La fondation de tout système numérique

La base détermine le nombre de chiffres uniques utilisés et la manière dont les valeurs de position augmentent. La base 10 utilise les chiffres 0-9. La base 2 (binaire) utilise 0-1. La base 16 (hexadécimal) utilise 0-9 plus A-F.

En base 8 (octal) : 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Symboles représentant des valeurs dans un système numérique

Chaque base nécessite des symboles uniques pour les valeurs de 0 à (base-1). Le binaire utilise {0,1}. Le décimal utilise {0-9}. L'hexadécimal s'étend à {0-9, A-F} où A=10...F=15.

2F3₁₆ en hexadécimal = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Traduire des nombres entre différents systèmes

La conversion implique de développer en décimal en utilisant les valeurs positionnelles, puis de convertir à la base cible. De n'importe quelle base au décimal : somme de chiffre×base^position.

1011₂ → décimal : 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Le langage des ordinateurs - uniquement des 0 et des 1

Le binaire est le fondement de tous les systèmes numériques. Chaque opération informatique se réduit au binaire. Chaque chiffre (bit) représente les états marche/arrêt.

• Chiffres : {0, 1} - ensemble minimal de symboles
• Un octet = 8 bits, représente 0-255 en décimal
• Les puissances de 2 sont des nombres ronds : 1024₁₀ = 10000000000₂
• Addition simple : 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Utilisé dans : les processeurs, la mémoire, les réseaux, la logique numérique

Représentation binaire compacte utilisant les chiffres 0-7

L'octal regroupe les chiffres binaires par ensembles de trois (2³=8). Chaque chiffre octal = exactement 3 bits binaires.

• Chiffres : {0-7} - 8 ou 9 n'existent pas
• Chaque chiffre octal = 3 bits binaires : 7₈ = 111₂
• Permissions Unix : 755 = rwxr-xr-x
• Historique : les premiers mini-ordinateurs
• Moins courant aujourd'hui : l'hexadécimal a remplacé l'octal

Le système numérique humain universel

Le décimal est la norme pour la communication humaine dans le monde entier. Sa structure en base 10 a évolué à partir du comptage sur les doigts.

• Chiffres : {0-9} - dix symboles
• Naturel pour les humains : 10 doigts
• La notation scientifique utilise le décimal : 6.022×10²³
• Monnaie, mesures, calendriers
• Les ordinateurs convertissent en binaire en interne

Raccourci du programmeur pour le binaire

L'hexadécimal est la norme moderne pour représenter le binaire de manière compacte. Un chiffre hexadécimal = exactement 4 bits (2⁴=16).

• Chiffres : {0-9, A-F} où A=10...F=15
• Chaque chiffre hexadécimal = 4 bits : F₁₆ = 1111₂
• Un octet = 2 chiffres hexadécimaux : FF₁₆ = 255₁₀
• Couleurs RVB : #FF5733 = rouge(255) vert(87) bleu(51)
• Adresses mémoire : 0x7FFF8A2C

La base la plus efficace mathématiquement

Le ternaire utilise les chiffres {0,1,2}. C'est la base la plus efficace pour représenter les nombres (la plus proche de e=2.718).

• Efficacité mathématique optimale
• Ternaire équilibré : {-,0,+} symétrique
• Logique ternaire dans les systèmes flous
• Proposé pour l'informatique quantique (qutrits)

L'alternative pratique au décimal

La base 12 a plus de diviseurs (2,3,4,6) que 10 (2,5), ce qui simplifie les fractions. Utilisée pour le temps, les douzaines, les pouces/pieds.

• Temps : horloge de 12 heures, 60 minutes (5×12)
• Impérial : 12 pouces = 1 pied
• Fractions plus faciles : 1/3 = 0.4₁₂
• La Société Duodécimale préconise son adoption

Compter par vingtaines

Les systèmes en base 20 ont évolué à partir du comptage des doigts et des orteils. Exemples Mayas, Aztèques, Celtes et Basques.

• Système de calendrier Maya
• Français : quatre-vingts (80)
• Anglais : 'score' = 20
• Comptage traditionnel des Inuits

Base alphanumérique maximale

Utilise tous les chiffres décimaux (0-9) ainsi que toutes les lettres (A-Z). Compact et lisible par l'homme.

• Raccourcisseurs d'URL : liens compacts
• Clés de licence : activation de logiciels
• Identifiants de base de données : identifiants saisissables
• Codes de suivi : colis, commandes

Rome Antique (500 av. J.-C. - 1500 apr. J.-C.)

A dominé l'Europe pendant 2000 ans. Chaque symbole a une valeur fixe : I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Toujours utilisés : horloges, Super Bowl, plans
• Pas de zéro : difficultés de calcul
• Règles soustractives : IV=4, IX=9, XL=40
• Limités : le standard va jusqu'à 3999
• Remplacés par les chiffres indo-arabes

Babylone Antique (3000 av. J.-C.)

Le plus ancien système qui a survécu. 60 a 12 diviseurs, ce qui facilite les fractions. Utilisé pour le temps et les angles.

• Temps : 60 secondes/minute, 60 minutes/heure
• Angles : cercle de 360°, 60 minutes d'arc
• Divisibilité : 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 nets
• Calculs astronomiques babyloniens

Chaque chiffre décimal est encodé sur 4 bits

Le BCD représente chaque chiffre décimal (0-9) comme un nombre binaire de 4 bits. 392 devient 0011 1001 0010. Évite les erreurs de virgule flottante.

• Systèmes financiers : décimal exact
• Horloges numériques et calculatrices
• Mainframes IBM : unité décimale
• Bandes magnétiques des cartes de crédit

Les valeurs adjacentes diffèrent d'un seul bit

Le code de Gray garantit qu'un seul bit change entre des nombres consécutifs. Essentiel pour la conversion analogique-numérique.

• Codeurs rotatifs : capteurs de position
• Conversion analogique-numérique
• Tableaux de Karnaugh : simplification logique
• Codes de correction d'erreurs

Les programmeurs travaillent quotidiennement avec plusieurs bases :

• Adresses mémoire : 0x7FFEE4B2A000 (hexadécimal)
• Drapeaux de bits : 0b10110101 (binaire)
• Codes de couleur : #FF5733 (RVB hexadécimal)
• Permissions de fichiers : chmod 755 (octal)
• Débogage : hexdump, inspection de la mémoire

Les protocoles réseau utilisent l'hexadécimal et le binaire :

• Adresses MAC : 00:1A:2B:3C:4D:5E (hexadécimal)
• IPv4 : 192.168.1.1 = notation binaire
• IPv6 : 2001:0db8:85a3:: (hexadécimal)
• Masques de sous-réseau : 255.255.255.0 = /24
• Inspection de paquets : Wireshark hexadécimal

Conception de matériel au niveau binaire :

• Portes logiques : AND, OR, NOT binaire
• Registres du processeur : 64 bits = 16 chiffres hexadécimaux
• Langage d'assemblage : opcodes en hexadécimal
• Programmation FPGA : flux binaires
• Débogage matériel : analyseurs logiques

La théorie des nombres explore les propriétés :

• Arithmétique modulaire : diverses bases
• Cryptographie : RSA, courbes elliptiques
• Génération de fractales : ensemble de Cantor ternaire
• Motifs de nombres premiers
• Combinatoire : motifs de comptage

Développez en utilisant les valeurs positionnelles :

• Identifiez la base et les chiffres
• Attribuez les positions de droite à gauche (0, 1, 2...)
• Convertissez les chiffres en valeurs décimales
• Multipliez : chiffre × base^position
• Sommez tous les termes

Divisez de manière répétée par la base cible :

• Divisez le nombre par la base cible
• Notez le reste (le chiffre le plus à droite)
• Divisez à nouveau le quotient par la base
• Répétez jusqu'à ce que le quotient soit 0
• Lisez les restes de bas en haut

Regroupez les bits binaires :

• Binaire → Hexadécimal : regroupez par 4 bits
• Binaire → Octal : regroupez par 3 bits
• Hexadécimal → Binaire : développez chaque chiffre en 4 bits
• Octal → Binaire : développez en 3 bits par chiffre
• Sautez entièrement la conversion décimale !

Astuces pour les conversions courantes :

• Puissances de 2 : mémorisez 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Hexadécimal : F=15, FF=255, FFF=4095
• Octal 777 = binaire 111111111
• Doubler/diviser par deux : décalage binaire
• Utilisez le mode programmeur de la calculatrice

Chaque fois que vous regardez l'heure, vous utilisez un système en base 60 babylonien vieux de 5000 ans. Ils ont choisi 60 car il a 12 diviseurs, ce qui facilite les fractions.

En 1999, l'orbiteur martien de la NASA, d'une valeur de 125 millions de dollars, a été détruit à cause d'erreurs de conversion d'unités - une équipe utilisait le système impérial, une autre le système métrique. Une leçon coûteuse sur la précision.

Les chiffres romains n'ont pas de zéro ni de négatifs. Cela a rendu les mathématiques avancées presque impossibles jusqu'à ce que les chiffres indo-arabes (0-9) révolutionnent les mathématiques.

L'ordinateur de guidage d'Apollo affichait tout en octal (base 8). Les astronautes ont mémorisé les codes octaux pour les programmes qui ont fait atterrir des humains sur la Lune.

Les codes de couleur RVB utilisent l'hexadécimal : #RRGGBB où chaque composante va de 00 à FF (0-255). Cela donne 256³ = 16 777 216 couleurs possibles en couleurs vraies 24 bits.

Des chercheurs soviétiques ont construit des ordinateurs ternaires (base 3) dans les années 1950-70. L'ordinateur Setun utilisait une logique -1, 0, +1 au lieu du binaire. L'infrastructure binaire a gagné.

Le binaire correspond parfaitement aux circuits électroniques : marche/arrêt, haute/basse tension. Les systèmes à deux états sont fiables, rapides et faciles à fabriquer. Le système décimal nécessiterait 10 niveaux de tension distincts, ce qui rendrait les circuits complexes et sujets aux erreurs.

Mémorisez les 16 correspondances hexadécimal-binaire (0=0000...F=1111). Convertissez chaque chiffre hexadécimal indépendamment : A5₁₆ = 1010|0101₂. Regroupez le binaire par 4 depuis la droite pour inverser : 110101₂ = 35₁₆. Pas besoin de décimal !

Essentiel pour la programmation (adresses mémoire, opérations sur les bits), les réseaux (adresses IP, adresses MAC), le débogage (dumps mémoire), l'électronique numérique (conception logique) et la sécurité (cryptographie, hachage).

L'hexadécimal s'aligne sur les limites des octets (8 bits = 2 chiffres hexadécimaux), alors que l'octal ne le fait pas (8 bits = 2.67 chiffres octaux). Les ordinateurs modernes sont orientés octets, ce qui rend l'hexadécimal plus pratique. Seules les permissions de fichiers Unix maintiennent la pertinence de l'octal.

Il n'y a pas de méthode directe facile. L'octal regroupe le binaire par 3, l'hexadécimal par 4. Il faut convertir via le binaire : octal→binaire (3 bits)→hexadécimal (4 bits). Exemple : 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Ou utilisez le décimal comme intermédiaire.

Tradition et esthétique. Utilisés pour la formalité (Super Bowl, films), la distinction (plans), l'intemporalité (pas d'ambiguïté de siècle) et l'élégance du design. Pas pratiques pour le calcul mais culturellement persistants.

Chaque base a des règles strictes. La base 8 ne peut pas contenir de 8 ou de 9. Si vous écrivez 189₈, c'est invalide. Les convertisseurs le rejetteront. Les langages de programmation l'appliquent : '09' provoque des erreurs dans les contextes octaux.

La base 1 (unaire) utilise un seul symbole (bâtons de comptage). Ce n'est pas vraiment positionnel : 5 = '11111' (cinq bâtons). Utilisée pour le comptage primitif mais peu pratique. Blague : l'unaire est la base la plus facile - il suffit de continuer à compter !