Iga arvusüsteemi alus

Alus määrab, kui palju unikaalseid numbreid kasutatakse ja kuidas kohaväärtused suurenevad. Alus 10 kasutab numbreid 0-9. Alus 2 (binaarne) kasutab 0-1. Alus 16 (kuueteistkümnendsüsteem) kasutab 0-9 pluss A-F.

Aluses 8 (kaheksand): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Sümbolid, mis esindavad väärtusi arvusüsteemis

Iga alus nõuab unikaalseid sümboleid väärtustele 0 kuni (alus-1). Binaarne kasutab {0,1}. Kümnendsüsteem kasutab {0-9}. Kuueteistkümnendsüsteem laieneb {0-9, A-F}-ni, kus A=10...F=15.

2F3₁₆ kuueteistkümnendsüsteemis = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Numbrite tõlkimine erinevate süsteemide vahel

Teisendamine hõlmab laiendamist kümnendsüsteemi, kasutades positsioonilisi väärtusi, ja seejärel teisendamist sihtalusesse. Mis tahes alusest kümnendsüsteemi: summa number×alus^positsioon.

1011₂ → kümnend: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Arvutite keel - ainult 0-d ja 1-d

Binaarne on kõigi digitaalsüsteemide alus. Iga arvutioperatsioon taandub binaarseks. Iga number (bitt) esindab sisse/välja lülitatud olekut.

• Numbrid: {0, 1} - minimaalne sümbolite komplekt
• Üks bait = 8 bitti, esindab 0-255 kümnendsüsteemis
• 2 astmed on ümmargused arvud: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Lihtne liitmine: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Kasutatakse: protsessorites, mälus, võrkudes, digitaalloogikas

Kompaktne binaarne esitus numbritega 0-7

Kaheksandsüsteem grupeerib binaarsed numbrid kolme kaupa (2³=8). Iga kaheksandnumber = täpselt 3 binaarset bitti.

• Numbrid: {0-7} - 8 ega 9 ei eksisteeri
• Iga kaheksandnumber = 3 binaarset bitti: 7₈ = 111₂
• Unixi õigused: 755 = rwxr-xr-x
• Ajalooline: varajased miniarvutid
• Tänapäeval vähem levinud: kuueteistkümnendsüsteem on asendanud kaheksandsüsteemi

Universaalne inimeste arvusüsteem

Kümnendsüsteem on standard inimestevahelises suhtluses kogu maailmas. Selle alus-10 struktuur arenes välja sõrmedel loendamisest.

• Numbrid: {0-9} - kümme sümbolit
• Inimestele loomulik: 10 sõrme
• Teaduslik notatsioon kasutab kümnendsüsteemi: 6.022×10²³
• Valuuta, mõõdud, kalendrid
• Arvutid teisendavad sisemiselt binaarseks

Programmeerija lühend binaarsele

Kuueteistkümnendsüsteem on kaasaegne standard binaarse kompaktseks esitamiseks. Üks kuueteistkümnendnumber = täpselt 4 bitti (2⁴=16).

• Numbrid: {0-9, A-F}, kus A=10...F=15
• Iga kuueteistkümnendnumber = 4 bitti: F₁₆ = 1111₂
• Üks bait = 2 kuueteistkümnendnumbrit: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB värvid: #FF5733 = punane(255) roheline(87) sinine(51)
• Mälu aadressid: 0x7FFF8A2C

Matemaatiliselt kõige tõhusam alus

Kolmendsüsteem kasutab numbreid {0,1,2}. Kõige tõhusam radiks numbrite esitamiseks (lähim e=2.718-le).

• Optimaalne matemaatiline tõhusus
• Tasakaalustatud kolmendsüsteem: {-,0,+} sümmeetriline
• Kolmendsüsteemi loogika hägusates süsteemides
• Pakutud kvantarvutite jaoks (qutritid)

Praktiline alternatiiv kümnendsüsteemile

Alusel 12 on rohkem jagajaid (2,3,4,6) kui 10-l (2,5), mis lihtsustab murde. Kasutatakse ajas, tosinates, tollides/jalgades.

• Aeg: 12-tunnine kell, 60 minutit (5×12)
• Impeeriumi: 12 tolli = 1 jalg
• Lihtsamad murrud: 1/3 = 0.4₁₂
• Duodetsimaalühiskond propageerib kasutuselevõttu

Kahekümnete kaupa loendamine

Alus 20 süsteemid arenesid välja sõrmedel ja varvastel loendamisest. Maiade, asteekide, keltide ja baskide näited.

• Maiade kalendrisüsteem
• Prantsuse keel: quatre-vingts (80)
• Inglise keel: 'score' = 20
• Inuittide traditsiooniline loendamine

Maksimaalne tähtnumbriline alus

Kasutab kõiki kümnendnumbreid (0-9) pluss kõiki tähti (A-Z). Kompaktne ja inimesele loetav.

• URL-i lühendajad: kompaktsed lingid
• Litsentsivõtmed: tarkvara aktiveerimine
• Andmebaasi ID-d: sisestatavad identifikaatorid
• Jälgimiskoodid: pakid, tellimused

Vana-Rooma (500 eKr – 1500 pKr)

Domineeris Euroopas 2000 aastat. Igal sümbolil on kindel väärtus: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Ikka veel kasutusel: kellad, Super Bowl, konspektid
• Nulli pole: arvutusraskused
• Lahutamisreeglid: IV=4, IX=9, XL=40
• Piiratud: standard ulatub 3999-ni
• Asendatud hindu-araabia numbritega

Vana-Babüloonia (3000 eKr)

Vanim säilinud süsteem. 60-l on 12 jagajat, mis teeb murrud lihtsamaks. Kasutati aja ja nurkade jaoks.

• Aeg: 60 sekundit/minut, 60 minutit/tund
• Nurgad: 360° ring, 60 kaareminutit
• Jaguvus: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 puhtad
• Babüloonia astronoomilised arvutused

Iga kümnendnumber on kodeeritud 4 bitiga

BCD esindab iga kümnendnumbrit (0-9) 4-bitise binaararvuna. 392 muutub 0011 1001 0010. Väldib ujukoma vigu.

• Finantssüsteemid: täpne kümnendsüsteem
• Digitaalkellad ja kalkulaatorid
• IBM suurarvutid: kümnendühik
• Krediitkaartide magnetribad

Kõrvutiasetsevad väärtused erinevad ühe biti võrra

Gray kood tagab, et järjestikuste numbrite vahel muutub ainult üks bitt. Kriitiline analoog-digitaalmuundamisel.

• Pöördkoodrid: asendiandurid
• Analoog-digitaalmuundamine
• Karnaugh' kaardid: loogika lihtsustamine
• Vigade parandamise koodid

Programmeerijad töötavad igapäevaselt mitme alusega:

• Mälu aadressid: 0x7FFEE4B2A000 (kuueteistkümnend)
• Biti lipud: 0b10110101 (binaarne)
• Värvikoodid: #FF5733 (kuueteistkümnend RGB)
• Failiõigused: chmod 755 (kaheksand)
• Silumine: hexdump, mälu kontroll

Võrguprotokollid kasutavad kuueteistkümnend- ja binaarsüsteemi:

• MAC-aadressid: 00:1A:2B:3C:4D:5E (kuueteistkümnend)
• IPv4: 192.168.1.1 = binaarne notatsioon
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (kuueteistkümnend)
• Alamvõrgu maskid: 255.255.255.0 = /24
• Pakettide kontroll: Wireshark kuueteistkümnend

Riistvara disain binaarsel tasemel:

• Loogikaväravad: AND, OR, NOT binaarne
• CPU registrid: 64-bitine = 16 kuueteistkümnendnumbrit
• Assemblerkeel: opkoodid kuueteistkümnendsüsteemis
• FPGA programmeerimine: binaarsed vood
• Riistvara silumine: loogikaanalüsaatorid

Arvuteooria uurib omadusi:

• Modulaararitmeetika: erinevad alused
• Krüptograafia: RSA, elliptilised kõverad
• Fraktaalide genereerimine: Cantori hulk kolmendsüsteemis
• Algarvude mustrid
• Kombinatoorika: loendusmustrid

Laiendage, kasutades positsioonilisi väärtusi:

• Tuvastage alus ja numbrid
• Määrake positsioonid paremalt vasakule (0, 1, 2...)
• Teisendage numbrid kümnendväärtusteks
• Korrutage: number × alus^positsioon
• Summeerige kõik liikmed

Jagage korduvalt sihtalusega:

• Jagage arv sihtalusega
• Kirjutage üles jääk (parempoolseim number)
• Jagage jagatis uuesti alusega
• Korrake, kuni jagatis on 0
• Lugege jääke alt üles

Grupeerige binaarsed bitid:

• Binaarne → Kuueteistkümnend: grupeerige 4 biti kaupa
• Binaarne → Kaheksand: grupeerige 3 biti kaupa
• Kuueteistkümnend → Binaarne: laiendage iga number 4 bitini
• Kaheksand → Binaarne: laiendage iga number 3 bitini
• Jätke kümnendteisendus täielikult vahele!

Nipid tavaliste teisenduste jaoks:

• 2 astmed: jätke meelde 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Kuueteistkümnend: F=15, FF=255, FFF=4095
• Kaheksand 777 = binaarne 111111111
• Kahekordistamine/poolitamine: binaarne nihe
• Kasutage kalkulaatori programmeerija režiimi

Iga kord, kui te kella vaatate, kasutate 5000 aastat vana Babüloonia alus-60 süsteemi. Nad valisid 60, sest sellel on 12 jagajat, mis teeb murrud lihtsamaks.

1999. aastal hävis NASA 125 miljoni dollari suurune Marsi orbiter ühikute teisendamise vigade tõttu – üks meeskond kasutas impeeriumi süsteemi, teine meetermõõdustikku. Kallis õppetund täpsuse kohta.

Rooma numbritel pole nulli ega negatiivseid numbreid. See tegi edasijõudnud matemaatika peaaegu võimatuks, kuni hindu-araabia numbrid (0-9) matemaatikas revolutsiooni tegid.

Apollo juhtimisarvuti kuvas kõike kaheksandsüsteemis (alus 8). Astronaudid õppisid pähe kaheksandkoodid programmidele, mis maandasid inimesi Kuule.

RGB värvikoodid kasutavad kuueteistkümnendsüsteemi: #RRGGBB, kus igaüks on 00-FF (0-255). See annab 256³ = 16 777 216 võimalikku värvi 24-bitises tõelises värvitoonis.

Nõukogude teadlased ehitasid 1950.–70. aastatel kolmendsüsteemi (alus-3) arvuteid. Setuni arvuti kasutas binaarse asemel -1, 0, +1 loogikat. Binaarne infrastruktuur võitis.

Binaarne sobib ideaalselt elektrooniliste vooluringidega: sisse/välja, kõrge/madal pinge. Kahe olekuga süsteemid on usaldusväärsed, kiired ja kergesti toodetavad. Kümnendsüsteem nõuaks 10 erinevat pingetaset, mis muudaks vooluringid keeruliseks ja vigadele vastuvõtlikuks.

Jätke meelde 16 kuueteistkümnend-binaarset vastavust (0=0000...F=1111). Teisendage iga kuueteistkümnendnumber iseseisvalt: A5₁₆ = 1010|0101₂. Grupeerige binaarne 4 kaupa paremalt, et tagasi teisendada: 110101₂ = 35₁₆. Kümnendsüsteemi pole vaja!

Hädavajalik programmeerimisel (mälu aadressid, bitioperatsioonid), võrgunduses (IP-aadressid, MAC-aadressid), silumisel (mälutõmmised), digitaalelektroonikas (loogikadisain) ja turvalisuses (krüptograafia, räsifunktsioonid).

Kuueteistkümnendsüsteem on joondatud baidi piiridega (8 bitti = 2 kuueteistkümnendnumbrit), samas kui kaheksandsüsteem ei ole (8 bitti = 2.67 kaheksandnumbrit). Kaasaegsed arvutid on baidile orienteeritud, mis teeb kuueteistkümnendsüsteemi mugavamaks. Ainult Unixi failiõigused hoiavad kaheksandsüsteemi asjakohasena.

Otsest lihtsat meetodit pole. Kaheksandsüsteem grupeerib binaarse 3 kaupa, kuueteistkümnendsüsteem 4 kaupa. Peab teisendama binaarse kaudu: kaheksand→binaarne (3 bitti)→kuueteistkümnend (4 bitti). Näide: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Või kasutage vahepeatusena kümnendsüsteemi.

Traditsioon ja esteetika. Kasutatakse formaalsuseks (Super Bowl, filmid), eristamiseks (konspektid), ajatuseks (sajandi mitmetähenduslikkuse puudumine) ja disaini elegantsiks. Arvutamiseks ebapraktiline, kuid kultuuriliselt püsiv.

Igal alusel on ranged reeglid. Alus 8 ei saa sisaldada 8 ega 9. Kui kirjutate 189₈, on see kehtetu. Konverterid lükkavad selle tagasi. Programmeerimiskeeled jõustavad seda: '09' põhjustab vigu kaheksandkontekstides.

Alus 1 (unaarne) kasutab ühte sümbolit (kriipsud). See ei ole tõeliselt positsiooniline: 5 = '11111' (viis kriipsu). Kasutatakse primitiivseks loendamiseks, kuid on ebapraktiline. Nali: unaarne on kõige lihtsam alus - lihtsalt jätka loendamist!