Dasar dari setiap sistem bilangan

Basis menentukan berapa banyak digit unik yang digunakan dan bagaimana nilai tempat meningkat. Basis 10 menggunakan digit 0-9. Basis 2 (biner) menggunakan 0-1. Basis 16 (heksadesimal) menggunakan 0-9 plus A-F.

Dalam basis 8 (oktal): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Simbol yang merepresentasikan nilai dalam sistem bilangan

Setiap basis memerlukan simbol unik untuk nilai dari 0 hingga (basis-1). Biner menggunakan {0,1}. Desimal menggunakan {0-9}. Heksadesimal meluas hingga {0-9, A-F} di mana A=10...F=15.

2F3₁₆ dalam heksadesimal = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Menerjemahkan angka di antara sistem yang berbeda

Konversi melibatkan perluasan ke desimal menggunakan nilai posisional, kemudian mengkonversi ke basis target. Dari basis apa pun ke desimal: jumlah digit×basis^posisi.

1011₂ → desimal: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Bahasa komputer - hanya 0 dan 1

Biner adalah dasar dari semua sistem digital. Setiap operasi komputer direduksi menjadi biner. Setiap digit (bit) merepresentasikan keadaan hidup/mati.

• Digit: {0, 1} - set simbol minimal
• Satu byte = 8 bit, merepresentasikan 0-255 dalam desimal
• Pangkat 2 adalah bilangan bulat: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Penjumlahan sederhana: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Digunakan dalam: CPU, memori, jaringan, logika digital

Representasi biner ringkas menggunakan digit 0-7

Oktal mengelompokkan digit biner dalam set tiga (2³=8). Setiap digit oktal = tepat 3 bit biner.

• Digit: {0-7} - tidak ada 8 atau 9
• Setiap digit oktal = 3 bit biner: 7₈ = 111₂
• Izin Unix: 755 = rwxr-xr-x
• Historis: minikomputer awal
• Kurang umum saat ini: heksadesimal telah menggantikan oktal

Sistem bilangan manusia universal

Desimal adalah standar komunikasi manusia di seluruh dunia. Struktur basis-10-nya berevolusi dari menghitung dengan jari.

• Digit: {0-9} - sepuluh simbol
• Alami bagi manusia: 10 jari
• Notasi ilmiah menggunakan desimal: 6.022×10²³
• Mata uang, pengukuran, kalender
• Komputer mengkonversi ke biner secara internal

Singkatan programmer untuk biner

Heksadesimal adalah standar modern untuk merepresentasikan biner secara ringkas. Satu digit heksadesimal = tepat 4 bit (2⁴=16).

• Digit: {0-9, A-F} di mana A=10...F=15
• Setiap digit heksadesimal = 4 bit: F₁₆ = 1111₂
• Satu byte = 2 digit heksadesimal: FF₁₆ = 255₁₀
• Warna RGB: #FF5733 = merah(255) hijau(87) biru(51)
• Alamat memori: 0x7FFF8A2C

Basis paling efisien secara matematis

Ternary menggunakan digit {0,1,2}. Radiks paling efisien untuk merepresentasikan angka (paling dekat dengan e=2.718).

• Efisiensi matematika optimal
• Ternary seimbang: {-,0,+} simetris
• Logika ternary dalam sistem fuzzy
• Diusulkan untuk komputasi kuantum (qutrits)

Alternatif praktis untuk desimal

Basis 12 memiliki lebih banyak pembagi (2,3,4,6) daripada 10 (2,5), menyederhanakan pecahan. Digunakan dalam waktu, lusin, inci/kaki.

• Waktu: jam 12 jam, 60 menit (5×12)
• Imperial: 12 inci = 1 kaki
• Pecahan lebih mudah: 1/3 = 0.4₁₂
• Masyarakat Duodesimal menganjurkan adopsi

Menghitung dengan dua puluhan

Sistem basis 20 berevolusi dari menghitung jari tangan + jari kaki. Contohnya pada suku Maya, Aztec, Celtic, dan Basque.

• Sistem kalender Maya
• Prancis: quatre-vingts (80)
• Inggris: 'score' = 20
• Penghitungan tradisional Inuit

Basis alfanumerik maksimum

Menggunakan semua digit desimal (0-9) ditambah semua huruf (A-Z). Ringkas dan dapat dibaca manusia.

• Pemendek URL: tautan ringkas
• Kunci lisensi: aktivasi perangkat lunak
• ID basis data: pengidentifikasi yang dapat diketik
• Kode pelacakan: paket, pesanan

Roma Kuno (500 SM - 1500 M)

Mendominasi Eropa selama 2000 tahun. Setiap simbol memiliki nilai tetap: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Masih digunakan: jam, Super Bowl, kerangka
• Tidak ada nol: kesulitan perhitungan
• Aturan pengurangan: IV=4, IX=9, XL=40
• Terbatas: standar hanya sampai 3999
• Digantikan oleh angka Hindu-Arab

Babilonia Kuno (3000 SM)

Sistem tertua yang bertahan. 60 memiliki 12 pembagi, membuat pecahan lebih mudah. Digunakan untuk waktu dan sudut.

• Waktu: 60 detik/menit, 60 menit/jam
• Sudut: lingkaran 360°, 60 menit busur
• Keterbagian: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 bersih
• Perhitungan astronomi Babilonia

Setiap digit desimal dikodekan sebagai 4 bit

BCD merepresentasikan setiap digit desimal (0-9) sebagai 4-bit biner. 392 menjadi 0011 1001 0010. Menghindari kesalahan titik-mengambang.

• Sistem keuangan: desimal yang tepat
• Jam digital dan kalkulator
• Mainframe IBM: unit desimal
• Strip magnetik kartu kredit

Nilai yang berdekatan berbeda satu bit

Kode Gray memastikan hanya satu bit yang berubah di antara angka yang berurutan. Penting untuk konversi analog-ke-digital.

• Encoder putar: sensor posisi
• Konversi analog-ke-digital
• Peta Karnaugh: penyederhanaan logika
• Kode koreksi kesalahan

Programmer bekerja dengan berbagai basis setiap hari:

• Alamat memori: 0x7FFEE4B2A000 (heksadesimal)
• Bendera bit: 0b10110101 (biner)
• Kode warna: #FF5733 (heksadesimal RGB)
• Izin file: chmod 755 (oktal)
• Debugging: hexdump, inspeksi memori

Protokol jaringan menggunakan heksadesimal dan biner:

• Alamat MAC: 00:1A:2B:3C:4D:5E (heksadesimal)
• IPv4: 192.168.1.1 = notasi biner
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (heksadesimal)
• Masker subnet: 255.255.255.0 = /24
• Inspeksi paket: Wireshark heksadesimal

Desain perangkat keras pada tingkat biner:

• Gerbang logika: AND, OR, NOT biner
• Register CPU: 64-bit = 16 digit heksadesimal
• Bahasa rakitan: opcode dalam heksadesimal
• Pemrograman FPGA: aliran biner
• Debugging perangkat keras: penganalisis logika

Teori bilangan mengeksplorasi properti:

• Aritmetika modular: berbagai basis
• Kriptografi: RSA, kurva eliptik
• Generasi fraktal: himpunan Cantor ternary
• Pola bilangan prima
• Kombinatorik: pola penghitungan

Perluas menggunakan nilai posisional:

• Identifikasi basis dan digit
• Tetapkan posisi dari kanan ke kiri (0, 1, 2...)
• Konversi digit ke nilai desimal
• Kalikan: digit × basis^posisi
• Jumlahkan semua suku

Bagi berulang kali dengan basis target:

• Bagi angka dengan basis target
• Catat sisa (digit paling kanan)
• Bagi hasil bagi dengan basis lagi
• Ulangi hingga hasil bagi adalah 0
• Baca sisa dari bawah ke atas

Kelompokkan bit biner:

• Biner → Heksadesimal: kelompokkan per 4 bit
• Biner → Oktal: kelompokkan per 3 bit
• Heksadesimal → Biner: perluas setiap digit menjadi 4 bit
• Oktal → Biner: perluas menjadi 3 bit per digit
• Lewati konversi desimal sepenuhnya!

Trik untuk konversi umum:

• Pangkat 2: hafalkan 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Heksadesimal: F=15, FF=255, FFF=4095
• Oktal 777 = biner 111111111
• Menggandakan/membagi dua: pergeseran biner
• Gunakan mode programmer kalkulator

Setiap kali Anda memeriksa jam, Anda menggunakan sistem basis-60 Babilonia yang berusia 5000 tahun. Mereka memilih 60 karena memiliki 12 pembagi, membuat pecahan lebih mudah.

Pada tahun 1999, wahana antariksa Mars NASA senilai $125 juta hancur karena kesalahan konversi unit - satu tim menggunakan imperial, tim lain metrik. Sebuah pelajaran mahal dalam presisi.

Angka Romawi tidak memiliki nol dan tidak ada negatif. Hal ini membuat matematika tingkat lanjut hampir mustahil sampai angka Hindu-Arab (0-9) merevolusi matematika.

Komputer Pemandu Apollo menampilkan semuanya dalam oktal (basis 8). Para astronot menghafal kode oktal untuk program yang mendaratkan manusia di Bulan.

Kode warna RGB menggunakan heksadesimal: #RRGGBB di mana masing-masing adalah 00-FF (0-255). Ini memberikan 256³ = 16.777.216 kemungkinan warna dalam warna sejati 24-bit.

Peneliti Soviet membangun komputer ternary (basis-3) pada tahun 1950-an-70-an. Komputer Setun menggunakan logika -1, 0, +1 alih-alih biner. Infrastruktur biner menang.

Biner memetakan dengan sempurna ke sirkuit elektronik: hidup/mati, tegangan tinggi/rendah. Sistem dua keadaan dapat diandalkan, cepat, dan mudah diproduksi. Desimal akan membutuhkan 10 level tegangan yang berbeda, membuat sirkuit menjadi kompleks dan rentan terhadap kesalahan.

Hafalkan 16 pemetaan heksadesimal-ke-biner (0=0000...F=1111). Konversi setiap digit heksadesimal secara independen: A5₁₆ = 1010|0101₂. Kelompokkan biner per 4 dari kanan untuk membalikkan: 110101₂ = 35₁₆. Tidak perlu desimal!

Penting untuk pemrograman (alamat memori, operasi bit), jaringan (alamat IP, alamat MAC), debugging (dump memori), elektronik digital (desain logika), dan keamanan (kriptografi, hashing).

Heksadesimal sejajar dengan batasan byte (8 bit = 2 digit heksadesimal), sedangkan oktal tidak (8 bit = 2.67 digit oktal). Komputer modern berorientasi byte, membuat heksadesimal lebih nyaman. Hanya izin file Unix yang membuat oktal tetap relevan.

Tidak ada metode langsung yang mudah. Oktal mengelompokkan biner per 3, heksadesimal per 4. Harus mengkonversi melalui biner: oktal→biner (3 bit)→heksadesimal (4 bit). Contoh: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Atau gunakan desimal sebagai perantara.

Tradisi dan estetika. Digunakan untuk formalitas (Super Bowl, film), pembedaan (kerangka), keabadian (tidak ada ambiguitas abad), dan keanggunan desain. Tidak praktis untuk perhitungan tetapi tetap bertahan secara budaya.

Setiap basis memiliki aturan yang ketat. Basis 8 tidak boleh berisi 8 atau 9. Jika Anda menulis 189₈, itu tidak valid. Konverter akan menolaknya. Bahasa pemrograman memberlakukan ini: '09' menyebabkan kesalahan dalam konteks oktal.

Basis 1 (uner) menggunakan satu simbol (tanda hitung). Tidak benar-benar posisional: 5 = '11111' (lima tanda). Digunakan untuk penghitungan primitif tetapi tidak praktis. Lelucon: uner adalah basis termudah - terus saja menghitung!