Grunden för vilket talsystem som helst

Basen bestämmer hur många unika siffror som används och hur platsvärdena ökar. Bas 10 använder siffrorna 0-9. Bas 2 (binärt) använder 0-1. Bas 16 (hexadecimalt) använder 0-9 plus A-F.

I bas 8 (oktalt): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Symboler som representerar värden i ett talsystem

Varje bas kräver unika symboler för värdena 0 till (bas-1). Binärt använder {0,1}. Decimalt använder {0-9}. Hexadecimalt utökas till {0-9, A-F} där A=10...F=15.

2F3₁₆ i hex = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Översätta tal mellan olika system

Omvandling innebär att expandera till decimalt med hjälp av positionella värden, och sedan konvertera till målbasen. Från vilken bas som helst till decimalt: summa siffra×bas^position.

1011₂ → decimalt: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Datorernas språk - endast 0:or och 1:or

Binärt är grunden för alla digitala system. Varje datoroperation reduceras till binärt. Varje siffra (bit) representerar på/av-tillstånd.

• Siffror: {0, 1} - minimal symboluppsättning
• En byte = 8 bitar, representerar 0-255 i decimalt
• Potenser av 2 är jämna tal: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Enkel addition: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Används i: CPU:er, minne, nätverk, digital logik

Kompakt binär representation med siffrorna 0-7

Oktalt grupperar binära siffror i uppsättningar om tre (2³=8). Varje oktal siffra = exakt 3 binära bitar.

• Siffror: {0-7} - 8 eller 9 existerar inte
• Varje oktal siffra = 3 binära bitar: 7₈ = 111₂
• Unix-behörigheter: 755 = rwxr-xr-x
• Historiskt: tidiga minidatorer
• Mindre vanligt idag: hex har ersatt oktalt

Det universella mänskliga talsystemet

Decimalt är standard för mänsklig kommunikation över hela världen. Dess bas-10-struktur utvecklades från att räkna på fingrarna.

• Siffror: {0-9} - tio symboler
• Naturligt för människor: 10 fingrar
• Vetenskaplig notation använder decimalt: 6.022×10²³
• Valuta, mått, kalendrar
• Datorer konverterar internt till binärt

Programmerarens stenografi för binärt

Hexadecimalt är den moderna standarden för att representera binärt kompakt. En hexadecimal siffra = exakt 4 bitar (2⁴=16).

• Siffror: {0-9, A-F} där A=10...F=15
• Varje hexadecimal siffra = 4 bitar: F₁₆ = 1111₂
• En byte = 2 hexadecimala siffror: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB-färger: #FF5733 = röd(255) grön(87) blå(51)
• Minnesadresser: 0x7FFF8A2C

Matematiskt sett den mest effektiva basen

Ternärt använder siffrorna {0,1,2}. Mest effektiva radix för att representera tal (närmast e=2.718).

• Matematisk effektivitet optimal
• Balanserat ternärt: {-,0,+} symmetriskt
• Ternär logik i fuzzy-system
• Föreslaget för kvantdatorer (qutrits)

Det praktiska alternativet till decimalt

Bas 12 har fler delare (2,3,4,6) än 10 (2,5), vilket förenklar bråk. Används i tid, dussin, tum/fot.

• Tid: 12-timmarsklocka, 60 minuter (5×12)
• Imperiesystemet: 12 tum = 1 fot
• Bråk enklare: 1/3 = 0.4₁₂
• Duodecimal Society förespråkar införande

Att räkna i tjugotal

Bas 20-system utvecklades från att räkna fingrar + tår. Maya, Aztek, Keltiska och Baskiska exempel.

• Mayakalendersystem
• Franska: quatre-vingts (80)
• Engelska: 'score' = 20
• Inuitisk traditionell räkning

Maximal alfanumerisk bas

Använder alla decimalsiffror (0-9) plus alla bokstäver (A-Z). Kompakt och läsbar för människor.

• URL-förkortare: kompakta länkar
• Licensnycklar: programvaruaktivering
• Databas-ID:n: skrivbara identifierare
• Spårningskoder: paket, beställningar

Antikens Rom (500 f.Kr. - 1500 e.Kr.)

Dominerade Europa i 2000 år. Varje symbol har ett fast värde: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Används fortfarande: klockor, Super Bowl, dispositioner
• Ingen nolla: beräkningssvårigheter
• Subtraktiva regler: IV=4, IX=9, XL=40
• Begränsat: standarden går till 3999
• Ersatt av hindu-arabiska siffror

Antikens Babylon (3000 f.Kr.)

Äldsta överlevande systemet. 60 har 12 delare, vilket gör bråk enklare. Används för tid och vinklar.

• Tid: 60 sekunder/minut, 60 minuter/timme
• Vinklar: 360° cirkel, 60 bågminuter
• Delbarhet: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 rena
• Babyloniska astronomiska beräkningar

Varje decimalsiffra kodas som 4 bitar

BCD representerar varje decimalsiffra (0-9) som 4-bitars binärt. 392 blir 0011 1001 0010. Undviker flyttalsfel.

• Finansiella system: exakt decimal
• Digitala klockor och miniräknare
• IBM-stordatorer: decimalenhet
• Kreditkorts magnetremsor

Närliggande värden skiljer sig med en bit

Gray-kod säkerställer att endast en bit ändras mellan på varandra följande tal. Avgörande för analog-till-digital-omvandling.

• Roterande pulsgivare: positionssensorer
• Analog-till-digital-omvandling
• Karnaugh-diagram: logikförenkling
• Felkorrigerande koder

Programmerare arbetar med flera baser dagligen:

• Minnesadresser: 0x7FFEE4B2A000 (hex)
• Bitflaggor: 0b10110101 (binärt)
• Färgkoder: #FF5733 (hex RGB)
• Filrättigheter: chmod 755 (oktalt)
• Felsökning: hexdump, minnesinspektion

Nätverksprotokoll använder hex och binärt:

• MAC-adresser: 00:1A:2B:3C:4D:5E (hex)
• IPv4: 192.168.1.1 = binär notation
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (hex)
• Subnätmasker: 255.255.255.0 = /24
• Paketinspektion: Wireshark hex

Hårdvarudesign på binär nivå:

• Logiska grindar: AND, OR, NOT binärt
• CPU-register: 64-bit = 16 hexsiffror
• Assemblerspråk: opkoder i hex
• FPGA-programmering: binära strömmar
• Hårdvarufelsökning: logikanalysatorer

Talteori utforskar egenskaper:

• Modulär aritmetik: olika baser
• Kryptografi: RSA, elliptiska kurvor
• Fraktalgenerering: Cantor-mängd ternärt
• Primtalsmönster
• Kombinatorik: räknemönster

Expandera med hjälp av positionella värden:

• Identifiera bas och siffror
• Tilldela positioner från höger till vänster (0, 1, 2...)
• Omvandla siffror till decimala värden
• Multiplicera: siffra × bas^position
• Summera alla termer

Dela upprepade gånger med målbasen:

• Dela talet med målbasen
• Registrera resten (den högraste siffran)
• Dela kvoten med basen igen
• Upprepa tills kvoten är 0
• Läs resterna från botten till toppen

Gruppera binära bitar:

• Binärt → Hex: gruppera med 4 bitar
• Binärt → Oktalt: gruppera med 3 bitar
• Hex → Binärt: expandera varje siffra till 4 bitar
• Oktalt → Binärt: expandera till 3 bitar per siffra
• Hoppa över decimalomvandling helt och hållet!

Knep för vanliga omvandlingar:

• Potenser av 2: memorera 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Hex: F=15, FF=255, FFF=4095
• Oktalt 777 = binärt 111111111
• Dubblering/halvering: binär skiftning
• Använd miniräknarens programmeringsläge

Varje gång du kollar klockan använder du ett 5000 år gammalt babyloniskt bas-60-system. De valde 60 eftersom det har 12 delare, vilket gör bråk enklare.

1999 förstördes NASA:s 125 miljoner dollar dyra Mars-orbiter på grund av enhetsomvandlingsfel - ett team använde det brittiska systemet, ett annat det metriska. En kostsam lektion i precision.

Romerska siffror har ingen nolla och inga negativa tal. Detta gjorde avancerad matematik nästan omöjlig tills hindu-arabiska siffror (0-9) revolutionerade matematiken.

Apollo Guidance Computer visade allt i oktalt (bas 8). Astronauterna memorerade oktala koder för program som landade människor på månen.

RGB-färgkoder använder hex: #RRGGBB där varje är 00-FF (0-255). Detta ger 256³ = 16,777,216 möjliga färger i 24-bitars äkta färg.

Sovjetiska forskare byggde ternära (bas-3) datorer på 1950-70-talet. Setun-datorn använde -1, 0, +1 logik istället för binär. Binär infrastruktur vann.

Binärt kartlägger perfekt till elektroniska kretsar: på/av, hög/låg spänning. Två-tillståndssystem är pålitliga, snabba och enkla att tillverka. Decimalt skulle kräva 10 distinkta spänningsnivåer, vilket gör kretsar komplexa och felbenägna.

Memorera de 16 hex-till-binära mappningarna (0=0000...F=1111). Konvertera varje hexsiffra oberoende: A5₁₆ = 1010|0101₂. Gruppera binärt med 4 från höger för att vända: 110101₂ = 35₁₆. Ingen decimal behövs!

Väsentligt för programmering (minnesadresser, bitoperationer), nätverk (IP-adresser, MAC-adresser), felsökning (minnesdumpar), digital elektronik (logikdesign) och säkerhet (kryptografi, hashning).

Hex anpassar sig till byte-gränser (8 bitar = 2 hexsiffror), medan oktalt inte gör det (8 bitar = 2.67 oktala siffror). Moderna datorer är byte-orienterade, vilket gör hex mer bekvämt. Endast Unix-filrättigheter håller oktalt relevant.

Ingen enkel direkt metod. Oktalt grupperar binärt med 3, hex med 4. Måste konvertera via binärt: oktalt→binärt (3 bitar)→hex (4 bitar). Exempel: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Eller använd decimalt som mellanhand.

Tradition och estetik. Används för formalitet (Super Bowl, filmer), distinktion (dispositioner), tidlöshet (ingen århundradestvetydighet) och designelegans. Inte praktiskt för beräkning men kulturellt beständigt.

Varje bas har strikta regler. Bas 8 kan inte innehålla 8 eller 9. Om du skriver 189₈ är det ogiltigt. Omvandlare avvisar det. Programmeringsspråk upprätthåller detta: '09' orsakar fel i oktala sammanhang.

Bas 1 (unärt) använder en symbol (streck). Inte riktigt positionellt: 5 = '11111' (fem streck). Används för primitiv räkning men opraktiskt. Skämt: unärt är den enklaste basen - fortsätt bara räkna!