Το θεμέλιο κάθε συστήματος αρίθμησης

Η βάση καθορίζει πόσα μοναδικά ψηφία χρησιμοποιούνται και πώς αυξάνονται οι τιμές των θέσεων. Η βάση 10 χρησιμοποιεί τα ψηφία 0-9. Η βάση 2 (δυαδικό) χρησιμοποιεί 0-1. Η βάση 16 (δεκαεξαδικό) χρησιμοποιεί 0-9 συν A-F.

Στη βάση 8 (οκταδικό): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Σύμβολα που αναπαριστούν τιμές σε ένα σύστημα αρίθμησης

Κάθε βάση απαιτεί μοναδικά σύμβολα για τις τιμές από 0 έως (βάση-1). Το δυαδικό χρησιμοποιεί {0,1}. Το δεκαδικό χρησιμοποιεί {0-9}. Το δεκαεξαδικό επεκτείνεται σε {0-9, A-F} όπου A=10...F=15.

2F3₁₆ στο δεκαεξαδικό = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Μετάφραση αριθμών μεταξύ διαφορετικών συστημάτων

Η μετατροπή περιλαμβάνει την επέκταση σε δεκαδικό χρησιμοποιώντας θεσιακές τιμές, και στη συνέχεια τη μετατροπή στη βάση-στόχο. Από οποιαδήποτε βάση σε δεκαδικό: άθροισμα ψηφίο×βάση^θέση.

1011₂ → δεκαδικό: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Η γλώσσα των υπολογιστών - μόνο 0 και 1

Το δυαδικό είναι το θεμέλιο όλων των ψηφιακών συστημάτων. Κάθε λειτουργία του υπολογιστή ανάγεται σε δυαδική. Κάθε ψηφίο (bit) αναπαριστά καταστάσεις ενεργοποίησης/απενεργοποίησης.

• Ψηφία: {0, 1} - ελάχιστο σύνολο συμβόλων
• Ένα byte = 8 bits, αναπαριστά το 0-255 στο δεκαδικό
• Οι δυνάμεις του 2 είναι στρογγυλοί αριθμοί: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Απλή πρόσθεση: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Χρησιμοποιείται σε: CPU, μνήμη, δίκτυα, ψηφιακή λογική

Συμπαγής δυαδική αναπαράσταση με τα ψηφία 0-7

Το οκταδικό ομαδοποιεί τα δυαδικά ψηφία σε σύνολα των τριών (2³=8). Κάθε οκταδικό ψηφίο = ακριβώς 3 δυαδικά bits.

• Ψηφία: {0-7} - δεν υπάρχει 8 ή 9
• Κάθε οκταδικό ψηφίο = 3 δυαδικά bits: 7₈ = 111₂
• Δικαιώματα Unix: 755 = rwxr-xr-x
• Ιστορικά: πρώιμοι μικροϋπολογιστές
• Λιγότερο συνηθισμένο σήμερα: το δεκαεξαδικό έχει αντικαταστήσει το οκταδικό

Το παγκόσμιο ανθρώπινο σύστημα αρίθμησης

Το δεκαδικό είναι το πρότυπο για την ανθρώπινη επικοινωνία παγκοσμίως. Η δομή του με βάση 10 εξελίχθηκε από το μέτρημα στα δάχτυλα.

• Ψηφία: {0-9} - δέκα σύμβολα
• Φυσικό για τους ανθρώπους: 10 δάχτυλα
• Η επιστημονική σημειογραφία χρησιμοποιεί το δεκαδικό: 6.022×10²³
• Νόμισμα, μετρήσεις, ημερολόγια
• Οι υπολογιστές μετατρέπουν εσωτερικά σε δυαδικό

Η συντομογραφία του προγραμματιστή για το δυαδικό

Το δεκαεξαδικό είναι το σύγχρονο πρότυπο για τη συμπαγή αναπαράσταση του δυαδικού. Ένα δεκαεξαδικό ψηφίο = ακριβώς 4 bits (2⁴=16).

• Ψηφία: {0-9, A-F} όπου A=10...F=15
• Κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο = 4 bits: F₁₆ = 1111₂
• Ένα byte = 2 δεκαεξαδικά ψηφία: FF₁₆ = 255₁₀
• Χρώματα RGB: #FF5733 = κόκκινο(255) πράσινο(87) μπλε(51)
• Διευθύνσεις μνήμης: 0x7FFF8A2C

Η πιο αποδοτική βάση μαθηματικά

Το τριαδικό χρησιμοποιεί τα ψηφία {0,1,2}. Είναι η πιο αποδοτική ρίζα για την αναπαράσταση αριθμών (πλησιέστερη στο e=2.718).

• Βέλτιστη μαθηματική απόδοση
• Ισορροπημένο τριαδικό: {-,0,+} συμμετρικό
• Τριαδική λογική σε ασαφή συστήματα
• Προτάθηκε για κβαντικούς υπολογιστές (qutrits)

Η πρακτική εναλλακτική λύση στο δεκαδικό

Η βάση 12 έχει περισσότερους διαιρέτες (2,3,4,6) από το 10 (2,5), απλοποιώντας τα κλάσματα. Χρησιμοποιείται στον χρόνο, τις ντουζίνες, τις ίντσες/πόδια.

• Χρόνος: 12ωρο ρολόι, 60 λεπτά (5×12)
• Αυτοκρατορικό: 12 ίντσες = 1 πόδι
• Κλάσματα ευκολότερα: 1/3 = 0.4₁₂
• Η Δωδεκαδική Εταιρεία υποστηρίζει την υιοθέτησή του

Μέτρημα ανά εικοσάδες

Τα συστήματα με βάση 20 εξελίχθηκαν από το μέτρημα των δακτύλων των χεριών και των ποδιών. Παραδείγματα των Μάγια, Αζτέκων, Κελτών και Βάσκων.

• Σύστημα ημερολογίου των Μάγια
• Γαλλικά: quatre-vingts (80)
• Αγγλικά: 'score' = 20
• Παραδοσιακό μέτρημα των Ινουίτ

Μέγιστη αλφαριθμητική βάση

Χρησιμοποιεί όλα τα δεκαδικά ψηφία (0-9) συν όλα τα γράμματα (A-Z). Συμπαγής και ευανάγνωστη από τον άνθρωπο.

• Συντομευτές URL: συμπαγείς σύνδεσμοι
• Κλειδιά άδειας: ενεργοποίηση λογισμικού
• Αναγνωριστικά βάσης δεδομένων: πληκτρολογήσιμοι αναγνωριστικοί
• Κωδικοί παρακολούθησης: πακέτα, παραγγελίες

Αρχαία Ρώμη (500 π.Χ. - 1500 μ.Χ.)

Κυριάρχησαν στην Ευρώπη για 2000 χρόνια. Κάθε σύμβολο έχει σταθερή αξία: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Ακόμα σε χρήση: ρολόγια, Super Bowl, περιγράμματα
• Χωρίς μηδέν: δυσκολίες υπολογισμού
• Κανόνες αφαίρεσης: IV=4, IX=9, XL=40
• Περιορισμένοι: το πρότυπο φτάνει μέχρι το 3999
• Αντικαταστάθηκαν από τα ινδο-αραβικά ψηφία

Αρχαία Βαβυλωνία (3000 π.Χ.)

Το παλαιότερο σωζόμενο σύστημα. Το 60 έχει 12 διαιρέτες, κάνοντας τα κλάσματα ευκολότερα. Χρησιμοποιήθηκε για τον χρόνο και τις γωνίες.

• Χρόνος: 60 δευτερόλεπτα/λεπτό, 60 λεπτά/ώρα
• Γωνίες: κύκλος 360°, 60 λεπτά τόξου
• Διαιρετότητα: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 καθαρά
• Βαβυλωνιακοί αστρονομικοί υπολογισμοί

Κάθε δεκαδικό ψηφίο κωδικοποιείται ως 4 bits

Το BCD αναπαριστά κάθε δεκαδικό ψηφίο (0-9) ως 4-bit δυαδικό. Το 392 γίνεται 0011 1001 0010. Αποφεύγει τα σφάλματα κινητής υποδιαστολής.

• Οικονομικά συστήματα: ακριβές δεκαδικό
• Ψηφιακά ρολόγια και αριθμομηχανές
• Μεγάλοι υπολογιστές IBM: δεκαδική μονάδα
• Μαγνητικές ταινίες πιστωτικών καρτών

Οι γειτονικές τιμές διαφέρουν κατά ένα bit

Ο κώδικας Gray διασφαλίζει ότι μόνο ένα bit αλλάζει μεταξύ διαδοχικών αριθμών. Κρίσιμος για τη μετατροπή από αναλογικό σε ψηφιακό.

• Περιστροφικοί κωδικοποιητές: αισθητήρες θέσης
• Μετατροπή από αναλογικό σε ψηφιακό
• Χάρτες Karnaugh: απλοποίηση λογικής
• Κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων

Οι προγραμματιστές εργάζονται καθημερινά με πολλαπλές βάσεις:

• Διευθύνσεις μνήμης: 0x7FFEE4B2A000 (δεκαεξαδικό)
• Σημαίες bit: 0b10110101 (δυαδικό)
• Κωδικοί χρωμάτων: #FF5733 (δεκαεξαδικό RGB)
• Δικαιώματα αρχείων: chmod 755 (οκταδικό)
• Αποσφαλμάτωση: hexdump, επιθεώρηση μνήμης

Τα πρωτόκολλα δικτύου χρησιμοποιούν δεκαεξαδικό και δυαδικό:

• Διευθύνσεις MAC: 00:1A:2B:3C:4D:5E (δεκαεξαδικό)
• IPv4: 192.168.1.1 = δυαδική σημειογραφία
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (δεκαεξαδικό)
• Μάσκες υποδικτύου: 255.255.255.0 = /24
• Επιθεώρηση πακέτων: Wireshark δεκαεξαδικό

Σχεδιασμός υλικού σε δυαδικό επίπεδο:

• Λογικές πύλες: AND, OR, NOT δυαδικό
• Καταχωρητές CPU: 64-bit = 16 δεκαεξαδικά ψηφία
• Γλώσσα Assembly: opcodes σε δεκαεξαδικό
• Προγραμματισμός FPGA: δυαδικές ροές
• Αποσφαλμάτωση υλικού: λογικοί αναλυτές

Η θεωρία αριθμών εξερευνά ιδιότητες:

• Αρθμητική υπολοίπων: διάφορες βάσεις
• Κρυπτογραφία: RSA, ελλειπτικές καμπύλες
• Δημιουργία φράκταλ: σύνολο Cantor τριαδικό
• Μοτίβα πρώτων αριθμών
• Συνδυαστική: μοτίβα μέτρησης

Αναπτύξτε χρησιμοποιώντας θεσιακές τιμές:

• Προσδιορίστε τη βάση και τα ψηφία
• Αντιστοιχίστε θέσεις από δεξιά προς τα αριστερά (0, 1, 2...)
• Μετατρέψτε τα ψηφία σε δεκαδικές τιμές
• Πολλαπλασιάστε: ψηφίο × βάση^θέση
• Προσθέστε όλους τους όρους

Διαιρέστε επανειλημμένα με τη βάση-στόχο:

• Διαιρέστε τον αριθμό με τη βάση-στόχο
• Καταγράψτε το υπόλοιπο (το δεξιότερο ψηφίο)
• Διαιρέστε ξανά το πηλίκο με τη βάση
• Επαναλάβετε μέχρι το πηλίκο να είναι 0
• Διαβάστε τα υπόλοιπα από κάτω προς τα πάνω

Ομαδοποιήστε τα δυαδικά bits:

• Δυαδικό → Δεκαεξαδικό: ομαδοποιήστε ανά 4 bits
• Δυαδικό → Οκταδικό: ομαδοποιήστε ανά 3 bits
• Δεκαεξαδικό → Δυαδικό: αναπτύξτε κάθε ψηφίο σε 4 bits
• Οκταδικό → Δυαδικό: αναπτύξτε σε 3 bits ανά ψηφίο
• Παραλείψτε εντελώς τη δεκαδική μετατροπή!

Κόλπα για συνηθισμένες μετατροπές:

• Δυνάμεις του 2: απομνημονεύστε 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Δεκαεξαδικό: F=15, FF=255, FFF=4095
• Οκταδικό 777 = δυαδικό 111111111
• Διπλασιασμός/μείωση στο μισό: δυαδική ολίσθηση
• Χρησιμοποιήστε τη λειτουργία προγραμματιστή του υπολογιστή τσέπης

Κάθε φορά που ελέγχετε το ρολόι, χρησιμοποιείτε ένα σύστημα με βάση 60 της Βαβυλωνίας ηλικίας 5000 ετών. Επέλεξαν το 60 επειδή έχει 12 διαιρέτες, κάνοντας τα κλάσματα ευκολότερα.

Το 1999, ο δορυφόρος του Άρη της NASA αξίας 125 εκατομμυρίων δολαρίων καταστράφηκε λόγω σφαλμάτων μετατροπής μονάδων - μια ομάδα χρησιμοποίησε το αυτοκρατορικό σύστημα, μια άλλη το μετρικό. Ένα ακριβό μάθημα ακρίβειας.

Τα ρωμαϊκά ψηφία δεν έχουν μηδέν και δεν έχουν αρνητικούς αριθμούς. Αυτό έκανε τα προχωρημένα μαθηματικά σχεδόν αδύνατα μέχρι που τα ινδο-αραβικά ψηφία (0-9) επαναστάτησαν στα μαθηματικά.

Ο Υπολογιστής Καθοδήγησης του Apollo εμφάνιζε τα πάντα σε οκταδικό (βάση 8). Οι αστροναύτες απομνημόνευσαν τους οκταδικούς κωδικούς για τα προγράμματα που προσγείωσαν ανθρώπους στη Σελήνη.

Οι κωδικοί χρωμάτων RGB χρησιμοποιούν δεκαεξαδικό: #RRGGBB όπου κάθε ένα είναι 00-FF (0-255). Αυτό δίνει 256³ = 16.777.216 πιθανά χρώματα σε αληθινό χρώμα 24-bit.

Σοβιετικοί ερευνητές κατασκεύασαν τριαδικούς (βάση-3) υπολογιστές στις δεκαετίες 1950-70. Ο υπολογιστής Setun χρησιμοποίησε λογική -1, 0, +1 αντί για δυαδική. Η δυαδική υποδομή κέρδισε.

Το δυαδικό σύστημα αντιστοιχεί απόλυτα στα ηλεκτρονικά κυκλώματα: ενεργοποιημένο/απενεργοποιημένο, υψηλή/χαμηλή τάση. Τα συστήματα δύο καταστάσεων είναι αξιόπιστα, γρήγορα και εύκολα στην κατασκευή. Το δεκαδικό σύστημα θα απαιτούσε 10 διακριτά επίπεδα τάσης, καθιστώντας τα κυκλώματα πολύπλοκα και επιρρεπή σε σφάλματα.

Απομνημονεύστε τις 16 αντιστοιχίες από δεκαεξαδικό σε δυαδικό (0=0000...F=1111). Μετατρέψτε κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο ανεξάρτητα: A5₁₆ = 1010|0101₂. Ομαδοποιήστε το δυαδικό ανά 4 από δεξιά για να αντιστρέψετε: 110101₂ = 35₁₆. Δεν χρειάζεται δεκαδικό!

Απαραίτητη για τον προγραμματισμό (διευθύνσεις μνήμης, λειτουργίες bit), τη δικτύωση (διευθύνσεις IP, διευθύνσεις MAC), την αποσφαλμάτωση (memory dumps), τα ψηφιακά ηλεκτρονικά (σχεδιασμός λογικής) και την ασφάλεια (κρυπτογραφία, κατακερματισμός).

Το δεκαεξαδικό ευθυγραμμίζεται με τα όρια των byte (8 bits = 2 δεκαεξαδικά ψηφία), ενώ το οκταδικό όχι (8 bits = 2.67 οκταδικά ψηφία). Οι σύγχρονοι υπολογιστές είναι προσανατολισμένοι στα byte, καθιστώντας το δεκαεξαδικό πιο βολικό. Μόνο οι άδειες αρχείων Unix διατηρούν το οκταδικό σχετικό.

Δεν υπάρχει εύκολη άμεση μέθοδος. Το οκταδικό ομαδοποιεί το δυαδικό ανά 3, το δεκαεξαδικό ανά 4. Πρέπει να μετατρέψετε μέσω του δυαδικού: οκταδικό→δυαδικό (3 bits)→δεκαεξαδικό (4 bits). Παράδειγμα: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Ή χρησιμοποιήστε το δεκαδικό ως ενδιάμεσο.

Παράδοση και αισθητική. Χρησιμοποιούνται για επισημότητα (Super Bowl, ταινίες), διάκριση (περιγράμματα), διαχρονικότητα (χωρίς αμφισημία αιώνα) και σχεδιαστική κομψότητα. Δεν είναι πρακτικά για υπολογισμούς αλλά επιμένουν πολιτισμικά.

Κάθε βάση έχει αυστηρούς κανόνες. Η βάση 8 δεν μπορεί να περιέχει 8 ή 9. Αν γράψετε 189₈, είναι άκυρο. Οι μετατροπείς θα το απορρίψουν. Οι γλώσσες προγραμματισμού το επιβάλλουν: το '09' προκαλεί σφάλματα σε οκταδικά περιβάλλοντα.

Η βάση 1 (μοναδιαίο) χρησιμοποιεί ένα σύμβολο (σημάδια καταμέτρησης). Δεν είναι πραγματικά θεσιακό: 5 = '11111' (πέντε σημάδια). Χρησιμοποιείται για πρωτόγονη μέτρηση αλλά είναι μη πρακτικό. Αστείο: το μοναδιαίο είναι η ευκολότερη βάση - απλώς συνεχίστε να μετράτε!