Фундамент будь-якої системи числення

Основа визначає, скільки унікальних цифр використовується і як зростають розрядні значення. Основа 10 використовує цифри 0-9. Основа 2 (двійкова) використовує 0-1. Основа 16 (шістнадцяткова) використовує 0-9 плюс A-F.

В основі 8 (вісімкова): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Символи, що представляють значення в системі числення

Кожна основа вимагає унікальних символів для значень від 0 до (основа-1). Двійкова використовує {0,1}. Десяткова використовує {0-9}. Шістнадцяткова розширюється до {0-9, A-F}, де A=10...F=15.

2F3₁₆ у шістнадцятковій = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Переклад чисел між різними системами

Перетворення включає розкладання до десяткової системи за допомогою позиційних значень, а потім перетворення до цільової основи. З будь-якої основи до десяткової: сума цифра×основа^позиція.

1011₂ → десяткова: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Мова комп'ютерів - лише 0 та 1

Двійкова система є основою всіх цифрових систем. Кожна комп'ютерна операція зводиться до двійкової. Кожна цифра (біт) представляє стани увімкнено/вимкнено.

• Цифри: {0, 1} - мінімальний набір символів
• Один байт = 8 біт, представляє 0-255 у десятковій системі
• Степені 2 є круглими числами: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Додавання просте: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Використовується в: ЦП, пам'яті, мережах, цифровій логіці

Компактне двійкове представлення з використанням цифр 0-7

Вісімкова система групує двійкові цифри в набори по три (2³=8). Кожна вісімкова цифра = рівно 3 двійкові біти.

• Цифри: {0-7} - не існує 8 або 9
• Кожна вісімкова цифра = 3 двійкові біти: 7₈ = 111₂
• Дозволи Unix: 755 = rwxr-xr-x
• Історично: ранні мінікомп'ютери
• Сьогодні менш поширена: шістнадцяткова замінила вісімкову

Універсальна людська система числення

Десяткова система є стандартом для людського спілкування у всьому світі. Її структура з основою 10 виникла з лічби на пальцях.

• Цифри: {0-9} - десять символів
• Природна для людей: 10 пальців
• Наукова нотація використовує десяткову систему: 6.022×10²³
• Валюта, вимірювання, календарі
• Комп'ютери внутрішньо перетворюють у двійкову

Скорочення програмістів для двійкової системи

Шістнадцяткова система є сучасним стандартом для компактного представлення двійкових даних. Одна шістнадцяткова цифра = рівно 4 біти (2⁴=16).

• Цифри: {0-9, A-F}, де A=10...F=15
• Кожна шістнадцяткова цифра = 4 біти: F₁₆ = 1111₂
• Один байт = 2 шістнадцяткові цифри: FF₁₆ = 255₁₀
• Кольори RGB: #FF5733 = червоний(255) зелений(87) синій(51)
• Адреси пам'яті: 0x7FFF8A2C

Найефективніша основа математично

Трійкова використовує цифри {0,1,2}. Найефективніший радікс для представлення чисел (найближчий до e=2.718).

• Математична ефективність оптимальна
• Збалансована трійкова: {-,0,+} симетрична
• Трійкова логіка в нечітких системах
• Пропонована для квантових обчислень (кутрити)

Практична альтернатива десятковій

Основа 12 має більше дільників (2,3,4,6), ніж 10 (2,5), що спрощує дроби. Використовується в часі, дюжинах, дюймах/футах.

• Час: 12-годинний годинник, 60 хвилин (5×12)
• Імперська система: 12 дюймів = 1 фут
• Дроби легші: 1/3 = 0.4₁₂
• Дванадцяткове Товариство виступає за впровадження

Лічба двадцятками

Системи з основою 20 виникли з лічби на пальцях рук і ніг. Приклади у мая, ацтеків, кельтів та басків.

• Календарна система мая
• Французька: quatre-vingts (80)
• Англійська: 'score' = 20
• Традиційна лічба інуїтів

Максимальна алфавітно-цифрова основа

Використовує всі десяткові цифри (0-9) плюс усі літери (A-Z). Компактна і зрозуміла для людини.

• Скорочувачі URL: компактні посилання
• Ліцензійні ключі: активація програмного забезпечення
• Ідентифікатори баз даних: ідентифікатори, що можна вводити
• Коди відстеження: посилки, замовлення

Стародавній Рим (500 до н.е. - 1500 н.е.)

Домінували в Європі протягом 2000 років. Кожен символ має фіксоване значення: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Досі використовуються: годинники, Супербоул, конспекти
• Немає нуля: труднощі з обчисленнями
• Правила віднімання: IV=4, IX=9, XL=40
• Обмежені: стандарт доходить до 3999
• Замінені індо-арабськими цифрами

Стародавній Вавилон (3000 до н.е.)

Найстаріша система, що збереглася. 60 має 12 дільників, що полегшує роботу з дробами. Використовується для часу та кутів.

• Час: 60 секунд/хвилина, 60 хвилин/година
• Кути: 360° коло, 60 кутових хвилин
• Дільність: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 без залишку
• Вавилонські астрономічні розрахунки

Кожна десяткова цифра кодується як 4 біти

BCD представляє кожну десяткову цифру (0-9) як 4-бітне двійкове число. 392 стає 0011 1001 0010. Уникає помилок з плаваючою комою.

• Фінансові системи: точна десяткова система
• Цифрові годинники та калькулятори
• Мейнфрейми IBM: десятковий блок
• Магнітні смуги кредитних карток

Сусідні значення відрізняються на один біт

Код Грея гарантує, що між послідовними числами змінюється лише один біт. Критично важливий для аналого-цифрового перетворення.

• Обертові енкодери: датчики положення
• Аналого-цифрове перетворення
• Карти Карно: спрощення логіки
• Коди корекції помилок

Програмісти щодня працюють з кількома основами:

• Адреси пам'яті: 0x7FFEE4B2A000 (шістнадцяткова)
• Бітові прапори: 0b10110101 (двійкова)
• Коди кольорів: #FF5733 (шістнадцяткова RGB)
• Права доступу до файлів: chmod 755 (вісімкова)
• Налагодження: hexdump, інспекція пам'яті

Мережеві протоколи використовують шістнадцяткову та двійкову системи:

• MAC-адреси: 00:1A:2B:3C:4D:5E (шістнадцяткова)
• IPv4: 192.168.1.1 = двійкова нотація
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (шістнадцяткова)
• Маски підмережі: 255.255.255.0 = /24
• Інспекція пакетів: Wireshark шістнадцяткова

Проектування апаратного забезпечення на двійковому рівні:

• Логічні вентилі: AND, OR, NOT двійкові
• Регістри ЦП: 64-біт = 16 шістнадцяткових цифр
• Мова асемблера: опкоди в шістнадцятковій системі
• Програмування FPGA: двійкові потоки
• Налагодження апаратного забезпечення: логічні аналізатори

Теорія чисел досліджує властивості:

• Модульна арифметика: різні основи
• Криптографія: RSA, еліптичні криві
• Генерація фракталів: трійкова множина Кантора
• Патерни простих чисел
• Комбінаторика: патерни лічби

Розкладіть за допомогою позиційних значень:

• Визначте основу та цифри
• Призначте позиції справа наліво (0, 1, 2...)
• Перетворіть цифри на десяткові значення
• Помножте: цифра × основа^позиція
• Підсумуйте всі доданки

Повторно діліть на цільову основу:

• Розділіть число на цільову основу
• Запишіть залишок (крайня права цифра)
• Знову розділіть частку на основу
• Повторюйте, поки частка не стане 0
• Прочитайте залишки знизу вгору

Згрупуйте двійкові біти:

• Двійкова → Шістнадцяткова: групуйте по 4 біти
• Двійкова → Вісімкова: групуйте по 3 біти
• Шістнадцяткова → Двійкова: розгорніть кожну цифру до 4 бітів
• Вісімкова → Двійкова: розгорніть до 3 бітів на цифру
• Повністю пропустіть десяткове перетворення!

Хитрощі для поширених перетворень:

• Степені 2: запам'ятайте 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Шістнадцяткова: F=15, FF=255, FFF=4095
• Вісімкова 777 = двійкова 111111111
• Подвоєння/половинення: двійковий зсув
• Використовуйте режим програміста на калькуляторі

Щоразу, коли ви дивитеся на годинник, ви використовуєте 5000-річну вавилонську систему з основою 60. Вони обрали 60, оскільки воно має 12 дільників, що полегшує роботу з дробами.

У 1999 році орбітальний апарат NASA вартістю 125 мільйонів доларів був знищений через помилки в перетворенні одиниць - одна команда використовувала імперську систему, інша - метричну. Дорогий урок точності.

Римські цифри не мають нуля та від'ємних значень. Це робило вищу математику майже неможливою, доки індо-арабські цифри (0-9) не революціонізували математику.

Бортовий комп'ютер Аполлона відображав все у вісімковій системі (основа 8). Астронавти запам'ятовували вісімкові коди програм, які висадили людей на Місяць.

Коди кольорів RGB використовують шістнадцяткову систему: #RRGGBB, де кожен компонент - від 00 до FF (0-255). Це дає 256³ = 16,777,216 можливих кольорів у 24-бітному справжньому кольорі.

Радянські дослідники створювали трійкові (основа 3) комп'ютери в 1950-70-х роках. Комп'ютер «Сетунь» використовував логіку -1, 0, +1 замість двійкової. Двійкова інфраструктура перемогла.

Двійкова система ідеально відповідає електронним схемам: увімкнено/вимкнено, висока/низька напруга. Системи з двома станами надійні, швидкі та легкі у виробництві. Десяткова система вимагала б 10 різних рівнів напруги, що зробило б схеми складними та схильними до помилок.

Запам'ятайте 16 відповідностей шістнадцяткових цифр двійковим (0=0000...F=1111). Перетворюйте кожну шістнадцяткову цифру незалежно: A5₁₆ = 1010|0101₂. Щоб зробити навпаки, групуйте двійкові цифри по 4 справа: 110101₂ = 35₁₆. Десяткова система не потрібна!

Важливо для програмування (адреси пам'яті, бітові операції), мереж (IP-адреси, MAC-адреси), налагодження (дампи пам'яті), цифрової електроніки (проектування логіки) та безпеки (криптографія, хешування).

Шістнадцяткова система відповідає межам байта (8 біт = 2 шістнадцяткові цифри), тоді як вісімкова - ні (8 біт = 2.67 вісімкових цифр). Сучасні комп'ютери орієнтовані на байти, що робить шістнадцяткову систему зручнішою. Лише права доступу до файлів у Unix зберігають актуальність вісімкової системи.

Немає простого прямого методу. Вісімкова групує двійкові дані по 3 біти, шістнадцяткова - по 4. Треба перетворювати через двійкову: вісімкова→двійкова (3 біти)→шістнадцяткова (4 біти). Приклад: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Або використовуйте десяткову як проміжну.

Традиція та естетика. Використовуються для формальності (Супербоул, фільми), розрізнення (конспекти), позачасовості (немає неоднозначності століття) та елегантності дизайну. Непрактичні для обчислень, але культурно стійкі.

Кожна основа має суворі правила. Основа 8 не може містити 8 або 9. Якщо ви напишете 189₈, це недійсне значення. Конвертери відхилять його. Мови програмування це контролюють: '09' викличе помилки у вісімкових контекстах.

Основа 1 (унарна) використовує один символ (палички для підрахунку). Вона не є по-справжньому позиційною: 5 = '11111' (п'ять паличок). Використовується для примітивної лічби, але непрактична. Жарт: унарна - найпростіша основа, просто продовжуйте рахувати!