Il-pedament ta' kwalunkwe sistema ta' numri

Il-bażi tiddetermina kemm jintużaw ċifri uniċi u kif jiżdiedu l-valuri tal-post. Il-bażi 10 tuża ċ-ċifri 0-9. Il-bażi 2 (binarju) tuża 0-1. Il-bażi 16 (eżadeċimali) tuża 0-9 flimkien ma' A-F.

Fil-bażi 8 (ottali): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Simboli li jirrappreżentaw valuri f'sistema ta' numri

Kull bażi teħtieġ simboli uniċi għall-valuri minn 0 sa (bażi-1). Il-binarju juża {0,1}. Id-deċimali juża {0-9}. L-eżadeċimali jestendi għal {0-9, A-F} fejn A=10...F=15.

2F3₁₆ f'eżadeċimali = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

It-traduzzjoni ta' numri bejn sistemi differenti

Il-konverżjoni tinvolvi l-espansjoni għad-deċimali bl-użu ta' valuri pożizzjonali, imbagħad il-konverżjoni għall-bażi fil-mira. Minn kwalunkwe bażi għad-deċimali: somma ċifra×bażi^pożizzjoni.

1011₂ → deċimali: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Il-lingwa tal-kompjuters - 0 u 1 biss

Il-binarju huwa l-pedament tas-sistemi diġitali kollha. Kull operazzjoni tal-kompjuter titnaqqas għal binarju. Kull ċifra (bit) tirrappreżenta l-istati mixgħul/mitfi.

• Ċifri: {0, 1} - sett minimu ta' simboli
• Byte wieħed = 8 bits, jirrappreżenta 0-255 f'deċimali
• Il-potenzi ta' 2 huma numri sħaħ: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Addizzjoni sempliċi: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Użat fi: CPUs, memorja, netwerks, loġika diġitali

Rappreżentazzjoni binarja kompatta bl-użu taċ-ċifri 0-7

L-ottali jiġbor iċ-ċifri binarji f'settijiet ta' tlieta (2³=8). Kull ċifra ottali = eżattament 3 bits binarji.

• Ċifri: {0-7} - m'hemmx 8 jew 9
• Kull ċifra ottali = 3 bits binarji: 7₈ = 111₂
• Permessi Unix: 755 = rwxr-xr-x
• Storikament: minikompjuters bikrija
• Inqas komuni llum: l-eżadeċimali ħa post l-ottali

Is-sistema universali tan-numri tal-bniedem

Id-deċimali huwa l-istandard għall-komunikazzjoni umana mad-dinja kollha. L-istruttura tiegħu b'bażi 10 evolviet mill-għadd fuq is-swaba'.

• Ċifri: {0-9} - għaxar simboli
• Naturali għall-bnedmin: 10 swaba'
• In-notazzjoni xjentifika tuża d-deċimali: 6.022×10²³
• Munita, kejl, kalendarji
• Il-kompjuters jikkonvertu għal binarju internament

It-tqassir tal-programmatur għall-binarju

L-eżadeċimali huwa l-istandard modern għar-rappreżentazzjoni kompatta tal-binarju. Ċifra eżadeċimali waħda = eżattament 4 bits (2⁴=16).

• Ċifri: {0-9, A-F} fejn A=10...F=15
• Kull ċifra eżadeċimali = 4 bits: F₁₆ = 1111₂
• Byte wieħed = 2 ċifri eżadeċimali: FF₁₆ = 255₁₀
• Kuluri RGB: #FF5733 = aħmar(255) aħdar(87) blu(51)
• Indirizzi tal-memorja: 0x7FFF8A2C

Il-bażi l-aktar effiċjenti matematikament

It-ternarju juża ċ-ċifri {0,1,2}. L-aktar radix effiċjenti biex tirrappreżenta n-numri (l-eqreb għal e=2.718).

• Effiċjenza matematika ottimali
• Ternarju bbilanċjat: {-,0,+} simetriku
• Loġika ternarja f'sistemi fuzzy
• Propost għall-komputazzjoni kwantistika (qutrits)

L-alternattiva prattika għad-deċimali

Il-bażi 12 għandha aktar diviżuri (2,3,4,6) minn 10 (2,5), li tissimplifika l-frazzjonijiet. Użata fil-ħin, id-dużżini, il-pulzieri/saqajn.

• Ħin: arloġġ ta' 12-il siegħa, 60 minuta (5×12)
• Imperjali: 12-il pulzier = pied 1
• Frazzjonijiet aktar faċli: 1/3 = 0.4₁₂
• Is-Soċjetà Duodeċimali tappoġġja l-adozzjoni tagħha

Għadd bl-għoxrinijiet

Sistemi b'bażi 20 evolvew mill-għadd tas-swaba' tal-idejn + tas-saqajn. Eżempji Mayan, Aztec, Celtic, u Basque.

• Sistema kalendarja Mayan
• Franċiż: quatre-vingts (80)
• Ingliż: 'score' = 20
• Għadd tradizzjonali tal-Inuit

Bażi alfanumerika massima

Tuża ċ-ċifri deċimali kollha (0-9) flimkien mal-ittri kollha (A-Z). Kompatta u tinqara mill-bniedem.

• Tqassir tal-URL: links kompatti
• Ċwievet tal-liċenzja: attivazzjoni tas-softwer
• IDs tad-database: identifikaturi li jistgħu jiġu ttajpjati
• Kodiċijiet tat-traċċar: pakketti, ordnijiet

Ruma Antika (500 Q.K. - 1500 W.K.)

Iddominaw l-Ewropa għal 2000 sena. Kull simbolu għandu valur fiss: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Għadhom jintużaw: arloġġi, Super Bowl, abbozzi
• L-ebda żero: diffikultajiet fil-kalkolu
• Regoli sottrattivi: IV=4, IX=9, XL=40
• Limitati: l-istandard jasal sa 3999
• Mibdula bin-numri Hindu-Għarab

Babilonja Antika (3000 Q.K.)

L-eqdem sistema li baqgħet teżisti. 60 għandha 12-il diviżur, li jagħmel il-frazzjonijiet aktar faċli. Użata għall-ħin u l-angoli.

• Ħin: 60 sekonda/minuta, 60 minuta/siegħa
• Angoli: ċirku ta' 360°, 60 minuta tal-ark
• Diviżibilità: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 nodfa
• Kalkoli astronomiċi Babiloniżi

Kull ċifra deċimali hija kkodifikata bħala 4 bits

BCD jirrappreżenta kull ċifra deċimali (0-9) bħala binarju ta' 4 bits. 392 isir 0011 1001 0010. Jevita żbalji ta' punt li jvarja.

• Sistemi finanzjarji: deċimali eżatt
• Arloġġi diġitali u kalkulaturi
• Mainframes tal-IBM: unità deċimali
• Strixxi manjetiċi tal-karti tal-kreditu

Valuri li jmissu ma' xulxin ivarjaw b'bit wieħed

Il-kodiċi Gray jiżgura li bit wieħed biss jinbidel bejn numri konsekuttivi. Kritiku għall-konverżjoni minn analogu għal diġitali.

• Enkowders li jduru: sensuri tal-pożizzjoni
• Konverżjoni minn analogu għal diġitali
• Mapep ta' Karnaugh: simplifikazzjoni tal-loġika
• Kodiċijiet għall-korrezzjoni tal-iżbalji

Il-programmaturi jaħdmu b'diversi bażijiet kuljum:

• Indirizzi tal-memorja: 0x7FFEE4B2A000 (eżadeċimali)
• Bnadar tal-bits: 0b10110101 (binarju)
• Kodiċijiet tal-kulur: #FF5733 (eżadeċimali RGB)
• Permessi tal-fajls: chmod 755 (ottali)
• Debugging: hexdump, spezzjoni tal-memorja

Il-protokolli tan-netwerk jużaw l-eżadeċimali u l-binarju:

• Indirizzi MAC: 00:1A:2B:3C:4D:5E (eżadeċimali)
• IPv4: 192.168.1.1 = notazzjoni binarja
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (eżadeċimali)
• Maskri tas-subnet: 255.255.255.0 = /24
• Spezzjoni tal-pakketti: Wireshark eżadeċimali

Disinn tal-ħardwer fil-livell binarju:

• Bwieb loġiċi: AND, OR, NOT binarju
• Reġistri tas-CPU: 64-bit = 16-il ċifra eżadeċimali
• Lingwa tal-assemblaġġ: opcodes f'eżadeċimali
• Programmar tal-FPGA: flussi binarji
• Debugging tal-ħardwer: analizzaturi loġiċi

It-teorija tan-numri tesplora l-proprjetajiet:

• Aritmetika modulari: bażijiet varji
• Kriptografija: RSA, kurvi ellittiċi
• Ġenerazzjoni tal-frattali: sett ta' Cantor ternarju
• Xejriet tan-numri primi
• Kombinatorika: xejriet tal-għadd

Espandi bl-użu ta' valuri pożizzjonali:

• Identifika l-bażi u ċ-ċifri
• Assenja l-pożizzjonijiet mil-lemin għax-xellug (0, 1, 2...)
• Ikkonverti ċ-ċifri għal valuri deċimali
• Immultiplika: ċifra × bażi^pożizzjoni
• Agħmel is-somma tat-termini kollha

Iddividi ripetutament bil-bażi fil-mira:

• Iddividi n-numru bil-bażi fil-mira
• Irrekordja l-bqija (iċ-ċifra l-aktar fuq il-lemin)
• Erġa' iddividi l-kwozjent bil-bażi
• Irrepeti sakemm il-kwozjent ikun 0
• Aqra l-bqija minn isfel għal fuq

Aggruppa l-bits binarji:

• Binarju → Eżadeċimali: aggruppa b'4 bits
• Binarju → Ottali: aggruppa bi 3 bits
• Eżadeċimali → Binarju: espandi kull ċifra għal 4 bits
• Ottali → Binarju: espandi għal 3 bits għal kull ċifra
• Aqbeż il-konverżjoni deċimali għal kollox!

Trikks għal konverżjonijiet komuni:

• Potenzi ta' 2: ftakar 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Eżadeċimali: F=15, FF=255, FFF=4095
• Ottali 777 = binarju 111111111
• Irduppjar/tnaqqis bin-nofs: ċaqliq binarju
• Uża l-mod ta' programmatur tal-kalkulatur

Kull darba li tiċċekkja l-ħin, qed tuża sistema b'bażi 60 Babiloniża ta' 5000 sena. Huma għażlu 60 għax għandha 12-il diviżur, li jagħmel il-frazzjonijiet aktar faċli.

Fl-1999, l-orbiter ta' Mars tan-NASA ta' $125 miljun ġie meqrud minħabba żbalji fil-konverżjoni tal-unitajiet - tim wieħed uża l-imperjali, ieħor il-metriku. Lezzjoni għalja fil-preċiżjoni.

In-numri Rumani m'għandhomx żero u m'għandhomx negattivi. Dan għamel il-matematika avvanzata kważi impossibbli sakemm in-numri Hindu-Għarab (0-9) irrevoluzzjonaw il-matematika.

Il-Kompjuter ta' Gwida tal-Apollo wera kollox f'ottali (bażi 8). L-astronawti tgħallmu bl-amment il-kodiċijiet ottali għall-programmi li niżżlu l-bnedmin fuq il-Qamar.

Il-kodiċijiet tal-kulur RGB jużaw l-eżadeċimali: #RRGGBB fejn kull wieħed huwa 00-FF (0-255). Dan jagħti 256³ = 16,777,216 kulur possibbli f'kulur veru ta' 24-bit.

Ir-riċerkaturi Sovjetiċi bnew kompjuters ternarji (bażi-3) fis-snin 50-70. Il-kompjuter Setun uża l-loġika -1, 0, +1 minflok il-binarju. L-infrastruttura binarja rebħet.

Il-binarju jimmappja perfettament għaċ-ċirkwiti elettroniċi: mixgħul/mitfi, vultaġġ għoli/baxx. Is-sistemi b'żewġ stati huma affidabbli, veloċi, u faċli biex jiġu manifatturati. Id-deċimali jeħtieġ 10 livelli ta' vultaġġ distinti, li jagħmel iċ-ċirkwiti kumplessi u suxxettibbli għall-iżbalji.

Ftakar is-16-il mappa minn eżadeċimali għal binarju (0=0000...F=1111). Ikkonverti kull ċifra eżadeċimali indipendentement: A5₁₆ = 1010|0101₂. Aggruppa l-binarju b'4 mil-lemin biex tirriversja: 110101₂ = 35₁₆. M'hemmx bżonn tad-deċimali!

Essenzjali għall-ipprogrammar (indirizzi tal-memorja, operazzjonijiet tal-bits), in-netwerking (indirizzi IP, indirizzi MAC), id-debugging (dumps tal-memorja), l-elettronika diġitali (disinn tal-loġika), u s-sigurtà (kriptografija, hashing).

L-eżadeċimali jallinja mal-konfini tal-byte (8 bits = 2 ċifri eżadeċimali), filwaqt li l-ottali le (8 bits = 2.67 ċifri ottali). Il-kompjuters moderni huma orjentati lejn il-byte, li jagħmel l-eżadeċimali aktar konvenjenti. Il-permessi tal-fajls Unix biss iżommu l-ottali rilevanti.

M'hemm l-ebda metodu dirett faċli. L-ottali jiġbor il-binarju bi 3, l-eżadeċimali b'4. Trid tikkonverti permezz tal-binarju: ottali→binarju (3 bits)→eżadeċimali (4 bits). Eżempju: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Jew uża d-deċimali bħala intermedjarju.

Tradizzjoni u estetika. Użati għall-formalità (Super Bowl, films), id-distinzjoni (abbozzi), l-assenza ta' żmien (l-ebda ambigwità tas-seklu), u l-eleganza tad-disinn. Mhumiex prattiċi għall-kalkolu iżda jippersistu kulturalment.

Kull bażi għandha regoli stretti. Il-bażi 8 ma jistax ikun fiha 8 jew 9. Jekk tikteb 189₈, hija invalida. Il-konvertituri jirrifjutawha. Il-lingwi tal-ipprogrammar jinfurzaw dan: '09' jikkawża żbalji f'kuntesti ottali.

Il-bażi 1 (unarju) tuża simbolu wieħed (marki tal-għadd). Mhix verament pożizzjonali: 5 = '11111' (ħames marki). Użata għall-għadd primittiv iżda mhix prattika. Ċajta: l-unarju huwa l-eħfef bażi - kompli għodd biss!