Herhangi bir sayı sisteminin temeli

Taban, kaç tane benzersiz rakam kullanıldığını ve basamak değerlerinin nasıl arttığını belirler. 10 tabanı 0-9 rakamlarını kullanır. 2 tabanı (ikili) 0-1 kullanır. 16 tabanı (onaltılık) 0-9 artı A-F kullanır.

8 tabanında (sekizli): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Bir sayı sisteminde değerleri temsil eden semboller

Her taban, 0'dan (taban-1)'e kadar olan değerler için benzersiz semboller gerektirir. İkili {0,1} kullanır. Onlu {0-9} kullanır. Onaltılık {0-9, A-F} şeklinde genişler, burada A=10...F=15'tir.

Onaltılıkta 2F3₁₆ = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Farklı sistemler arasında sayıları çevirme

Dönüştürme, konumsal değerleri kullanarak onlu sisteme genişletmeyi, ardından hedef tabana dönüştürmeyi içerir. Herhangi bir tabandan onlu sisteme: toplam rakam×taban^konum.

1011₂ → onlu: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Bilgisayarların dili - sadece 0'lar ve 1'ler

İkili, tüm dijital sistemlerin temelidir. Her bilgisayar işlemi ikiliye indirgenir. Her rakam (bit) açık/kapalı durumlarını temsil eder.

• Rakamlar: {0, 1} - minimal sembol seti
• Bir bayt = 8 bit, onluk sistemde 0-255'i temsil eder
• 2'nin kuvvetleri yuvarlak sayılardır: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Toplama basit: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Kullanım alanları: CPU'lar, bellek, ağlar, dijital mantık

0-7 rakamlarını kullanarak kompakt ikili gösterim

Sekizli, ikili rakamları üçlü gruplar halinde gruplandırır (2³=8). Her sekizli rakam = tam olarak 3 ikili bit.

• Rakamlar: {0-7} - 8 veya 9 yoktur
• Her sekizli rakam = 3 ikili bit: 7₈ = 111₂
• Unix izinleri: 755 = rwxr-xr-x
• Tarihsel: erken dönem minibilgisayarlar
• Günümüzde daha az yaygın: onaltılık, sekizlinin yerini almıştır

Evrensel insan sayı sistemi

Onlu sistem, dünya çapında insan iletişimi için standarttır. 10 tabanlı yapısı, parmaklarla saymaktan evrilmiştir.

• Rakamlar: {0-9} - on sembol
• İnsanlar için doğal: 10 parmak
• Bilimsel gösterim onlu sistemi kullanır: 6.022×10²³
• Para birimi, ölçümler, takvimler
• Bilgisayarlar dahili olarak ikiliye dönüştürür

Programcıların ikili için kullandığı kısaltma

Onaltılık, ikiliyi kompakt bir şekilde temsil etmek için modern standarttır. Bir onaltılık rakam = tam olarak 4 bit (2⁴=16).

• Rakamlar: {0-9, A-F}, burada A=10...F=15
• Her onaltılık rakam = 4 bit: F₁₆ = 1111₂
• Bir bayt = 2 onaltılık rakam: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB renkleri: #FF5733 = kırmızı(255) yeşil(87) mavi(51)
• Bellek adresleri: 0x7FFF8A2C

Matematiksel olarak en verimli taban

Üçlü sistem {0,1,2} rakamlarını kullanır. Sayıları temsil etmek için en verimli kök (e=2.718'e en yakın).

• Matematiksel verimlilik optimal
• Dengeli üçlü: {-,0,+} simetrik
• Bulanık sistemlerde üçlü mantık
• Kuantum hesaplama için önerilen (qutritler)

Onluya pratik bir alternatif

12 tabanının 10'dan (2,5) daha fazla böleni (2,3,4,6) vardır, bu da kesirleri basitleştirir. Zaman, düzine, inç/fit'te kullanılır.

• Zaman: 12 saatlik saat, 60 dakika (5×12)
• İmparatorluk: 12 inç = 1 fit
• Kesirler daha kolay: 1/3 = 0.4₁₂
• Dozenal Derneği benimsenmesini savunur

Yirmilik sayma

20 tabanlı sistemler, el ve ayak parmaklarıyla saymaktan evrilmiştir. Maya, Aztek, Kelt ve Bask örnekleri.

• Maya takvim sistemi
• Fransızca: quatre-vingts (80)
• İngilizce: 'score' = 20
• İnuit geleneksel sayma

Maksimum alfanümerik taban

Tüm onlu rakamları (0-9) ve tüm harfleri (A-Z) kullanır. Kompakt ve insan tarafından okunabilir.

• URL kısaltıcılar: kompakt bağlantılar
• Lisans anahtarları: yazılım aktivasyonu
• Veritabanı kimlikleri: yazılabilir tanımlayıcılar
• Takip kodları: paketler, siparişler

Antik Roma (MÖ 500 - MS 1500)

Avrupa'ya 2000 yıl boyunca hakim oldu. Her sembolün sabit bir değeri vardır: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Hala kullanılıyor: saatler, Super Bowl, ana hatlar
• Sıfır yok: hesaplama zorlukları
• Çıkarma kuralları: IV=4, IX=9, XL=40
• Sınırlı: standart 3999'a kadar gider
• Hint-Arap rakamlarıyla değiştirildi

Antik Babil (MÖ 3000)

Hayatta kalan en eski sistem. 60'ın 12 böleni vardır, bu da kesirleri kolaylaştırır. Zaman ve açılar için kullanılır.

• Zaman: 60 saniye/dakika, 60 dakika/saat
• Açılar: 360° daire, 60 arkdakika
• Bölünebilirlik: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 temiz
• Babil astronomik hesaplamaları

Her onlu rakam 4 bit olarak kodlanır

BCD, her onlu rakamı (0-9) 4-bit ikili olarak temsil eder. 392, 0011 1001 0010 olur. Kayan nokta hatalarını önler.

• Finansal sistemler: tam onlu
• Dijital saatler ve hesap makineleri
• IBM ana bilgisayarları: onlu birim
• Kredi kartı manyetik şeritleri

Bitişik değerler bir bit fark eder

Gray kodu, ardışık sayılar arasında sadece bir bitin değişmesini sağlar. Analogdan dijitale dönüştürme için kritiktir.

• Döner kodlayıcılar: konum sensörleri
• Analogdan dijitale dönüştürme
• Karnaugh haritaları: mantık sadeleştirme
• Hata düzeltme kodları

Programcılar günlük olarak birden fazla tabanla çalışır:

• Bellek adresleri: 0x7FFEE4B2A000 (onaltılık)
• Bit bayrakları: 0b10110101 (ikili)
• Renk kodları: #FF5733 (onaltılık RGB)
• Dosya izinleri: chmod 755 (sekizli)
• Hata ayıklama: hexdump, bellek denetimi

Ağ protokolleri onaltılık ve ikili kullanır:

• MAC adresleri: 00:1A:2B:3C:4D:5E (onaltılık)
• IPv4: 192.168.1.1 = ikili gösterim
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (onaltılık)
• Alt ağ maskeleri: 255.255.255.0 = /24
• Paket incelemesi: Wireshark onaltılık

İkili düzeyde donanım tasarımı:

• Mantık kapıları: AND, OR, NOT ikili
• CPU yazmaçları: 64-bit = 16 onaltılık rakam
• Assembly dili: opkodlar onaltılık olarak
• FPGA programlama: ikili akışlar
• Donanım hata ayıklama: mantık analizörleri

Sayı teorisi özellikleri araştırır:

• Modüler aritmetik: çeşitli tabanlar
• Kriptografi: RSA, eliptik eğriler
• Fraktal üretimi: Cantor kümesi üçlü
• Asal sayı desenleri
• Kombinatorik: sayma desenleri

Konumsal değerleri kullanarak genişletin:

• Tabanı ve rakamları belirleyin
• Sağdan sola konumları atayın (0, 1, 2...)
• Rakamları onlu değerlere dönüştürün
• Çarpın: rakam × taban^konum
• Tüm terimleri toplayın

Hedef tabana tekrar tekrar bölün:

• Sayıyı hedef tabana bölün
• Kalanı kaydedin (en sağdaki rakam)
• Bölümü tekrar tabana bölün
• Bölüm 0 olana kadar tekrarlayın
• Kalanları aşağıdan yukarıya okuyun

İkili bitleri gruplandırın:

• İkili → Onaltılık: 4 bitlik gruplar halinde
• İkili → Sekizli: 3 bitlik gruplar halinde
• Onaltılık → İkili: her rakamı 4 bite genişletin
• Sekizli → İkili: her rakam için 3 bite genişletin
• Onlu dönüşümünü tamamen atlayın!

Yaygın dönüşümler için hileler:

• 2'nin kuvvetleri: 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536'yı ezberleyin
• Onaltılık: F=15, FF=255, FFF=4095
• Sekizli 777 = ikili 111111111
• İkiye katlama/yarıya indirme: ikili kaydırma
• Hesap makinesi programcı modunu kullanın

Saate her baktığınızda, 5000 yıllık bir Babil 60 tabanlı sistem kullanıyorsunuz. 60'ı seçtiler çünkü 12 böleni var, bu da kesirleri kolaylaştırıyor.

1999'da NASA'nın 125 milyon dolarlık Mars yörünge aracı, birim dönüştürme hataları nedeniyle yok oldu - bir ekip emperyal, diğeri metrik sistem kullanıyordu. Hassasiyet konusunda pahalı bir ders.

Roma rakamlarında sıfır ve negatif yoktur. Bu, Hint-Arap rakamları (0-9) matematiği devrimleştirene kadar ileri matematiği neredeyse imkansız hale getirdi.

Apollo Yönlendirme Bilgisayarı her şeyi sekizli (8 tabanında) gösteriyordu. Astronotlar, insanları Ay'a indiren programlar için sekizli kodları ezberlediler.

RGB renk kodları onaltılık kullanır: #RRGGBB, burada her biri 00-FF (0-255) arasındadır. Bu, 24-bit gerçek renkte 256³ = 16.777.216 olası renk verir.

Sovyet araştırmacılar 1950-70'lerde üçlü (3 tabanlı) bilgisayarlar inşa ettiler. Setun bilgisayarı, ikili yerine -1, 0, +1 mantığını kullandı. İkili altyapı kazandı.

İkili, elektronik devrelere mükemmel bir şekilde eşlenir: açık/kapalı, yüksek/düşük voltaj. İki durumlu sistemler güvenilir, hızlı ve üretimi kolaydır. Onlu, 10 farklı voltaj seviyesi gerektirir, bu da devreleri karmaşık ve hataya açık hale getirir.

16 onaltılık-ikili eşlemesini ezberleyin (0=0000...F=1111). Her onaltılık rakamı bağımsız olarak dönüştürün: A5₁₆ = 1010|0101₂. Tersine çevirmek için ikiliyi sağdan 4'erli gruplayın: 110101₂ = 35₁₆. Onluya gerek yok!

Programlama (bellek adresleri, bit işlemleri), ağ (IP adresleri, MAC adresleri), hata ayıklama (bellek dökümleri), dijital elektronik (mantık tasarımı) ve güvenlik (kriptografi, karma) için gereklidir.

Onaltılık, bayt sınırlarıyla hizalanır (8 bit = 2 onaltılık rakam), sekizli ise hizalanmaz (8 bit = 2.67 sekizli rakam). Modern bilgisayarlar bayt odaklıdır, bu da onaltılığı daha uygun hale getirir. Yalnızca Unix dosya izinleri sekizliyi ilgili tutar.

Kolay bir doğrudan yöntem yoktur. Sekizli, ikiliyi 3'erli, onaltılık ise 4'erli gruplar. İkili üzerinden dönüştürmek gerekir: sekizli→ikili (3 bit)→onaltılık (4 bit). Örnek: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Veya onluyu aracı olarak kullanın.

Gelenek ve estetik. Resmiyet (Super Bowl, filmler), ayırt etme (ana hatlar), zamansızlık (yüzyıl belirsizliği yok) ve tasarım zarafeti için kullanılır. Hesaplama için pratik değildir ancak kültürel olarak kalıcıdır.

Her tabanın katı kuralları vardır. 8 tabanı 8 veya 9 içeremez. 189₈ yazarsanız geçersizdir. Dönüştürücüler bunu reddeder. Programlama dilleri bunu zorunlu kılar: '09' sekizli bağlamlarda hatalara neden olur.

1 tabanı (birli) tek bir sembol kullanır (çetele işaretleri). Gerçekten konumsal değildir: 5 = '11111' (beş işaret). İlkel sayma için kullanılır ancak pratik değildir. Şaka: birli en kolay tabandır - sadece saymaya devam et!