Аснова любой сістэмы злічэння

Аснова вызначае, колькі ўнікальных лічбаў выкарыстоўваецца і як павялічваюцца значэнні разрадаў. Аснова 10 выкарыстоўвае лічбы 0-9. Аснова 2 (двайковая) выкарыстоўвае 0-1. Аснова 16 (шаснаццатковая) выкарыстоўвае 0-9 плюс A-F.

У аснове 8 (васьмярковая): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Сімвалы, якія прадстаўляюць значэнні ў сістэме злічэння

Кожная аснова патрабуе ўнікальных сімвалаў для значэнняў ад 0 да (аснова-1). Двайковая выкарыстоўвае {0,1}. Дзесятковая выкарыстоўвае {0-9}. Шаснаццатковая пашыраецца да {0-9, A-F}, дзе A=10...F=15.

2F3₁₆ у шаснаццатковай = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Пераклад лікаў паміж рознымі сістэмамі

Перавод уключае раскладанне ў дзесятковую сістэму з выкарыстаннем пазіцыйных значэнняў, а затым перавод у мэтавую аснову. З любой асновы ў дзесятковую: сума лічба×аснова^пазіцыя.

1011₂ → дзесятковая: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Мова камп'ютараў - толькі 0 і 1

Двайковая сістэма - гэта аснова ўсіх лічбавых сістэм. Кожная аперацыя камп'ютара зводзіцца да двайковай. Кожная лічба (біт) прадстаўляе станы ўключана/выключана.

• Лічбы: {0, 1} - мінімальны набор сімвалаў
• Адзін байт = 8 біт, прадстаўляе 0-255 у дзесятковай сістэме
• Ступені 2 - гэта круглыя лікі: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Простае складанне: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Выкарыстоўваецца ў: працэсарах, памяці, сетках, лічбавай логіцы

Кампактнае двайковае прадстаўленне з выкарыстаннем лічбаў 0-7

Васьмярковая сістэма групуе двайковыя лічбы ў наборы па тры (2³=8). Кожная васьмярковая лічба = роўна 3 двайковыя біты.

• Лічбы: {0-7} - 8 ці 9 не існуе
• Кожная васьмярковая лічба = 3 двайковыя біты: 7₈ = 111₂
• Правы Unix: 755 = rwxr-xr-x
• Гістарычна: раннія міні-камп'ютары
• Сёння менш распаўсюджаная: шаснаццатковая замяніла васьмярковую

Універсальная чалавечая сістэма злічэння

Дзесятковая сістэма - гэта стандарт для чалавечай камунікацыі ва ўсім свеце. Яе структура з асновай 10 развілася з лічэння на пальцах.

• Лічбы: {0-9} - дзесяць сімвалаў
• Натуральная для людзей: 10 пальцаў
• Навуковая натацыя выкарыстоўвае дзесятковую сістэму: 6.022×10²³
• Валюта, вымярэнні, календары
• Камп'ютары ўнутрана пераўтвараюць у двайковую

Скарачэнне праграміста для двайковай сістэмы

Шаснаццатковая сістэма - гэта сучасны стандарт для кампактнага прадстаўлення двайковай. Адна шаснаццатковая лічба = роўна 4 біты (2⁴=16).

• Лічбы: {0-9, A-F}, дзе A=10...F=15
• Кожная шаснаццатковая лічба = 4 біты: F₁₆ = 1111₂
• Адзін байт = 2 шаснаццатковыя лічбы: FF₁₆ = 255₁₀
• Колеры RGB: #FF5733 = чырвоны(255) зялёны(87) сіні(51)
• Адрасы памяці: 0x7FFF8A2C

Матэматычна найбольш эфектыўная аснова

Траічная сістэма выкарыстоўвае лічбы {0,1,2}. Найбольш эфектыўны радыкс для прадстаўлення лікаў (найбліжэйшы да e=2.718).

• Аптымальная матэматычная эфектыўнасць
• Збалансаваная траічная: {-,0,+} сіметрычная
• Траічная логіка ў невыразных сістэмах
• Прапанаваная для квантавых камп'ютараў (кутрыты)

Практычная альтэрнатыва дзесятковай

Аснова 12 мае больш дзельнікаў (2,3,4,6), чым 10 (2,5), што спрашчае дробы. Выкарыстоўваецца ў часе, тузінах, цалях/футах.

• Час: 12-гадзінны гадзіннік, 60 хвілін (5×12)
• Імперская: 12 цаляў = 1 фут
• Больш простыя дробы: 1/3 = 0.4₁₂
• Дванаццатковае таварыства выступае за прыняцце

Лічэнне дваццаткамі

Сістэмы з асновай 20 развіліся з лічэння на пальцах рук і ног. Прыклады ў майя, ацтэкаў, кельтаў і баскаў.

• Каляндарная сістэма майя
• Французская: quatre-vingts (80)
• Англійская: 'score' = 20
• Традыцыйнае лічэнне інуітаў

Максімальная літарна-лічбавая аснова

Выкарыстоўвае ўсе дзесятковыя лічбы (0-9) плюс усе літары (A-Z). Кампактная і чытэльная для чалавека.

• Скарачальнікі URL: кампактныя спасылкі
• Ліцэнзійныя ключы: актывацыя праграмнага забеспячэння
• ID баз даных: ідэнтыфікатары, якія можна ўводзіць
• Коды адсочвання: пасылкі, заказы

Старажытны Рым (500 да н.э. - 1500 н.э.)

Дамінавалі ў Еўропе 2000 гадоў. Кожны сімвал мае фіксаванае значэнне: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Да гэтага часу выкарыстоўваюцца: гадзіннікі, Супербоўл, контуры
• Няма нуля: цяжкасці ў вылічэннях
• Правілы аднімання: IV=4, IX=9, XL=40
• Абмежаваныя: стандарт даходзіць да 3999
• Замененыя інда-арабскімі лічбамі

Старажытны Вавілон (3000 да н.э.)

Найстарэйшая сістэма, што захавалася. 60 мае 12 дзельнікаў, што палягчае працу з дробамі. Выкарыстоўвалася для часу і вуглоў.

• Час: 60 секунд/хвіліна, 60 хвілін/гадзіна
• Вуглы: 360° круг, 60 вуглавых хвілін
• Дзеліцца: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 чыста
• Вавілонскія астранамічныя разлікі

Кожная дзесятковая лічба кадзіруецца як 4 біты

BCD прадстаўляе кожную дзесятковую лічбу (0-9) як 4-бітны двайковы лік. 392 становіцца 0011 1001 0010. Пазбягае памылак з плаваючай коскай.

• Фінансавыя сістэмы: дакладная дзесятковая
• Лічбавыя гадзіннікі і калькулятары
• Мэйнфрэймы IBM: дзесятковы блок
• Магнітныя палосы крэдытных карт

Суседнія значэнні адрозніваюцца на адзін біт

Код Грэя гарантуе, што паміж паслядоўнымі лікамі змяняецца толькі адзін біт. Крытычна важны для аналагава-лічбавага пераўтварэння.

• Паваротныя энкодэры: датчыкі становішча
• Аналагава-лічбавае пераўтварэнне
• Карты Карно: спрашчэнне логікі
• Коды выпраўлення памылак

Праграмісты штодня працуюць з некалькімі асновамі:

• Адрасы памяці: 0x7FFEE4B2A000 (шаснаццатковая)
• Бітавыя сцягі: 0b10110101 (двайковая)
• Коды колераў: #FF5733 (шаснаццатковая RGB)
• Правы доступу да файлаў: chmod 755 (васьмярковая)
• Адладка: hexdump, інспекцыя памяці

Сеткавыя пратаколы выкарыстоўваюць шаснаццатковую і двайковую сістэмы:

• MAC-адрасы: 00:1A:2B:3C:4D:5E (шаснаццатковая)
• IPv4: 192.168.1.1 = двайковая натацыя
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (шаснаццатковая)
• Маскі падсеткі: 255.255.255.0 = /24
• Інспекцыя пакетаў: Wireshark шаснаццатковая

Праектаванне апаратнага забеспячэння на двайковым узроўні:

• Лагічныя элементы: AND, OR, NOT двайковыя
• Рэгістры ЦП: 64-біт = 16 шаснаццатковых лічбаў
• Мова асэмблера: опкоды ў шаснаццатковай сістэме
• Праграмаванне FPGA: двайковыя патокі
• Адладка апаратнага забеспячэння: лагічныя аналізатары

Тэорыя лікаў даследуе ўласцівасці:

• Мадульная арыфметыка: розныя асновы
• Крыптаграфія: RSA, эліптычныя крывыя
• Генерацыя фракталаў: траічны набор Кантара
• Шаблоны простых лікаў
• Камбінаторыка: шаблоны лічэння

Раскладзіце з выкарыстаннем пазіцыйных значэнняў:

• Вызначце аснову і лічбы
• Прызначце пазіцыі справа налева (0, 1, 2...)
• Пераўтварыце лічбы ў дзесятковыя значэнні
• Памножце: лічба × аснова^пазіцыя
• Сумуйце ўсе складнікі

Паўторна дзяліце на мэтавую аснову:

• Падзяліце лік на мэтавую аснову
• Запішыце астачу (крайняя правая лічба)
• Зноў падзяліце дзель на аснову
• Паўтарайце, пакуль дзель не стане 0
• Чытайце астачы знізу ўверх

Згрупуйце двайковыя біты:

• Двайковая → Шаснаццатковая: згрупуйце па 4 біты
• Двайковая → Васьмярковая: згрупуйце па 3 біты
• Шаснаццатковая → Двайковая: раскладзіце кожную лічбу на 4 біты
• Васьмярковая → Двайковая: раскладзіце на 3 біты на лічбу
• Цалкам прапусціце дзесятковы перавод!

Хітрасці для распаўсюджаных пераводаў:

• Ступені 2: запомніце 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Шаснаццатковая: F=15, FF=255, FFF=4095
• Васьмярковая 777 = двайковая 111111111
• Падвойванне/палавіненне: двайковы зрух
• Выкарыстоўвайце рэжым праграміста калькулятара

Кожны раз, калі вы правяраеце гадзіннік, вы выкарыстоўваеце 5000-гадовую вавілонскую сістэму з асновай 60. Яны выбралі 60, таму што ў яго 12 дзельнікаў, што палягчае працу з дробамі.

У 1999 годзе арбітальны апарат NASA на Марсе коштам 125 мільёнаў долараў быў знішчаны з-за памылак у пераводзе адзінак - адна каманда выкарыстоўвала імперскую, іншая - метрычную сістэму. Дарагі ўрок па дакладнасці.

У рымскіх лічбах няма нуля і няма адмоўных лікаў. Гэта рабіла вышэйшую матэматыку амаль немагчымай, пакуль інда-арабскія лічбы (0-9) не рэвалюцыянізавалі матэматыку.

Кіруючы камп'ютар Апалона паказваў усё ў васьмярковай сістэме (аснова 8). Астранаўты запомнілі васьмярковыя коды для праграм, якія пасадзілі людзей на Месяц.

Коды колераў RGB выкарыстоўваюць шаснаццатковую сістэму: #RRGGBB, дзе кожны кампанент - ад 00 да FF (0-255). Гэта дае 256³ = 16,777,216 магчымых колераў у 24-бітным сапраўдным колеры.

Савецкія даследчыкі стваралі траічныя (аснова 3) камп'ютары ў 1950-70-х гадах. Камп'ютар «Сетунь» выкарыстоўваў логіку -1, 0, +1 замест двайковай. Двайковая інфраструктура перамагла.

Двайковая сістэма ідэальна адпавядае электронным схемам: уключана/выключана, высокае/нізкае напружанне. Сістэмы з двума станамі надзейныя, хуткія і лёгкія ў вытворчасці. Дзесятковая сістэма патрабавала б 10 розных узроўняў напружання, што зрабіла б схемы складанымі і схільнымі да памылак.

Запомніце 16 адпаведнасцей шаснаццатковых лічбаў двайковым (0=0000...F=1111). Пераўтварайце кожную шаснаццатковую лічбу незалежна: A5₁₆ = 1010|0101₂. Каб зрабіць наадварот, згрупуйце двайковыя лічбы па 4 справа: 110101₂ = 35₁₆. Дзесятковая сістэма не патрэбная!

Неабходна для праграмавання (адрасы памяці, бітавыя аперацыі), сетак (IP-адрасы, MAC-адрасы), адладкі (дампы памяці), лічбавай электронікі (праектаванне логікі) і бяспекі (крыптаграфія, хэшаванне).

Шаснаццатковая сістэма адпавядае межам байта (8 біт = 2 шаснаццатковыя лічбы), у той час як васьмярковая - не (8 біт = 2.67 васьмярковых лічбаў). Сучасныя камп'ютары арыентаваныя на байты, што робіць шаснаццатковую сістэму больш зручнай. Толькі правы доступу да файлаў у Unix захоўваюць актуальнасць васьмярковай сістэмы.

Няма простага прамога метаду. Васьмярковая групуе двайковыя даныя па 3 біты, шаснаццатковая - па 4. Трэба пераўтвараць праз двайковую: васьмярковая→двайковая (3 біты)→шаснаццатковая (4 біты). Прыклад: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Або выкарыстоўвайце дзесятковую як прамежкавую.

Традыцыя і эстэтыка. Выкарыстоўваюцца для фармальнасці (Супербоўл, фільмы), адрознення (контуры), пазачасавасці (няма неадназначнасці стагоддзя) і элегантнасці дызайну. Непрактычныя для вылічэнняў, але культурна ўстойлівыя.

Кожная аснова мае строгія правілы. Аснова 8 не можа ўтрымліваць 8 ці 9. Калі вы напішаце 189₈, гэта несапраўднае значэнне. Канвертары адхіляць яго. Мовы праграмавання гэта кантралююць: '09' выкліча памылкі ў васьмярковых кантэкстах.

Аснова 1 (унарная) выкарыстоўвае адзін сімвал (палачкі для падліку). Яна не з'яўляецца па-сапраўднаму пазіцыйнай: 5 = '11111' (пяць палачак). Выкарыстоўваецца для прымітыўнага лічэння, але непрактычная. Жарт: унарная - самая простая аснова, проста працягвайце лічыць!