કોઈપણ સંખ્યા પ્રણાલીનો પાયો

પાયો નક્કી કરે છે કે કેટલા અનન્ય અંકોનો ઉપયોગ થાય છે અને સ્થાનિક મૂલ્યો કેવી રીતે વધે છે. પાયો 10 અંકો 0-9 નો ઉપયોગ કરે છે. પાયો 2 (દ્વિસંગી) 0-1 નો ઉપયોગ કરે છે. પાયો 16 (હેક્સાડિસિમલ) 0-9 અને A-F નો ઉપયોગ કરે છે.

પાયો 8 (અષ્ટક) માં: 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

સંખ્યા પ્રણાલીમાં મૂલ્યોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા પ્રતીકો

દરેક પાયાને 0 થી (પાયો-1) સુધીના મૂલ્યો માટે અનન્ય પ્રતીકોની જરૂર હોય છે. દ્વિસંગી {0,1} નો ઉપયોગ કરે છે. દશાંશ {0-9} નો ઉપયોગ કરે છે. હેક્સાડિસિમલ {0-9, A-F} સુધી વિસ્તરે છે જ્યાં A=10...F=15.

હેક્સમાં 2F3₁₆ = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

વિવિધ પ્રણાલીઓ વચ્ચે સંખ્યાઓનું ભાષાંતર કરવું

રૂપાંતરણમાં સ્થિતિગત મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને દશાંશમાં વિસ્તરણ કરવું, પછી લક્ષ્ય પાયામાં રૂપાંતર કરવું શામેલ છે. કોઈપણ પાયાથી દશાંશમાં: અંક×પાયો^સ્થાનનો સરવાળો.

1011₂ → દશાંશ: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

કમ્પ્યુટર્સની ભાષા - ફક્ત 0 અને 1

દ્વિસંગી તમામ ડિજિટલ પ્રણાલીઓનો પાયો છે. દરેક કમ્પ્યુટર કામગીરી દ્વિસંગીમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે. દરેક અંક (બિટ) ચાલુ/બંધ સ્થિતિઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

• અંકો: {0, 1} - ન્યૂનતમ પ્રતીક સમૂહ
• એક બાઇટ = 8 બિટ્સ, દશાંશમાં 0-255 નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે
• 2 ની ઘાત પૂર્ણાંકો છે: 1024₁₀ = 10000000000₂
• સરળ સરવાળો: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• આમાં વપરાય છે: CPUs, મેમરી, નેટવર્ક્સ, ડિજિટલ તર્ક

0-7 અંકોનો ઉપયોગ કરીને સંક્ષિપ્ત દ્વિસંગી રજૂઆત

અષ્ટક દ્વિસંગી અંકોને ત્રણના સમૂહમાં જૂથબદ્ધ કરે છે (2³=8). દરેક અષ્ટક અંક = બરાબર 3 દ્વિસંગી બિટ્સ.

• અંકો: {0-7} - 8 અથવા 9 અસ્તિત્વમાં નથી
• દરેક અષ્ટક અંક = 3 દ્વિસંગી બિટ્સ: 7₈ = 111₂
• યુનિક્સ પરવાનગીઓ: 755 = rwxr-xr-x
• ઐતિહાસિક: પ્રારંભિક મિનિકમ્પ્યુટર્સ
• આજે ઓછું સામાન્ય: હેક્સે અષ્ટકનું સ્થાન લીધું છે

સાર્વત્રિક માનવ સંખ્યા પ્રણાલી

દશાંશ વિશ્વભરમાં માનવ સંચાર માટેનું ધોરણ છે. તેની પાયા-10 રચના આંગળીઓ પર ગણતરી કરવાથી વિકસિત થઈ છે.

• અંકો: {0-9} - દસ પ્રતીકો
• મનુષ્યો માટે કુદરતી: 10 આંગળીઓ
• વૈજ્ઞાનિક સંકેત પદ્ધતિ દશાંશનો ઉપયોગ કરે છે: 6.022×10²³
• ચલણ, માપ, કેલેન્ડર
• કમ્પ્યુટર્સ આંતરિક રીતે દ્વિસંગીમાં રૂપાંતરિત કરે છે

દ્વિસંગી માટે પ્રોગ્રામરની શોર્ટહેન્ડ

હેક્સાડિસિમલ દ્વિસંગીને સંક્ષિપ્તમાં રજૂ કરવા માટેનું આધુનિક ધોરણ છે. એક હેક્સ અંક = બરાબર 4 બિટ્સ (2⁴=16).

• અંકો: {0-9, A-F} જ્યાં A=10...F=15
• દરેક હેક્સ અંક = 4 બિટ્સ: F₁₆ = 1111₂
• એક બાઇટ = 2 હેક્સ અંકો: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB રંગો: #FF5733 = લાલ(255) લીલો(87) વાદળી(51)
• મેમરી સરનામાંઓ: 0x7FFF8A2C

ગણિતની દૃષ્ટિએ સૌથી કાર્યક્ષમ પાયો

ત્રિઅંકી અંકો {0,1,2} નો ઉપયોગ કરે છે. સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે સૌથી કાર્યક્ષમ રેડિક્સ (e=2.718ની સૌથી નજીક).

• ગણિતની કાર્યક્ષમતા શ્રેષ્ઠ
• સંતુલિત ત્રિઅંકી: {-,0,+} સમપ્રમાણ
• ફઝી પ્રણાલીઓમાં ત્રિઅંકી તર્ક
• ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટિંગ (ક્યુટ્રિટ્સ) માટે પ્રસ્તાવિત

દશાંશનો વ્યવહારુ વિકલ્પ

પાયા 12 પાસે 10 (2,5) કરતાં વધુ વિભાજકો (2,3,4,6) છે, જે અપૂર્ણાંકોને સરળ બનાવે છે. સમય, ડઝન, ઇંચ/ફૂટમાં વપરાય છે.

• સમય: 12-કલાકનું ઘડિયાળ, 60 મિનિટ (5×12)
• ઇમ્પિરિયલ: 12 ઇંચ = 1 ફૂટ
• અપૂર્ણાંકો સરળ: 1/3 = 0.4₁₂
• ડ્યુઓડેસિમલ સોસાયટી તેને અપનાવવાની હિમાયત કરે છે

વીસમાં ગણતરી

પાયા 20 પ્રણાલીઓ હાથ અને પગની આંગળીઓ પર ગણતરી કરવાથી વિકસિત થઈ છે. માયાન, એઝટેક, સેલ્ટિક અને બાસ્ક ઉદાહરણો.

• માયાન કેલેન્ડર પ્રણાલી
• ફ્રેન્ચ: quatre-vingts (80)
• અંગ્રેજી: 'score' = 20
• ઇન્યુઇટ પરંપરાગત ગણતરી

મહત્તમ આલ્ફાન્યુમેરિક પાયો

બધા દશાંશ અંકો (0-9) અને બધા અક્ષરો (A-Z) નો ઉપયોગ કરે છે. સંક્ષિપ્ત અને માનવ-વાંચી શકાય તેવું.

• URL શોર્ટનર્સ: સંક્ષિપ્ત લિંક્સ
• લાઇસન્સ કી: સોફ્ટવેર સક્રિયકરણ
• ડેટાબેઝ IDs: ટાઇપ કરી શકાય તેવા ઓળખકર્તાઓ
• ટ્રેકિંગ કોડ્સ: પેકેજો, ઓર્ડરો

પ્રાચીન રોમ (500 BC - 1500 AD)

2000 વર્ષ સુધી યુરોપ પર પ્રભુત્વ જમાવ્યું. દરેક પ્રતીકનું નિશ્ચિત મૂલ્ય છે: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• હજુ પણ વપરાય છે: ઘડિયાળો, સુપર બાઉલ, રૂપરેખાઓ
• શૂન્ય નથી: ગણતરીમાં મુશ્કેલીઓ
• બાદબાકીના નિયમો: IV=4, IX=9, XL=40
• મર્યાદિત: ધોરણ 3999 સુધી જાય છે
• હિન્દુ-અરબી અંકો દ્વારા બદલવામાં આવ્યું

પ્રાચીન બેબીલોન (3000 BC)

સૌથી જૂની બચી ગયેલી પ્રણાલી. 60 ને 12 વિભાજકો છે, જે અપૂર્ણાંકોને સરળ બનાવે છે. સમય અને ખૂણાઓ માટે વપરાય છે.

• સમય: 60 સેકન્ડ/મિનિટ, 60 મિનિટ/કલાક
• ખૂણાઓ: 360° વર્તુળ, 60 આર્કમિનિટ્સ
• વિભાજ્યતા: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 સ્પષ્ટ
• બેબીલોનિયન ખગોળશાસ્ત્રીય ગણતરીઓ

દરેક દશાંશ અંક 4 બિટ્સ તરીકે એન્કોડ થયેલ છે

BCD દરેક દશાંશ અંક (0-9) ને 4-બિટ દ્વિસંગી તરીકે રજૂ કરે છે. 392 0011 1001 0010 બને છે. ફ્લોટિંગ-પોઇન્ટ ભૂલોને ટાળે છે.

• નાણાકીય પ્રણાલીઓ: ચોક્કસ દશાંશ
• ડિજિટલ ઘડિયાળો અને કેલ્ક્યુલેટર
• IBM મેઇનફ્રેમ્સ: દશાંશ એકમ
• ક્રેડિટ કાર્ડ મેગ્નેટિક સ્ટ્રાઇપ્સ

નજીકના મૂલ્યો એક બિટથી ભિન્ન હોય છે

ગ્રે કોડ ખાતરી કરે છે કે સતત સંખ્યાઓ વચ્ચે માત્ર એક બિટ બદલાય છે. એનાલોગ-ટુ-ડિજિટલ રૂપાંતરણ માટે નિર્ણાયક.

• રોટરી એન્કોડર્સ: સ્થાન સંવેદકો
• એનાલોગ-ટુ-ડિજિટલ રૂપાંતરણ
• કર્નોઘ નકશા: તર્ક સરળીકરણ
• ભૂલ સુધારણા કોડ્સ

પ્રોગ્રામરો દરરોજ બહુવિધ પાયાઓ સાથે કામ કરે છે:

• મેમરી સરનામાંઓ: 0x7FFEE4B2A000 (હેક્સ)
• બિટ ફ્લેગ્સ: 0b10110101 (દ્વિસંગી)
• રંગ કોડ્સ: #FF5733 (હેક્સ RGB)
• ફાઇલ પરવાનગીઓ: chmod 755 (અષ્ટક)
• ડીબગીંગ: હેક્સડમ્પ, મેમરી નિરીક્ષણ

નેટવર્ક પ્રોટોકોલ્સ હેક્સ અને દ્વિસંગીનો ઉપયોગ કરે છે:

• MAC સરનામાંઓ: 00:1A:2B:3C:4D:5E (હેક્સ)
• IPv4: 192.168.1.1 = દ્વિસંગી સંકેત પદ્ધતિ
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (હેક્સ)
• સબનેટ માસ્ક: 255.255.255.0 = /24
• પેકેટ નિરીક્ષણ: Wireshark હેક્સ

દ્વિસંગી સ્તરે હાર્ડવેર ડિઝાઇન:

• તર્ક દ્વારો: AND, OR, NOT દ્વિસંગી
• CPU રજિસ્ટર: 64-બિટ = 16 હેક્સ અંકો
• એસેમ્બલી ભાષા: હેક્સમાં ઓપકોડ્સ
• FPGA પ્રોગ્રામિંગ: દ્વિસંગી પ્રવાહો
• હાર્ડવેર ડીબગીંગ: તર્ક વિશ્લેષકો

સંખ્યા સિદ્ધાંત ગુણધર્મોની શોધ કરે છે:

• મોડ્યુલર અંકગણિત: વિવિધ પાયાઓ
• ક્રિપ્ટોગ્રાફી: RSA, લંબગોળ વક્રો
• ફ્રેક્ટલ જનરેશન: કેન્ટોર સેટ ત્રિઅંકી
• પ્રાઈમ નંબર પેટર્ન
• સંયોજનશાસ્ત્ર: ગણતરી પેટર્ન

સ્થિતિગત મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તૃત કરો:

• પાયો અને અંકોને ઓળખો
• જમણેથી ડાબે સ્થાનો નક્કી કરો (0, 1, 2...)
• અંકોને દશાંશ મૂલ્યોમાં રૂપાંતરિત કરો
• ગુણાકાર કરો: અંક × પાયો^સ્થાન
• બધા પદોનો સરવાળો કરો

લક્ષ્ય પાયાથી વારંવાર ભાગાકાર કરો:

• સંખ્યાને લક્ષ્ય પાયાથી ભાગો
• શેષ નોંધો (સૌથી જમણી બાજુનો અંક)
• ભાગફળને ફરીથી પાયાથી ભાગો
• ભાગફળ 0 થાય ત્યાં સુધી પુનરાવર્તન કરો
• શેષને નીચેથી ઉપર સુધી વાંચો

દ્વિસંગી બિટ્સનું જૂથ બનાવો:

• દ્વિસંગી → હેક્સ: 4 બિટ્સ દ્વારા જૂથ બનાવો
• દ્વિસંગી → અષ્ટક: 3 બિટ્સ દ્વારા જૂથ બનાવો
• હેક્સ → દ્વિસંગી: દરેક અંકને 4 બિટ્સમાં વિસ્તૃત કરો
• અષ્ટક → દ્વિસંગી: દરેક અંક દીઠ 3 બિટ્સમાં વિસ્તૃત કરો
• દશાંશ રૂપાંતરણને સંપૂર્ણપણે છોડી દો!

સામાન્ય રૂપાંતરણો માટેના યુક્તિઓ:

• 2 ની ઘાત: 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536 યાદ રાખો
• હેક્સ: F=15, FF=255, FFF=4095
• અષ્ટક 777 = દ્વિસંગી 111111111
• બમણું/અડધું કરવું: દ્વિસંગી શિફ્ટ
• કેલ્ક્યુલેટર પ્રોગ્રામર મોડનો ઉપયોગ કરો

જ્યારે પણ તમે ઘડિયાળ જુઓ છો, ત્યારે તમે 5000 વર્ષ જૂની બેબીલોનિયન પાયા-60 પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરી રહ્યા છો. તેઓએ 60 પસંદ કર્યું કારણ કે તેમાં 12 વિભાજકો છે, જે અપૂર્ણાંકોને સરળ બનાવે છે.

1999 માં, નાસાનો 125 મિલિયન ડોલરનો માર્સ ઓર્બિટર યુનિટ રૂપાંતરણ ભૂલોને કારણે નાશ પામ્યો હતો - એક ટીમે ઇમ્પિરિયલ, બીજી ટીમે મેટ્રિકનો ઉપયોગ કર્યો હતો. ચોકસાઈમાં એક મોંઘો પાઠ.

રોમન અંકોમાં શૂન્ય અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ નથી. આણે ઉચ્ચ ગણિતને લગભગ અશક્ય બનાવી દીધું હતું જ્યાં સુધી હિન્દુ-અરબી અંકો (0-9) એ ગણિતમાં ક્રાંતિ ન કરી.

એપોલો ગાઇડન્સ કમ્પ્યુટરે બધું અષ્ટક (પાયો 8) માં પ્રદર્શિત કર્યું. અવકાશયાત્રીઓએ માનવોને ચંદ્ર પર ઉતારનારા કાર્યક્રમો માટે અષ્ટક કોડ યાદ રાખ્યા.

RGB રંગ કોડ હેક્સનો ઉપયોગ કરે છે: #RRGGBB જ્યાં દરેક 00-FF (0-255) છે. આ 24-બિટ સાચા રંગમાં 256³ = 16,777,216 સંભવિત રંગો આપે છે.

સોવિયેત સંશોધકોએ 1950-70 ના દાયકામાં ત્રિઅંકી (પાયા-3) કમ્પ્યુટર્સ બનાવ્યા. સેટૂન કમ્પ્યુટરે દ્વિસંગીને બદલે -1, 0, +1 તર્કનો ઉપયોગ કર્યો. દ્વિસંગી ઇન્ફ્રાસ્ટ્રક્ચર જીતી ગયું.

દ્વિસંગી ઇલેક્ટ્રોનિક સર્કિટ્સ સાથે સંપૂર્ણ રીતે મેપ કરે છે: ચાલુ/બંધ, ઉચ્ચ/નીચું વોલ્ટેજ. બે-સ્થિતિ પ્રણાલીઓ વિશ્વસનીય, ઝડપી અને ઉત્પાદન માટે સરળ છે. દશાંશને 10 અલગ-અલગ વોલ્ટેજ સ્તરોની જરૂર પડશે, જે સર્કિટને જટિલ અને ભૂલ-પ્રોન બનાવશે.

16 હેક્સ-ટુ-બાઇનરી મેપિંગ્સ યાદ રાખો (0=0000...F=1111). દરેક હેક્સ અંકને સ્વતંત્ર રીતે રૂપાંતરિત કરો: A5₁₆ = 1010|0101₂। ઉલટાવી દેવા માટે જમણેથી 4 દ્વારા દ્વિસંગીનું જૂથ બનાવો: 110101₂ = 35₁₆। દશાંશની જરૂર નથી!

પ્રોગ્રામિંગ (મેમરી સરનામાંઓ, બિટ ઓપરેશન્સ), નેટવર્કિંગ (IP સરનામાંઓ, MAC સરનામાંઓ), ડીબગીંગ (મેમરી ડમ્પ્સ), ડિજિટલ ઇલેક્ટ્રોનિક્સ (લોજિક ડિઝાઇન), અને સુરક્ષા (ક્રિપ્ટોગ્રાફી, હેશિંગ) માટે આવશ્યક છે.

હેક્સ બાઇટ સીમાઓ સાથે સંરેખિત થાય છે (8 બિટ્સ = 2 હેક્સ અંકો), જ્યારે અષ્ટક નથી (8 બિટ્સ = 2.67 અષ્ટક અંકો). આધુનિક કમ્પ્યુટર્સ બાઇટ-ઓરિએન્ટેડ છે, જે હેક્સને વધુ અનુકૂળ બનાવે છે. ફક્ત યુનિક્સ ફાઇલ પરવાનગીઓ અષ્ટકને સંબંધિત રાખે છે.

કોઈ સરળ સીધી પદ્ધતિ નથી. અષ્ટક દ્વિસંગીને 3 દ્વારા, હેક્સ 4 દ્વારા જૂથબદ્ધ કરે છે. દ્વિસંગી દ્વારા રૂપાંતર કરવું આવશ્યક છે: અષ્ટક→દ્વિસંગી (3 બિટ્સ)→હેક્સ (4 બિટ્સ). ઉદાહરણ: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆। અથવા દશાંશને મધ્યવર્તી તરીકે ઉપયોગ કરો.

પરંપરા અને સૌંદર્યશાસ્ત્ર. ઔપચારિકતા (સુપર બાઉલ, ફિલ્મો), વિશિષ્ટતા (રૂપરેખાઓ), કાલાતીતતા (કોઈ સદીની અસ્પષ્ટતા નથી), અને ડિઝાઇન સૌંદર્ય માટે વપરાય છે. ગણતરી માટે વ્યવહારુ નથી પરંતુ સાંસ્કૃતિક રીતે સતત છે.

દરેક પાયાના કડક નિયમો છે. પાયા 8 માં 8 અથવા 9 ન હોઈ શકે. જો તમે 189₈ લખો છો, તો તે અમાન્ય છે. કન્વર્ટર તેને નકારશે. પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓ આને લાગુ કરે છે: '09' અષ્ટક સંદર્ભોમાં ભૂલોનું કારણ બને છે.

પાયો 1 (યુનરી) એક પ્રતીક (ટેલી માર્ક્સ) નો ઉપયોગ કરે છે. ખરેખર સ્થિતિગત નથી: 5 = '11111' (પાંચ માર્ક્સ). આદિમ ગણતરી માટે વપરાય છે પરંતુ અવ્યવહારુ છે. મજાક: યુનરી સૌથી સરળ પાયો છે - ફક્ત ગણતરી ચાલુ રાખો!