, orbiteri i Marsit i NASA-s me vlerë 125 milionë dollarë u shkatërrua për shkak të gabimeve në konvertimin e njësive - një ekip përdori sistemin imperial, një tjetër metrik. Një mësim i kushtueshëm në saktësi.

Numrat romakë nuk kanë zero dhe as negativë. Kjo e bëri matematikën e avancuar pothuajse të pamundur derisa numrat Hindu-Arabikë (0-9) revolucionuan matematikën.

Kompjuteri i Udhëzimit Apollo shfaqi gjithçka në oktal (baza 8). Astronautët mësuan përmendësh kodet oktale për programet që ulën njerëzit në Hënë.

Kodet e ngjyrave RGB përdorin heksadecimalin: #RRGGBB ku secila është 00-FF (0-255). Kjo jep 256³ = 16,777,216 ngjyra të mundshme në ngjyrë të vërtetë 24-bitëshe.

Studiuesit sovjetikë ndërtuan kompjuterë ternarë (baza-3) në vitet 1950-70. Kompjuteri Setun përdori logjikën -1, 0, +1 në vend të binarit. Infrastruktura binare fitoi.

Binari përputhet në mënyrë perfekte me qarqet elektronike: ndezur/fikur, tension i lartë/i ulët. Sistemet me dy gjendje janë të besueshme, të shpejta dhe të lehta për t'u prodhuar. Dhjetori do të kërkonte 10 nivele të dallueshme tensioni, duke i bërë qarqet komplekse dhe të prirura për gabime.

Mësoni përmendësh 16 hartëzimet heksadecimal-në-binar (0=0000...F=1111). Konvertoni çdo shifër heksadecimale në mënyrë të pavarur: A5₁₆ = 1010|0101₂. Gruponi binarin me 4 nga e djathta për të kthyer: 110101₂ = 35₁₆. Nuk nevojitet dhjetori!

Thelbësore për programim (adresat e memories, operacionet me bit), rrjetëzim (adresat IP, adresat MAC), debugim (dump-et e memories), elektronikë dixhitale (dizajni logjik), dhe siguri (kriptografi, hashing).

Heksadecimali përputhet me kufijtë e bajtit (8 bit = 2 shifra heksadecimale), ndërsa oktali jo (8 bit = 2.67 shifra oktale). Kompjuterët modernë janë të orientuar nga bajti, duke e bërë heksadecimalin më të përshtatshëm. Vetëm lejet e skedarëve të Unix e mbajnë oktalin relevant.

Nuk ka metodë të lehtë direkte. Oktali grupon binarin me 3, heksadecimali me 4. Duhet të konvertoni përmes binarit: oktal→binar (3 bit)→heksadecimal (4 bit). Shembull: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Ose përdorni dhjetorin si ndërmjetës.

Tradita dhe estetika. Përdoren për formalitet (Super Bowl, filma), dallim (skicat), përjetësi (pa paqartësi shekulli), dhe elegancë dizajni. Jo praktikë për llogaritje por të qëndrueshëm kulturalisht.

Çdo bazë ka rregulla të rrepta. Baza 8 nuk mund të përmbajë 8 ose 9. Nëse shkruani 189₈, është e pavlefshme. Konvertuesit e refuzojnë atë. Gjuhët e programimit e zbatojnë këtë: '09' shkakton gabime në kontekste oktale.

Baza 1 (unar) përdor një simbol (shenja numërimi). Nuk është vërtet pozicional: 5 = '11111' (pesë shenja). Përdoret për numërim primitiv por jo praktik. Shaka: unari është baza më e lehtë - thjesht vazhdoni të numëroni!