모든 숫자 체계의 기초

밑은 사용되는 고유한 숫자의 수와 자릿값이 어떻게 증가하는지를 결정합니다. 10진법은 0-9를 사용합니다. 2진법(이진법)은 0-1을 사용합니다. 16진법(십육진법)은 0-9와 A-F를 사용합니다.

8진법에서: 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

숫자 체계에서 값을 나타내는 기호

각 진법은 0부터 (밑-1)까지의 값을 나타내는 고유한 기호가 필요합니다. 이진법은 {0,1}을 사용합니다. 십진법은 {0-9}를 사용합니다. 십육진법은 {0-9, A-F}로 확장되며, 여기서 A=10...F=15입니다.

십육진법에서 2F3₁₆ = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

다른 체계 간에 숫자 변환하기

변환은 위치 값을 사용하여 십진수로 확장한 다음, 목표 진법으로 변환하는 과정을 포함합니다. 모든 진법에서 십진법으로: 합계 자릿수×밑^위치.

1011₂ → 십진법: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

컴퓨터의 언어 - 0과 1만 사용

이진법은 모든 디지털 시스템의 기초입니다. 모든 컴퓨터 연산은 이진법으로 축소됩니다. 각 자릿수(비트)는 켜짐/꺼짐 상태를 나타냅니다.

• 숫자: {0, 1} - 최소 기호 집합
• 1바이트 = 8비트, 십진법에서 0-255를 나타냄
• 2의 거듭제곱은 딱 떨어지는 수입니다: 1024₁₀ = 10000000000₂
• 간단한 덧셈: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• 사용처: CPU, 메모리, 네트워크, 디지털 논리

0-7 숫자를 사용한 간결한 이진 표현

팔진법은 이진 숫자를 세 개씩 묶습니다(2³=8). 각 팔진수 자릿수 = 정확히 3개의 이진 비트.

• 숫자: {0-7} - 8이나 9는 존재하지 않음
• 각 팔진수 자릿수 = 3개의 이진 비트: 7₈ = 111₂
• 유닉스 권한: 755 = rwxr-xr-x
• 역사: 초기 미니컴퓨터
• 오늘날 덜 일반적임: 십육진법이 팔진법을 대체함

보편적인 인간의 숫자 체계

십진법은 전 세계적으로 인간의 의사소통을 위한 표준입니다. 그 10진법 구조는 손가락으로 세는 것에서 발전했습니다.

• 숫자: {0-9} - 열 개의 기호
• 인간에게 자연스러움: 10개의 손가락
• 과학적 표기법은 십진법을 사용합니다: 6.022×10²³
• 통화, 측정, 달력
• 컴퓨터는 내부적으로 이진법으로 변환합니다

프로그래머의 이진법 약어

십육진법은 이진수를 간결하게 표현하는 현대적 표준입니다. 하나의 십육진수 자릿수 = 정확히 4비트(2⁴=16).

• 숫자: {0-9, A-F} 여기서 A=10...F=15
• 각 십육진수 자릿수 = 4비트: F₁₆ = 1111₂
• 1바이트 = 2개의 십육진수 자릿수: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB 색상: #FF5733 = 빨강(255) 초록(87) 파랑(51)
• 메모리 주소: 0x7FFF8A2C

수학적으로 가장 효율적인 진법

삼진법은 숫자 {0,1,2}를 사용합니다. 숫자를 표현하는 데 가장 효율적인 기수(e=2.718에 가장 가까움).

• 최적의 수학적 효율성
• 균형 삼진법: {-,0,+} 대칭
• 퍼지 시스템의 삼진 논리
• 양자 컴퓨팅(큐트리트)에 제안됨

십진법의 실용적인 대안

12진법은 10(2,5)보다 더 많은 약수(2,3,4,6)를 가지므로 분수를 단순화합니다. 시간, 다스, 인치/피트에 사용됩니다.

• 시간: 12시간제 시계, 60분 (5×12)
• 야드파운드법: 12인치 = 1피트
• 더 쉬운 분수: 1/3 = 0.4₁₂
• 십이진법 학회에서 채택을 주장

20 단위로 세기

20진법 체계는 손가락과 발가락으로 세는 것에서 발전했습니다. 마야, 아즈텍, 켈트, 바스크의 예가 있습니다.

• 마야 달력 체계
• 프랑스어: quatre-vingts (80)
• 영어: 'score' = 20
• 이누이트 전통 셈법

최대 영숫자 진법

모든 십진수(0-9)와 모든 알파벳(A-Z)을 사용합니다. 간결하고 사람이 읽을 수 있습니다.

• URL 단축기: 간결한 링크
• 라이선스 키: 소프트웨어 활성화
• 데이터베이스 ID: 입력 가능한 식별자
• 추적 코드: 소포, 주문

고대 로마 (기원전 500년 - 서기 1500년)

2000년 동안 유럽을 지배했습니다. 각 기호는 고정된 값을 가집니다: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• 여전히 사용됨: 시계, 슈퍼볼, 개요
• 0 없음: 계산의 어려움
• 감산 규칙: IV=4, IX=9, XL=40
• 제한적: 표준은 3999까지
• 힌두-아라비아 숫자로 대체됨

고대 바빌로니아 (기원전 3000년)

현존하는 가장 오래된 체계. 60은 12개의 약수를 가져 분수를 더 쉽게 만듭니다. 시간과 각도에 사용되었습니다.

• 시간: 60초/분, 60분/시간
• 각도: 360° 원, 60분
• 나눗셈 용이: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 깔끔하게 떨어짐
• 바빌로니아 천문 계산

각 십진수 자릿수를 4비트로 인코딩

BCD는 각 십진수 자릿수(0-9)를 4비트 이진수로 나타냅니다. 392는 0011 1001 0010이 됩니다. 부동 소수점 오류를 방지합니다.

• 금융 시스템: 정확한 십진수
• 디지털 시계 및 계산기
• IBM 메인프레임: 십진 단위
• 신용카드 자기 띠

인접한 값이 한 비트만 다름

그레이 코드는 연속된 숫자 사이에서 한 비트만 변경되도록 보장합니다. 아날로그-디지털 변환에 중요합니다.

• 회전 인코더: 위치 센서
• 아날로그-디지털 변환
• 카르노 맵: 논리 단순화
• 오류 수정 코드

프로그래머들은 매일 여러 진법을 사용합니다:

• 메모리 주소: 0x7FFEE4B2A000 (십육진법)
• 비트 플래그: 0b10110101 (이진법)
• 색상 코드: #FF5733 (십육진법 RGB)
• 파일 권한: chmod 755 (팔진법)
• 디버깅: 헥스 덤프, 메모리 검사

네트워크 프로토콜은 십육진법과 이진법을 사용합니다:

• MAC 주소: 00:1A:2B:3C:4D:5E (십육진법)
• IPv4: 192.168.1.1 = 이진 표기법
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (십육진법)
• 서브넷 마스크: 255.255.255.0 = /24
• 패킷 검사: 와이어샤크 십육진법

이진 수준의 하드웨어 설계:

• 논리 게이트: AND, OR, NOT 이진법
• CPU 레지스터: 64비트 = 16개의 십육진수 자릿수
• 어셈블리어: 십육진법의 연산 부호
• FPGA 프로그래밍: 이진 스트림
• 하드웨어 디버깅: 논리 분석기

정수론은 속성을 탐구합니다:

• 모듈러 산술: 다양한 진법
• 암호학: RSA, 타원 곡선
• 프랙탈 생성: 칸토어 집합 삼진법
• 소수 패턴
• 조합론: 계산 패턴

위치 값을 사용하여 확장:

• 진법과 숫자를 확인합니다
• 오른쪽에서 왼쪽으로 위치를 할당합니다 (0, 1, 2...)
• 숫자를 십진수 값으로 변환합니다
• 곱하기: 자릿수 × 밑^위치
• 모든 항을 더합니다

목표 진법으로 반복적으로 나눕니다:

• 숫자를 목표 진법으로 나눕니다
• 나머지를 기록합니다 (가장 오른쪽 자릿수)
• 몫을 다시 진법으로 나눕니다
• 몫이 0이 될 때까지 반복합니다
• 나머지를 아래에서 위로 읽습니다

이진 비트를 그룹화합니다:

• 이진법 → 십육진법: 4비트씩 그룹화
• 이진법 → 팔진법: 3비트씩 그룹화
• 십육진법 → 이진법: 각 자릿수를 4비트로 확장
• 팔진법 → 이진법: 각 자릿수를 3비트로 확장
• 십진수 변환을 완전히 건너뜁니다!

일반적인 변환을 위한 요령:

• 2의 거듭제곱: 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536 암기
• 십육진법: F=15, FF=255, FFF=4095
• 팔진법 777 = 이진법 111111111
• 두 배/절반: 이진 이동
• 계산기의 프로그래머 모드 사용

시계를 볼 때마다 5000년 된 바빌로니아의 60진법 체계를 사용하고 있는 것입니다. 그들은 60이 12개의 약수를 가지고 있어 분수를 더 쉽게 만들 수 있기 때문에 60을 선택했습니다.

1999년, NASA의 1억 2500만 달러짜리 화성 탐사선이 단위 변환 오류로 파괴되었습니다. 한 팀은 야드파운드법을, 다른 팀은 미터법을 사용했습니다. 정밀도에 대한 값비싼 교훈이었습니다.

로마 숫자에는 0과 음수가 없습니다. 이로 인해 힌두-아라비아 숫자(0-9)가 수학을 혁신하기 전까지 고급 수학이 거의 불가능했습니다.

아폴로 유도 컴퓨터는 모든 것을 팔진법(8진법)으로 표시했습니다. 우주비행사들은 인류를 달에 착륙시킨 프로그램의 팔진 코드를 암기했습니다.

RGB 색상 코드는 십육진법을 사용합니다: #RRGGBB, 여기서 각 값은 00-FF (0-255)입니다. 이는 24비트 트루 컬러에서 256³ = 16,777,216가지의 가능한 색상을 제공합니다.

소련 연구원들은 1950-70년대에 삼진법(3진법) 컴퓨터를 만들었습니다. 세툰 컴퓨터는 이진법 대신 -1, 0, +1 논리를 사용했습니다. 이진 인프라가 승리했습니다.

이진법은 전자 회로에 완벽하게 매핑됩니다: 켜짐/꺼짐, 고전압/저전압. 두 가지 상태 시스템은 신뢰할 수 있고, 빠르며, 제조하기 쉽습니다. 십진법은 10개의 서로 다른 전압 수준이 필요하여 회로를 복잡하고 오류에 취약하게 만듭니다.

16개의 십육진법-이진법 매핑(0=0000...F=1111)을 암기하세요. 각 십육진수 자릿수를 독립적으로 변환합니다: A5₁₆ = 1010|0101₂. 오른쪽에서 4개씩 묶어 역으로 변환합니다: 110101₂ = 35₁₆. 십진수는 필요 없습니다!

프로그래밍(메모리 주소, 비트 연산), 네트워킹(IP 주소, MAC 주소), 디버깅(메모리 덤프), 디지털 전자공학(논리 설계) 및 보안(암호학, 해싱)에 필수적입니다.

십육진법은 바이트 경계와 일치하지만(8비트 = 2개의 십육진수 자릿수), 팔진법은 그렇지 않습니다(8비트 = 2.67개의 팔진수 자릿수). 현대 컴퓨터는 바이트 지향적이므로 십육진법이 더 편리합니다. 유닉스 파일 권한만이 팔진법의 관련성을 유지합니다.

쉬운 직접적인 방법은 없습니다. 팔진법은 이진수를 3개씩 묶고, 십육진법은 4개씩 묶습니다. 이진법을 통해 변환해야 합니다: 팔진법→이진법 (3비트)→십육진법 (4비트). 예: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. 또는 십진법을 중간 단계로 사용하세요.

전통과 미학. 형식(슈퍼볼, 영화), 구별(개요), 영속성(세기의 모호함 없음), 디자인의 우아함에 사용됩니다. 계산에는 실용적이지 않지만 문화적으로 지속됩니다.

각 진법에는 엄격한 규칙이 있습니다. 8진법은 8이나 9를 포함할 수 없습니다. 189₈라고 쓰면 유효하지 않습니다. 변환기는 이를 거부합니다. 프로그래밍 언어는 이를 강제합니다: '09'는 팔진법 컨텍스트에서 오류를 유발합니다.

1진법(단항)은 하나의 기호(계수 표시)를 사용합니다. 진정한 의미에서 위치적이 아닙니다: 5 = '11111' (표시 다섯 개). 원시적인 계산에 사용되지만 실용적이지 않습니다. 농담: 단항이 가장 쉬운 진법입니다 - 그냥 계속 세면 됩니다!