הבסיס של כל מערכת מספרים

הבסיס קובע כמה ספרות ייחודיות משמשות וכיצד ערכי המקום גדלים. בסיס 10 משתמש בספרות 0-9. בסיס 2 (בינארי) משתמש ב-0-1. בסיס 16 (הקסדצימלי) משתמש ב-0-9 בתוספת A-F.

בבסיס 8 (אוקטלי): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

סמלים המייצגים ערכים במערכת מספרים

כל בסיס דורש סמלים ייחודיים לערכים מ-0 ועד (בסיס-1). בינארי משתמש ב-{0,1}. עשרוני משתמש ב-{0-9}. הקסדצימלי מתרחב ל-{0-9, A-F} כאשר A=10...F=15.

2F3₁₆ בהקסדצימלי = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

תרגום מספרים בין מערכות שונות

ההמרה כוללת הרחבה לעשרוני באמצעות ערכים מיקומיים, ולאחר מכן המרה לבסיס היעד. מכל בסיס לעשרוני: סכום של ספרה×בסיס^מיקום.

1011₂ → עשרוני: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

שפת המחשבים - רק 0 ו-1

בינארי הוא הבסיס לכל המערכות הדיגיטליות. כל פעולת מחשב מצטמצמת לבינארי. כל ספרה (ביט) מייצגת מצבי דלוק/כבוי.

• ספרות: {0, 1} - סט סמלים מינימלי
• בייט אחד = 8 ביטים, מייצג 0-255 בעשרוני
• חזקות של 2 הן מספרים עגולים: 1024₁₀ = 10000000000₂
• חיבור פשוט: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• בשימוש ב: מעבדים, זיכרון, רשתות, לוגיקה דיגיטלית

ייצוג בינארי קומפקטי באמצעות הספרות 0-7

אוקטלי מקבץ ספרות בינאריות בקבוצות של שלוש (2³=8). כל ספרה אוקטלית = בדיוק 3 ביטים בינאריים.

• ספרות: {0-7} - 8 או 9 לא קיימים
• כל ספרה אוקטלית = 3 ביטים בינאריים: 7₈ = 111₂
• הרשאות יוניקס: 755 = rwxr-xr-x
• היסטורי: מיני-מחשבים מוקדמים
• פחות נפוץ כיום: הקסדצימלי החליף את האוקטלי

מערכת המספרים האנושית האוניברסלית

עשרוני הוא התקן לתקשורת אנושית ברחבי העולם. מבנה הבסיס 10 שלו התפתח מספירה על האצבעות.

• ספרות: {0-9} - עשרה סמלים
• טבעי לבני אדם: 10 אצבעות
• כתיב מדעי משתמש בעשרוני: 6.022×10²³
• מטבע, מדידות, לוחות שנה
• מחשבים ממירים לבינארי באופן פנימי

קיצור דרך של מתכנתים לבינארי

הקסדצימלי הוא התקן המודרני לייצוג בינארי באופן קומפקטי. ספרה הקסדצימלית אחת = בדיוק 4 ביטים (2⁴=16).

• ספרות: {0-9, A-F} כאשר A=10...F=15
• כל ספרה הקסדצימלית = 4 ביטים: F₁₆ = 1111₂
• בייט אחד = 2 ספרות הקסדצימליות: FF₁₆ = 255₁₀
• צבעי RGB: #FF5733 = אדום(255) ירוק(87) כחול(51)
• כתובות זיכרון: 0x7FFF8A2C

הבסיס היעיל ביותר מבחינה מתמטית

טרנארי משתמש בספרות {0,1,2}. הבסיס היעיל ביותר לייצוג מספרים (הקרוב ביותר ל-e=2.718).

• יעילות מתמטית אופטימלית
• טרנארי מאוזן: {-,0,+} סימטרי
• לוגיקה טרנארית במערכות עמומות
• מוצע למחשוב קוונטי (קיוטריטים)

האלטרנטיבה המעשית לעשרוני

לבסיס 12 יש יותר מחלקים (2,3,4,6) מאשר ל-10 (2,5), מה שמפשט שברים. משמש בזמן, בתריסרים, באינצ'ים/רגל.

• זמן: שעון 12 שעות, 60 דקות (5×12)
• אימפריאלי: 12 אינץ' = 1 רגל
• שברים קלים יותר: 1/3 = 0.4₁₂
• האגודה הדואודצימלית תומכת באימוצו

ספירה בעשרים

מערכות בסיס 20 התפתחו מספירת אצבעות הידיים והרגליים. דוגמאות מאיה, אצטקיות, קלטיות ובסקיות.

• מערכת לוח השנה המאיה
• צרפתית: quatre-vingts (80)
• אנגלית: 'score' = 20
• ספירה מסורתית של אינואיטים

בסיס אלפאנומרי מקסימלי

משתמש בכל הספרות העשרוניות (0-9) בתוספת כל האותיות (A-Z). קומפקטי וקריא לאדם.

• מקטצרי URL: קישורים קומפקטיים
• מפתחות רישיון: הפעלת תוכנה
• מזהי מסד נתונים: מזהים שניתן להקליד
• קודי מעקב: חבילות, הזמנות

רומא העתיקה (500 לפנה"ס - 1500 לספירה)

שלטו באירופה במשך 2000 שנה. לכל סמל יש ערך קבוע: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• עדיין בשימוש: שעונים, סופרבול, ראשי פרקים
• אין אפס: קשיים בחישוב
• כללי חיסור: IV=4, IX=9, XL=40
• מוגבל: התקן מגיע עד 3999
• הוחלפו בספרות הינדו-ערביות

בבל העתיקה (3000 לפנה"ס)

המערכת העתיקה ביותר ששרדה. ל-60 יש 12 מחלקים, מה שהופך את השברים לקלים יותר. משמש לזמן ולזוויות.

• זמן: 60 שניות/דקה, 60 דקות/שעה
• זוויות: מעגל 360°, 60 דקות קשת
• יכולת חלוקה: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 נקיים
• חישובים אסטרונומיים בבליים

כל ספרה עשרונית מקודדת כ-4 ביטים

BCD מייצג כל ספרה עשרונית (0-9) כבינארי של 4 ביטים. 392 הופך ל-0011 1001 0010. נמנע משגיאות נקודה צפה.

• מערכות פיננסיות: עשרוני מדויק
• שעונים דיגיטליים ומחשבונים
• מחשבי מיינפריים של IBM: יחידה עשרונית
• פסים מגנטיים של כרטיסי אשראי

ערכים סמוכים נבדלים בביט אחד

קוד גריי מבטיח שרק ביט אחד משתנה בין מספרים עוקבים. קריטי להמרה מאנלוגי לדיגיטלי.

• מקודדים סיבוביים: חיישני מיקום
• המרה מאנלוגי לדיגיטלי
• מפות קרנו: פישוט לוגי
• קודי תיקון שגיאות

מתכנתים עובדים עם בסיסים מרובים מדי יום:

• כתובות זיכרון: 0x7FFEE4B2A000 (הקסדצימלי)
• דגלי ביטים: 0b10110101 (בינארי)
• קודי צבע: #FF5733 (הקסדצימלי RGB)
• הרשאות קבצים: chmod 755 (אוקטלי)
• ניפוי באגים: hexdump, בדיקת זיכרון

פרוטוקולי רשת משתמשים בהקסדצימלי ובינארי:

• כתובות MAC: 00:1A:2B:3C:4D:5E (הקסדצימלי)
• IPv4: 192.168.1.1 = כתיב בינארי
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (הקסדצימלי)
• מסכות רשת משנה: 255.255.255.0 = /24
• בדיקת חבילות: Wireshark הקסדצימלי

תכנון חומרה ברמה הבינארית:

• שערים לוגיים: AND, OR, NOT בינארי
• אוגרי מעבד: 64 סיביות = 16 ספרות הקסדצימליות
• שפת סף: קודי פעולה בהקסדצימלי
• תכנות FPGA: זרמים בינאריים
• ניפוי באגים בחומרה: מנתחי לוגיקה

תורת המספרים חוקרת תכונות:

• חשבון מודולרי: בסיסים שונים
• קריפטוגרפיה: RSA, עקומות אליפטיות
• יצירת פרקטלים: קבוצת קנטור טרנארית
• דפוסי מספרים ראשוניים
• קומבינטוריקה: דפוסי ספירה

הרחב באמצעות ערכים מיקומיים:

• זהה את הבסיס והספרות
• הקצה מיקומים מימין לשמאל (0, 1, 2...)
• המר את הספרות לערכים עשרוניים
• הכפל: ספרה × בסיס^מיקום
• סכם את כל המונחים

חלק שוב ושוב בבסיס היעד:

• חלק את המספר בבסיס היעד
• רשום את השארית (הספרה הימנית ביותר)
• חלק שוב את המנה בבסיס
• חזור על הפעולה עד שהמנה היא 0
• קרא את השאריות מלמטה למעלה

קבץ את הביטים הבינאריים:

• בינארי → הקסדצימלי: קבץ לפי 4 ביטים
• בינארי → אוקטלי: קבץ לפי 3 ביטים
• הקסדצימלי → בינארי: הרחב כל ספרה ל-4 ביטים
• אוקטלי → בינארי: הרחב ל-3 ביטים לכל ספרה
• דלג לחלוטין על המרה עשרונית!

טריקים להמרות נפוצות:

• חזקות של 2: שנן 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• הקסדצימלי: F=15, FF=255, FFF=4095
• אוקטלי 777 = בינארי 111111111
• הכפלה/חצייה: הזזה בינארית
• השתמש במצב מתכנת של המחשבון

בכל פעם שאתה בודק את השעון, אתה משתמש במערכת בבלית בת 5000 שנה בבסיס 60. הם בחרו ב-60 כי יש לו 12 מחלקים, מה שהופך את השברים לקלים יותר.

בשנת 1999, חללית המאדים של נאס"א בשווי 125 מיליון דולר הושמדה עקב שגיאות בהמרת יחידות - צוות אחד השתמש בשיטה האימפריאלית, והשני בשיטה המטרית. שיעור יקר על דיוק.

לספרות רומיות אין אפס ואין שליליים. זה הפך את המתמטיקה המתקדמת לכמעט בלתי אפשרית עד שהספרות ההינדו-ערביות (0-9) חוללו מהפכה במתמטיקה.

מחשב ההנחיה של אפולו הציג הכל באוקטלי (בסיס 8). האסטרונאוטים שיננו קודים אוקטליים עבור תוכניות שהנחיתו בני אדם על הירח.

קודי הצבע של RGB משתמשים בהקסדצימלי: #RRGGBB כאשר כל אחד מהם הוא 00-FF (0-255). זה נותן 256³ = 16,777,216 צבעים אפשריים בצבע אמיתי של 24 סיביות.

חוקרים סובייטים בנו מחשבים טרנאריים (בסיס 3) בשנות ה-50 עד ה-70. מחשב הסטון השתמש בלוגיקה של -1, 0, +1 במקום בינארית. התשתית הבינארית ניצחה.

בינארי מתאים באופן מושלם למעגלים אלקטרוניים: דלוק/כבוי, מתח גבוה/נמוך. מערכות דו-מצביות הן אמינות, מהירות וקלות לייצור. עשרוני ידרוש 10 רמות מתח נפרדות, מה שהופך את המעגלים למסובכים ומועדים לשגיאות.

שנן את 16 המיפויים מהקסדצימלי לבינארי (0=0000...F=1111). המר כל ספרה הקסדצימלית באופן עצמאי: A5₁₆ = 1010|0101₂. קבץ את הבינארי ב-4 מימין כדי להפוך: 110101₂ = 35₁₆. אין צורך בעשרוני!

חיוני לתכנות (כתובות זיכרון, פעולות ביטים), רשתות (כתובות IP, כתובות MAC), ניפוי באגים (דמפי זיכרון), אלקטרוניקה דיגיטלית (תכנון לוגי) ואבטחה (קריפטוגרפיה, גיבוב).

הקסדצימלי מתיישר עם גבולות הבייט (8 ביטים = 2 ספרות הקסדצימליות), בעוד שאוקטלי לא (8 ביטים = 2.67 ספרות אוקטליות). מחשבים מודרניים מוכווני בייט, מה שהופך את ההקסדצימלי לנוח יותר. רק הרשאות קבצים של יוניקס שומרות על הרלוונטיות של האוקטלי.

אין שיטה ישירה קלה. אוקטלי מקבץ בינארי ב-3, הקסדצימלי ב-4. יש להמיר דרך בינארי: אוקטלי→בינארי (3 ביטים)→הקסדצימלי (4 ביטים). דוגמה: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. או להשתמש בעשרוני כמתווך.

מסורת ואסתטיקה. משמשות לפורמליות (סופרבול, סרטים), הבחנה (ראשי פרקים), נצחיות (אין עמימות מאה) ואלגנטיות עיצובית. לא מעשיות לחישוב אך מתמידות מבחינה תרבותית.

לכל בסיס יש כללים נוקשים. בסיס 8 לא יכול להכיל 8 או 9. אם תכתוב 189₈, זה לא חוקי. ממרים ידחו את זה. שפות תכנות אוכפות זאת: '09' גורם לשגיאות בהקשרים אוקטליים.

בסיס 1 (אונארי) משתמש בסמל אחד (סימני ספירה). הוא לא באמת מיקומי: 5 = '11111' (חמישה סימנים). משמש לספירה פרימיטיבית אך אינו מעשי. בדיחה: אונארי הוא הבסיס הקל ביותר - פשוט תמשיך לספור!