ఏదైనా సంఖ్యా వ్యవస్థ యొక్క పునాది

ఎన్ని ప్రత్యేక అంకెలు ఉపయోగించబడతాయో మరియు స్థాన విలువలు ఎలా పెరుగుతాయో ఆధారం నిర్ణయిస్తుంది. బేస్ 10 0-9 అంకెలను ఉపయోగిస్తుంది. బేస్ 2 (బైనరీ) 0-1ని ఉపయోగిస్తుంది. బేస్ 16 (హెక్సాడెసిమల్) 0-9 మరియు A-Fని ఉపయోగిస్తుంది.

బేస్ 8 (ఆక్టల్)లో: 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

సంఖ్యా వ్యవస్థలో విలువలను సూచించే చిహ్నాలు

ప్రతి బేస్‌కు 0 నుండి (బేస్-1) వరకు విలువల కోసం ప్రత్యేక చిహ్నాలు అవసరం. బైనరీ {0,1} ఉపయోగిస్తుంది. డెసిమల్ {0-9} ఉపయోగిస్తుంది. హెక్సాడెసిమల్ {0-9, A-F} వరకు విస్తరించింది, ఇక్కడ A=10...F=15.

హెక్స్‌లో 2F3₁₆ = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

విభిన్న వ్యవస్థల మధ్య సంఖ్యలను అనువదించడం

మార్పిడిలో స్థాన విలువల ద్వారా దశాంశానికి విస్తరించడం, ఆపై లక్ష్య బేస్‌కు మార్చడం ఉంటుంది. ఏదైనా బేస్ నుండి డెసిమల్‌కు: అంకె×బేస్^స్థానం యొక్క మొత్తం.

1011₂ → దశాంశం: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

కంప్యూటర్ల భాష - కేవలం 0లు మరియు 1లు

బైనరీ అన్ని డిజిటల్ వ్యవస్థలకు పునాది. ప్రతి కంప్యూటర్ ఆపరేషన్ బైనరీకి తగ్గుతుంది. ప్రతి అంకె (బిట్) ఆన్/ఆఫ్ స్థితులను సూచిస్తుంది.

• అంకెలు: {0, 1} - కనిష్ట చిహ్న సమితి
• ఒక బైట్ = 8 బిట్స్, దశాంశంలో 0-255ని సూచిస్తుంది
• 2 యొక్క ఘాతాలు గుండ్రని సంఖ్యలు: 1024₁₀ = 10000000000₂
• సంకలనం సులభం: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• ఉపయోగాలు: CPUలు, మెమరీ, నెట్‌వర్క్‌లు, డిజిటల్ లాజిక్

0-7 అంకెలను ఉపయోగించి కాంపాక్ట్ బైనరీ ప్రాతినిధ్యం

ఆక్టల్ బైనరీ అంకెలను మూడు సమూహాలుగా విభజిస్తుంది (2³=8). ప్రతి ఆక్టల్ అంకె = సరిగ్గా 3 బైనరీ బిట్స్.

• అంకెలు: {0-7} - 8 లేదా 9 ఉనికిలో లేదు
• ప్రతి ఆక్టల్ అంకె = 3 బైనరీ బిట్స్: 7₈ = 111₂
• యూనిక్స్ అనుమతులు: 755 = rwxr-xr-x
• చారిత్రక: తొలి మినీకంప్యూటర్లు
• ఈ రోజుల్లో తక్కువ సాధారణం: హెక్స్ ఆక్టల్‌ను భర్తీ చేసింది

సార్వత్రిక మానవ సంఖ్యా వ్యవస్థ

దశాంశం ప్రపంచవ్యాప్తంగా మానవ కమ్యూనికేషన్‌కు ప్రమాణం. దాని బేస్-10 నిర్మాణం వేళ్లపై లెక్కించడం నుండి ఉద్భవించింది.

• అంకెలు: {0-9} - పది చిహ్నాలు
• మానవులకు సహజం: 10 వేళ్లు
• శాస్త్రీయ సంజ్ఞామానం దశాంశాన్ని ఉపయోగిస్తుంది: 6.022×10²³
• కరెన్సీ, కొలతలు, క్యాలెండర్లు
• కంప్యూటర్లు అంతర్గతంగా బైనరీకి మారుస్తాయి

బైనరీ కోసం ప్రోగ్రామర్ యొక్క షార్ట్‌హ్యాండ్

హెక్సాడెసిమల్ బైనరీని కాంపాక్ట్‌గా సూచించడానికి ఆధునిక ప్రమాణం. ఒక హెక్స్ అంకె = సరిగ్గా 4 బిట్స్ (2⁴=16).

• అంకెలు: {0-9, A-F} ఇక్కడ A=10...F=15
• ప్రతి హెక్స్ అంకె = 4 బిట్స్: F₁₆ = 1111₂
• ఒక బైట్ = 2 హెక్స్ అంకెలు: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB రంగులు: #FF5733 = ఎరుపు(255) ఆకుపచ్చ(87) నీలం(51)
• మెమరీ చిరునామాలు: 0x7FFF8A2C

గణితశాస్త్రపరంగా అత్యంత సమర్థవంతమైన ఆధారం

టర్నరీ {0,1,2} అంకెలను ఉపయోగిస్తుంది. సంఖ్యలను సూచించడానికి అత్యంత సమర్థవంతమైన రాడిక్స్ (e=2.718కి అత్యంత దగ్గరగా).

• గణిత సామర్థ్యం ఉత్తమం
• సమతుల్య టర్నరీ: {-,0,+} సుష్ట
• ఫజీ సిస్టమ్స్‌లో టర్నరీ లాజిక్
• క్వాంటం కంప్యూటింగ్ (క్యుట్రిట్స్) కోసం ప్రతిపాదించబడింది

దశాంశానికి ఆచరణాత్మక ప్రత్యామ్నాయం

బేస్ 12కి 10 (2,5) కంటే ఎక్కువ భాజకాలు (2,3,4,6) ఉన్నాయి, ఇది భిన్నాలను సులభతరం చేస్తుంది. సమయం, డజన్లు, అంగుళాలు/అడుగులలో ఉపయోగించబడుతుంది.

• సమయం: 12-గంటల గడియారం, 60 నిమిషాలు (5×12)
• ఇంపీరియల్: 12 అంగుళాలు = 1 అడుగు
• భిన్నాలు సులభం: 1/3 = 0.4₁₂
• డోజనల్ సొసైటీ స్వీకరణను సమర్థిస్తుంది

ఇరవైలతో లెక్కించడం

బేస్ 20 వ్యవస్థలు వేళ్లు + కాలి వేళ్లను లెక్కించడం నుండి ఉద్భవించాయి. మాయన్, అజ్టెక్, సెల్టిక్ మరియు బాస్క్ ఉదాహరణలు.

• మాయన్ క్యాలెండర్ వ్యవస్థ
• ఫ్రెంచ్: quatre-vingts (80)
• ఇంగ్లీష్: 'score' = 20
• ఇన్యూట్ సాంప్రదాయ లెక్కింపు

గరిష్ట ఆల్ఫాన్యూమరిక్ బేస్

అన్ని దశాంశ అంకెలను (0-9) మరియు అన్ని అక్షరాలను (A-Z) ఉపయోగిస్తుంది. కాంపాక్ట్ మరియు మానవ-చదవగలిగేది.

• URL షార్ట్‌నర్‌లు: కాంపాక్ట్ లింకులు
• లైసెన్స్ కీలు: సాఫ్ట్‌వేర్ యాక్టివేషన్
• డేటాబేస్ IDలు: టైప్ చేయగల ఐడెంటిఫైయర్‌లు
• ట్రాకింగ్ కోడ్‌లు: ప్యాకేజీలు, ఆర్డర్లు

పురాతన రోమ్ (క్రీ.పూ. 500 - క్రీ.శ. 1500)

2000 సంవత్సరాలు యూరప్‌ను పాలించింది. ప్రతి చిహ్నానికి స్థిరమైన విలువ ఉంటుంది: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• ఇంకా ఉపయోగించబడుతున్నాయి: గడియారాలు, సూపర్ బౌల్, అవుట్‌లైన్‌లు
• సున్నా లేదు: గణన ఇబ్బందులు
• వ్యవకలన నియమాలు: IV=4, IX=9, XL=40
• పరిమితం: ప్రామాణికం 3999కి వెళుతుంది
• హిందూ-అరబిక్ అంకెలతో భర్తీ చేయబడింది

పురాతన బాబిలోనియా (క్రీ.పూ. 3000)

అత్యంత పురాతనమైన మనుగడలో ఉన్న వ్యవస్థ. 60కి 12 భాజకాలు ఉన్నాయి, ఇది భిన్నాలను సులభతరం చేస్తుంది. సమయం మరియు కోణాల కోసం ఉపయోగించబడింది.

• సమయం: 60 సెకన్లు/నిమిషం, 60 నిమిషాలు/గంట
• కోణాలు: 360° వృత్తం, 60 ఆర్క్‌మినిట్లు
• భాజనీయత: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 శుభ్రం
• బాబిలోనియన్ ఖగోళ గణనలు

ప్రతి దశాంశ అంకె 4 బిట్స్‌గా ఎన్‌కోడ్ చేయబడింది

BCD ప్రతి దశాంశ అంకెను (0-9) 4-బిట్ బైనరీగా సూచిస్తుంది. 392 0011 1001 0010 అవుతుంది. ఫ్లోటింగ్-పాయింట్ లోపాలను నివారిస్తుంది.

• ఆర్థిక వ్యవస్థలు: ఖచ్చితమైన దశాంశం
• డిజిటల్ గడియారాలు మరియు కాలిక్యులేటర్లు
• IBM మెయిన్‌ఫ్రేమ్‌లు: దశాంశ యూనిట్
• క్రెడిట్ కార్డ్ మాగ్నెటిక్ స్ట్రిప్స్

ప్రక్క ప్రక్కన ఉన్న విలువలు ఒక బిట్ ద్వారా విభిన్నంగా ఉంటాయి

గ్రే కోడ్ వరుస సంఖ్యల మధ్య ఒక బిట్ మాత్రమే మారుతుందని నిర్ధారిస్తుంది. అనలాగ్-టు-డిజిటల్ మార్పిడికి కీలకం.

• రోటరీ ఎన్‌కోడర్‌లు: పొజిషన్ సెన్సార్లు
• అనలాగ్-టు-డిజిటల్ మార్పిడి
• కర్నాగ్ మ్యాప్స్: లాజిక్ సరళీకరణ
• లోప సవరణ కోడ్‌లు

ప్రోగ్రామర్లు రోజువారీ బహుళ బేస్‌లతో పనిచేస్తారు:

• మెమరీ చిరునామాలు: 0x7FFEE4B2A000 (హెక్స్)
• బిట్ ఫ్లాగ్స్: 0b10110101 (బైనరీ)
• రంగు కోడ్‌లు: #FF5733 (హెక్స్ RGB)
• ఫైల్ అనుమతులు: chmod 755 (ఆక్టల్)
• డీబగ్గింగ్: హెక్స్‌డంప్, మెమరీ తనిఖీ

నెట్‌వర్క్ ప్రోటోకాల్‌లు హెక్స్ మరియు బైనరీని ఉపయోగిస్తాయి:

• MAC చిరునామాలు: 00:1A:2B:3C:4D:5E (హెక్స్)
• IPv4: 192.168.1.1 = బైనరీ సంజ్ఞామానం
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (హెక్స్)
• సబ్‌నెట్ మాస్క్‌లు: 255.255.255.0 = /24
• ప్యాకెట్ తనిఖీ: Wireshark హెక్స్

బైనరీ స్థాయిలో హార్డ్‌వేర్ డిజైన్:

• లాజిక్ గేట్స్: AND, OR, NOT బైనరీ
• CPU రిజిస్టర్లు: 64-బిట్ = 16 హెక్స్ అంకెలు
• అసెంబ్లీ భాష: హెక్స్‌లో ఆప్‌కోడ్‌లు
• FPGA ప్రోగ్రామింగ్: బైనరీ స్ట్రీమ్స్
• హార్డ్‌వేర్ డీబగ్గింగ్: లాజిక్ ఎనలైజర్లు

సంఖ్యా సిద్ధాంతం లక్షణాలను అన్వేషిస్తుంది:

• మాడ్యులర్ అరిథ్మెటిక్: వివిధ ఆధారాలు
• క్రిప్టోగ్రఫీ: RSA, ఎలిప్టిక్ కర్వ్స్
• ఫ్రాక్టల్ జనరేషన్: కాంటర్ సెట్ టర్నరీ
• ప్రధాన సంఖ్యా నమూనాలు
• కాంబినేటరిక్స్: లెక్కింపు నమూనాలు

స్థాన విలువల ద్వారా విస్తరించండి:

• బేస్ మరియు అంకెలను గుర్తించండి
• కుడి నుండి ఎడమకు స్థానాలను కేటాయించండి (0, 1, 2...)
• అంకెలను దశాంశ విలువలకు మార్చండి
• గుణించండి: అంకె × బేస్^స్థానం
• అన్ని పదాలను కూడండి

లక్ష్య బేస్‌తో పదేపదే భాగించండి:

• సంఖ్యను లక్ష్య బేస్‌తో భాగించండి
• శేషాన్ని రికార్డ్ చేయండి (కుడివైపున ఉన్న అంకె)
• భాగఫలాన్ని మళ్ళీ బేస్‌తో భాగించండి
• భాగఫలం 0 అయ్యే వరకు పునరావృతం చేయండి
• శేషాలను కింద నుండి పైకి చదవండి

బైనరీ బిట్స్‌ను సమూహపరచండి:

• బైనరీ → హెక్స్: 4 బిట్స్ ద్వారా సమూహపరచండి
• బైనరీ → ఆక్టల్: 3 బిట్స్ ద్వారా సమూహపరచండి
• హెక్స్ → బైనరీ: ప్రతి అంకెను 4 బిట్స్‌కు విస్తరించండి
• ఆక్టల్ → బైనరీ: ప్రతి అంకెకు 3 బిట్స్‌కు విస్తరించండి
• దశాంశ మార్పిడిని పూర్తిగా దాటవేయండి!

సాధారణ మార్పిడుల కోసం ఉపాయాలు:

• 2 యొక్క ఘాతాలు: 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536 గుర్తుంచుకోండి
• హెక్స్: F=15, FF=255, FFF=4095
• ఆక్టల్ 777 = బైనరీ 111111111
• రెట్టింపు/సగం చేయడం: బైనరీ షిఫ్ట్
• కాలిక్యులేటర్ ప్రోగ్రామర్ మోడ్ ఉపయోగించండి

మీరు గడియారం చూసిన ప్రతిసారీ, మీరు 5000 సంవత్సరాల పురాతన బాబిలోనియన్ బేస్-60 వ్యవస్థను ఉపయోగిస్తున్నారు. వారు 60ని ఎంచుకున్నారు ఎందుకంటే దానికి 12 భాజకాలు ఉన్నాయి, ఇది భిన్నాలను సులభతరం చేస్తుంది.

1999లో, NASA యొక్క $125 మిలియన్ల మార్స్ ఆర్బిటర్ యూనిట్ మార్పిడి లోపాల కారణంగా నాశనం చేయబడింది - ఒక బృందం ఇంపీరియల్, మరొక బృందం మెట్రిక్ ఉపయోగించింది. ఖచ్చితత్వంలో ఖరీదైన పాఠం.

రోమన్ అంకెలకు సున్నా మరియు రుణాత్మకాలు లేవు. ఇది హిందూ-అరబిక్ అంకెలు (0-9) గణితాన్ని విప్లవాత్మకం చేసే వరకు ఉన్నత గణితాన్ని దాదాపు అసాధ్యం చేసింది.

అపోలో గైడెన్స్ కంప్యూటర్ ప్రతిదీ ఆక్టల్ (బేస్ 8)లో ప్రదర్శించింది. వ్యోమగాములు చంద్రునిపై మానవులను దింపిన ప్రోగ్రామ్‌ల కోసం ఆక్టల్ కోడ్‌లను గుర్తుంచుకున్నారు.

RGB రంగు కోడ్‌లు హెక్స్ ఉపయోగిస్తాయి: #RRGGBB ఇక్కడ ప్రతిదీ 00-FF (0-255). ఇది 24-బిట్ ట్రూ కలర్‌లో 256³ = 16,777,216 సాధ్యమయ్యే రంగులను ఇస్తుంది.

సోవియట్ పరిశోధకులు 1950-70లలో టర్నరీ (బేస్-3) కంప్యూటర్లను నిర్మించారు. సెటన్ కంప్యూటర్ బైనరీకి బదులుగా -1, 0, +1 లాజిక్‌ను ఉపయోగించింది. బైనరీ మౌలిక సదుపాయాలు గెలిచాయి.

బైనరీ ఎలక్ట్రానిక్ సర్క్యూట్‌లకు సంపూర్ణంగా సరిపోతుంది: ఆన్/ఆఫ్, అధిక/తక్కువ వోల్టేజ్. రెండు-స్థితుల వ్యవస్థలు నమ్మదగినవి, వేగవంతమైనవి మరియు తయారు చేయడం సులభం. దశాంశానికి 10 విభిన్న వోల్టేజ్ స్థాయిలు అవసరం, ఇది సర్క్యూట్‌లను సంక్లిష్టంగా మరియు లోపాలకు గురయ్యేలా చేస్తుంది.

16 హెక్స్-టు-బైనరీ మ్యాపింగ్‌లను గుర్తుంచుకోండి (0=0000...F=1111). ప్రతి హెక్స్ అంకెను స్వతంత్రంగా మార్చండి: A5₁₆ = 1010|0101₂. కుడి నుండి 4 ద్వారా బైనరీని సమూహపరచి రివర్స్ చేయండి: 110101₂ = 35₁₆. దశాంశం అవసరం లేదు!

ప్రోగ్రామింగ్ (మెమరీ చిరునామాలు, బిట్ ఆపరేషన్లు), నెట్‌వర్కింగ్ (IP చిరునామాలు, MAC చిరునామాలు), డీబగ్గింగ్ (మెమరీ డంప్‌లు), డిజిటల్ ఎలక్ట్రానిక్స్ (లాజిక్ డిజైన్), మరియు భద్రత (క్రిప్టోగ్రఫీ, హాషింగ్) కోసం అవసరం.

హెక్స్ బైట్ సరిహద్దులతో సమలేఖనం చేయబడింది (8 బిట్స్ = 2 హెక్స్ అంకెలు), అయితే ఆక్టల్ కాదు (8 బిట్స్ = 2.67 ఆక్టల్ అంకెలు). ఆధునిక కంప్యూటర్లు బైట్-ఆధారితమైనవి, ఇది హెక్స్‌ను మరింత సౌకర్యవంతంగా చేస్తుంది. కేవలం యూనిక్స్ ఫైల్ అనుమతులు మాత్రమే ఆక్టల్‌ను సంబంధితంగా ఉంచుతాయి.

సులభమైన ప్రత్యక్ష పద్ధతి లేదు. ఆక్టల్ బైనరీని 3 ద్వారా, హెక్స్ 4 ద్వారా సమూహపరుస్తుంది. బైనరీ ద్వారా మార్చాలి: ఆక్టల్→బైనరీ (3 బిట్స్)→హెక్స్ (4 బిట్స్). ఉదాహరణ: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. లేదా దశాంశాన్ని మధ్యంతరంగా ఉపయోగించండి.

సాంప్రదాయం మరియు సౌందర్యం. ఫార్మాలిటీ (సూపర్ బౌల్, సినిమాలు), భేదం (అవుట్‌లైన్‌లు), కాలాతీతత (శతాబ్దపు అస్పష్టత లేదు), మరియు డిజైన్ సొగసు కోసం ఉపయోగించబడతాయి. గణన కోసం ఆచరణాత్మకం కాదు కానీ సాంస్కృతికంగా నిలకడగా ఉంటుంది.

ప్రతి బేస్‌కు కఠినమైన నియమాలు ఉన్నాయి. బేస్ 8లో 8 లేదా 9 ఉండకూడదు. మీరు 189₈ అని వ్రాస్తే, అది చెల్లదు. కన్వర్టర్లు దానిని తిరస్కరిస్తాయి. ప్రోగ్రామింగ్ భాషలు దీనిని అమలు చేస్తాయి: '09' ఆక్టల్ సందర్భాలలో లోపాలకు కారణమవుతుంది.

బేస్ 1 (యూనరీ) ఒక చిహ్నాన్ని (టాలీ మార్కులు) ఉపయోగిస్తుంది. నిజంగా పొజిషనల్ కాదు: 5 = '11111' (ఐదు మార్కులు). ఆదిమ లెక్కింపు కోసం ఉపయోగించబడుతుంది కానీ ఆచరణాత్మకం కాదు. జోక్: యూనరీ అత్యంత సులభమైన బేస్ - కేవలం లెక్కించడం కొనసాగించండి!