Bármely számrendszer alapja

Az alap határozza meg, hogy hány egyedi számjegyet használnak, és hogyan növekednek a helyiértékek. A 10-es alap a 0-9 számjegyeket használja. A 2-es alap (bináris) a 0-1-et használja. A 16-os alap (hexadecimális) a 0-9-et és az A-F-et használja.

A 8-as alapban (oktális): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Egy számrendszerben értékeket képviselő szimbólumok

Minden alap egyedi szimbólumokat igényel a 0-tól (alap-1)-ig terjedő értékekhez. A bináris {0,1}-et használ. A decimális {0-9}-et használ. A hexadecimális kiterjed a {0-9, A-F}-re, ahol A=10...F=15.

2F3₁₆ hexadecimálisban = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Számok fordítása különböző rendszerek között

Az átváltás magában foglalja a decimálisra való kiterjesztést a helyiértékek használatával, majd az átváltást a célalapra. Bármely alapból decimálisba: összeg számjegy×alap^pozíció.

1011₂ → decimális: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

A számítógépek nyelve - csak 0-k és 1-esek

A bináris rendszer minden digitális rendszer alapja. Minden számítógépes művelet binárisra redukálódik. Minden számjegy (bit) a be/ki állapotokat képviseli.

• Számjegyek: {0, 1} - minimális szimbólumkészlet
• Egy bájt = 8 bit, 0-255-öt képvisel decimálisban
• A 2 hatványai kerek számok: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Egyszerű összeadás: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Használat: CPU-k, memória, hálózatok, digitális logika

Kompakt bináris ábrázolás a 0-7 számjegyekkel

Az oktális rendszer a bináris számjegyeket hármas csoportokba rendezi (2³=8). Minden oktális számjegy = pontosan 3 bináris bit.

• Számjegyek: {0-7} - nem létezik 8 vagy 9
• Minden oktális számjegy = 3 bináris bit: 7₈ = 111₂
• Unix engedélyek: 755 = rwxr-xr-x
• Történelmi: korai miniszámítógépek
• Ma már kevésbé gyakori: a hexadecimális felváltotta az oktálist

Az univerzális emberi számrendszer

A decimális rendszer a világszerte elterjedt emberi kommunikáció standardja. A 10-es alapú szerkezete az ujjakon való számolásból fejlődött ki.

• Számjegyek: {0-9} - tíz szimbólum
• Természetes az emberek számára: 10 ujj
• A tudományos jelölés a decimálist használja: 6.022×10²³
• Pénznem, mérések, naptárak
• A számítógépek belsőleg binárisra konvertálnak

A programozók rövidítése a binárisra

A hexadecimális rendszer a modern standard a bináris kompakt ábrázolására. Egy hexadecimális számjegy = pontosan 4 bit (2⁴=16).

• Számjegyek: {0-9, A-F}, ahol A=10...F=15
• Minden hexadecimális számjegy = 4 bit: F₁₆ = 1111₂
• Egy bájt = 2 hexadecimális számjegy: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB színek: #FF5733 = piros(255) zöld(87) kék(51)
• Memóriacímek: 0x7FFF8A2C

Matematikailag a leghatékonyabb alap

A ternáris rendszer a {0,1,2} számjegyeket használja. A leghatékonyabb radix a számok ábrázolására (legközelebb e=2.718-hoz).

• Optimális matematikai hatékonyság
• Kiegyensúlyozott ternáris: {-,0,+} szimmetrikus
• Ternáris logika a fuzzy rendszerekben
• Javasolt a kvantumszámítástechnikához (qutritek)

A decimális praktikus alternatívája

A 12-es alapnak több osztója van (2,3,4,6), mint a 10-nek (2,5), ami egyszerűsíti a törteket. Használják az idő, a tucat, a hüvelyk/láb mérésére.

• Idő: 12 órás óra, 60 perc (5×12)
• Imperiális: 12 hüvelyk = 1 láb
• Könnyebb törtek: 1/3 = 0.4₁₂
• A Duodecimális Társaság támogatja az elfogadását

Húszasával számolás

A 20-as alapú rendszerek az ujjakon és lábujjakon való számolásból fejlődtek ki. Maja, azték, kelta és baszk példák.

• Maja naptárrendszer
• Francia: quatre-vingts (80)
• Angol: 'score' = 20
• Inuit hagyományos számolás

Maximális alfanumerikus alap

Minden decimális számjegyet (0-9) és minden betűt (A-Z) használ. Kompakt és ember által olvasható.

• URL-rövidítők: kompakt linkek
• Licenckulcsok: szoftveraktiválás
• Adatbázis-azonosítók: gépelhető azonosítók
• Nyomkövető kódok: csomagok, rendelések

Ókori Róma (i.e. 500 - i.sz. 1500)

2000 éven át uralta Európát. Minden szimbólumnak fix értéke van: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Még mindig használatban: órák, Super Bowl, vázlatok
• Nincs nulla: számítási nehézségek
• Kivonási szabályok: IV=4, IX=9, XL=40
• Korlátozott: a standard 3999-ig terjed
• A hindu-arab számok váltották fel

Ókori Babilon (i.e. 3000)

A legrégebbi fennmaradt rendszer. A 60-nak 12 osztója van, ami megkönnyíti a törteket. Időre és szögekre használták.

• Idő: 60 másodperc/perc, 60 perc/óra
• Szögek: 360°-os kör, 60 ívperc
• Oszthatóság: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 tiszta
• Babiloni csillagászati számítások

Minden decimális számjegy 4 bitként van kódolva

A BCD minden decimális számjegyet (0-9) 4 bites binárisként ábrázol. A 392 0011 1001 0010 lesz. Elkerüli a lebegőpontos hibákat.

• Pénzügyi rendszerek: pontos decimális
• Digitális órák és számológépek
• IBM nagyszámítógépek: decimális egység
• Hitelkártya mágnescsíkok

A szomszédos értékek egy bittel térnek el

A Gray-kód biztosítja, hogy az egymást követő számok között csak egy bit változzon. Kritikus az analóg-digitális átalakításhoz.

• Forgó jeladók: pozícióérzékelők
• Analóg-digitális átalakítás
• Karnaugh-táblák: logikai egyszerűsítés
• Hibajavító kódok

A programozók naponta több alappal dolgoznak:

• Memóriacímek: 0x7FFEE4B2A000 (hexadecimális)
• Bit flag-ek: 0b10110101 (bináris)
• Színkódok: #FF5733 (hexadecimális RGB)
• Fájlengedélyek: chmod 755 (oktális)
• Hibakeresés: hexdump, memóriainspekció

A hálózati protokollok hexadecimális és bináris rendszert használnak:

• MAC-címek: 00:1A:2B:3C:4D:5E (hexadecimális)
• IPv4: 192.168.1.1 = bináris jelölés
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (hexadecimális)
• Alhálózati maszkok: 255.255.255.0 = /24
• Csomaginspekció: Wireshark hexadecimális

Hardvertervezés bináris szinten:

• Logikai kapuk: AND, OR, NOT bináris
• CPU-regiszterek: 64 bites = 16 hexadecimális számjegy
• Assembly nyelv: opkódok hexadecimálisban
• FPGA programozás: bináris adatfolyamok
• Hardveres hibakeresés: logikai analizátorok

A számelmélet tulajdonságokat vizsgál:

• Moduláris aritmetika: különböző alapok
• Kriptográfia: RSA, elliptikus görbék
• Fraktálgenerálás: Cantor-halmaz ternárisan
• Prímszámminták
• Kombinatorika: számlálási minták

Bontsa ki a helyiértékek segítségével:

• Azonosítsa az alapot és a számjegyeket
• Rendelje hozzá a pozíciókat jobbról balra (0, 1, 2...)
• Konvertálja a számjegyeket decimális értékekre
• Szorozza meg: számjegy × alap^pozíció
• Adja össze az összes tagot

Ismételten ossza el a célalappal:

• Ossza el a számot a célalappal
• Jegyezze fel a maradékot (a jobb szélső számjegy)
• Ossza el újra a hányadost az alappal
• Ismételje, amíg a hányados 0 nem lesz
• Olvassa le a maradékokat alulról felfelé

Csoportosítsa a bináris biteket:

• Bináris → Hexadecimális: csoportosítsa 4 bites csoportokba
• Bináris → Oktális: csoportosítsa 3 bites csoportokba
• Hexadecimális → Bináris: bontsa ki minden számjegyet 4 bitre
• Oktális → Bináris: bontsa ki 3 bitre számjegyenként
• Hagyja ki teljesen a decimális átváltást!

Trükkök a gyakori átváltásokhoz:

• 2 hatványai: jegyezze meg 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Hexadecimális: F=15, FF=255, FFF=4095
• Oktális 777 = bináris 111111111
• Duplázás/felezés: bináris eltolás
• Használja a számológép programozói módját

Minden alkalommal, amikor az órára néz, egy 5000 éves babiloni 60-as alapú rendszert használ. A 60-at választották, mert 12 osztója van, ami megkönnyíti a törtekkel való munkát.

1999-ben a NASA 125 millió dolláros Mars-szondája megsemmisült az egységátváltási hibák miatt – az egyik csapat imperiális, a másik metrikus rendszert használt. Drága lecke a precizitásról.

A római számoknak nincs nullájuk és nincsenek negatív számaik. Ez szinte lehetetlenné tette a haladó matematikát, amíg a hindu-arab számok (0-9) forradalmasították a matematikát.

Az Apollo Irányító Számítógép mindent oktális (8-as alapú) rendszerben jelenített meg. Az űrhajósok oktális kódokat memorizáltak a programokhoz, amelyekkel embereket juttattak a Holdra.

Az RGB színkódok hexadecimális rendszert használnak: #RRGGBB, ahol mindegyik 00-FF (0-255). Ez 256³ = 16 777 216 lehetséges színt ad a 24 bites valódi színben.

A szovjet kutatók ternáris (3-as alapú) számítógépeket építettek az 1950-70-es években. A Setun számítógép -1, 0, +1 logikát használt a bináris helyett. A bináris infrastruktúra győzött.

A bináris tökéletesen illeszkedik az elektronikus áramkörökhöz: be/ki, magas/alacsony feszültség. A kétállapotú rendszerek megbízhatóak, gyorsak és könnyen gyárthatók. A decimális rendszer 10 különböző feszültségszintet igényelne, ami bonyolulttá és hibára hajlamossá tenné az áramköröket.

Jegyezze meg a 16 hexadecimális-bináris megfeleltetést (0=0000...F=1111). Konvertálja minden hexadecimális számjegyet külön: A5₁₆ = 1010|0101₂. Csoportosítsa a binárist 4-esével jobbról a visszaalakításhoz: 110101₂ = 35₁₆. Nincs szükség decimálisra!

Elengedhetetlen a programozáshoz (memóriacímek, bitműveletek), a hálózatépítéshez (IP-címek, MAC-címek), a hibakereséshez (memóriaképek), a digitális elektronikához (logikai tervezés) és a biztonsághoz (kriptográfia, hashelés).

A hexadecimális a bájt-határokhoz igazodik (8 bit = 2 hexadecimális számjegy), míg az oktális nem (8 bit = 2,67 oktális számjegy). A modern számítógépek bájt-orientáltak, ami a hexadecimális rendszert kényelmesebbé teszi. Csak a Unix fájlengedélyek tartják relevánsnak az oktálist.

Nincs egyszerű, közvetlen módszer. Az oktális a binárist 3-as, a hexadecimális 4-es csoportokba rendezi. Binárison keresztül kell konvertálni: oktális→bináris (3 bit)→hexadecimális (4 bit). Példa: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Vagy használja a decimálist köztes lépésként.

Hagyomány és esztétika. Formális célokra (Super Bowl, filmek), megkülönböztetésre (vázlatok), időtlenségre (nincs évszázad-kétértelműség) és dizájneleganciára használják. Számításra nem praktikus, de kulturálisan fennmaradt.

Minden alapnak szigorú szabályai vannak. A 8-as alap nem tartalmazhat 8-at vagy 9-et. Ha 189₈-at ír, az érvénytelen. A konverterek elutasítják. A programozási nyelvek ezt kikényszerítik: a '09' hibát okoz az oktális kontextusokban.

Az 1-es alap (unáris) egyetlen szimbólumot használ (rovás). Nem igazán helyiértékes: 5 = '11111' (öt rovás). Primitív számolásra használják, de nem praktikus. Vicc: az unáris a legegyszerűbb alap - csak folytassa a számolást!