Основата на кој било броен систем

Основата одредува колку уникатни цифри се користат и како се зголемуваат месните вредности. Основата 10 користи цифри 0-9. Основата 2 (бинарен) користи 0-1. Основата 16 (хексадецимален) користи 0-9 плус А-F.

Во основа 8 (октален): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Симболи кои претставуваат вредности во броен систем

Секоја основа бара уникатни симболи за вредностите од 0 до (основа-1). Бинарниот користи {0,1}. Децималниот користи {0-9}. Хексадецималниот се проширува на {0-9, A-F} каде што A=10...F=15.

2F3₁₆ во хексадецимален = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Преведување на броеви помеѓу различни системи

Конверзијата вклучува проширување во децимален систем со користење на позициони вредности, а потоа конвертирање во целната основа. Од која било основа во децимален: збир цифра×основа^позиција.

1011₂ → децимален: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Јазикот на компјутерите - само 0 и 1

Бинарниот систем е основата на сите дигитални системи. Секоја компјутерска операција се сведува на бинарна. Секоја цифра (бит) претставува состојби вклучено/исклучено.

• Цифри: {0, 1} - минимален сет на симболи
• Еден бајт = 8 бита, претставува 0-255 во децимален
• Степените на 2 се цели броеви: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Собирањето е едноставно: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Се користи во: CPU, меморија, мрежи, дигитална логика

Компактна бинарна претстава со користење на цифрите 0-7

Окталниот систем ги групира бинарните цифри во сетови од по три (2³=8). Секоја октална цифра = точно 3 бинарни бита.

• Цифри: {0-7} - не постои 8 или 9
• Секоја октална цифра = 3 бинарни бита: 7₈ = 111₂
• Unix дозволи: 755 = rwxr-xr-x
• Историски: рани мини компјутери
• Помалку вообичаен денес: хексадецималниот го замени окталниот

Универзалниот човечки броен систем

Децималниот систем е стандард за човечка комуникација низ целиот свет. Неговата структура со основа 10 еволуираше од броењето на прстите.

• Цифри: {0-9} - десет симболи
• Природен за луѓето: 10 прсти
• Научната нотација користи децимален: 6.022×10²³
• Валута, мерења, календари
• Компјутерите интерно конвертираат во бинарен

Кратенка на програмерите за бинарен

Хексадецималниот систем е модерниот стандард за компактно претставување на бинарниот. Една хексадецимална цифра = точно 4 бита (2⁴=16).

• Цифри: {0-9, A-F} каде што A=10...F=15
• Секоја хексадецимална цифра = 4 бита: F₁₆ = 1111₂
• Еден бајт = 2 хексадецимални цифри: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB бои: #FF5733 = црвена(255) зелена(87) сина(51)
• Мемориски адреси: 0x7FFF8A2C

Математички најефикасна основа

Тернарниот систем користи цифри {0,1,2}. Најефикасен радикс за претставување на броеви (најблиску до e=2.718).

• Оптимална математичка ефикасност
• Балансиран тернарен: {-,0,+} симетричен
• Тернарна логика во нејасни системи
• Предложен за квантно компјутерство (кутрити)

Практичната алтернатива на децималниот

Основата 12 има повеќе делители (2,3,4,6) отколку 10 (2,5), што ги поедноставува дропките. Се користи во време, дузини, инчи/стапки.

• Време: 12-часовен часовник, 60 минути (5×12)
• Империјален: 12 инчи = 1 стапка
• Полесни дропки: 1/3 = 0.4₁₂
• Дуодецималното друштво го застапува неговото усвојување

Броење со дваесетки

Системите со основа 20 еволуирале од броењето на прстите на рацете + нозете. Примери на Маите, Ацтеките, Келтите и Баските.

• Календарски систем на Маите
• Француски: quatre-vingts (80)
• Англиски: 'score' = 20
• Традиционално броење на Инуитите

Максимална алфанумеричка основа

Користи ги сите децимални цифри (0-9) плус сите букви (A-Z). Компактна и читлива за луѓето.

• Скратувачи на URL-адреси: компактни врски
• Лиценцни клучеви: активирање софтвер
• ID-а на бази на податоци: идентификатори што може да се пишуваат
• Кодови за следење: пакети, нарачки

Антички Рим (500 п.н.е. - 1500 н.е.)

Доминирале во Европа 2000 години. Секој симбол има фиксна вредност: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Сè уште се користат: часовници, Супер Боул, контури
• Нема нула: потешкотии во пресметувањето
• Правила за одземање: IV=4, IX=9, XL=40
• Ограничени: стандардот оди до 3999
• Заменети со хинду-арапски броеви

Антички Вавилон (3000 п.н.е.)

Најстариот преживеан систем. 60 има 12 делители, што ги олеснува дропките. Се користи за време и агли.

• Време: 60 секунди/минута, 60 минути/час
• Агли: 360° круг, 60 лачни минути
• Деливост: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 чисти
• Вавилонски астрономски пресметки

Секоја децимална цифра е кодирана како 4 бита

BCD ја претставува секоја децимална цифра (0-9) како 4-битен бинарен број. 392 станува 0011 1001 0010. Избегнува грешки со подвижна запирка.

• Финансиски системи: точен децимален
• Дигитални часовници и калкулатори
• IBM мејнфрејмови: децимална единица
• Магнетни ленти на кредитни картички

Соседните вредности се разликуваат за еден бит

Грејовиот код осигурува дека само еден бит се менува помеѓу последователните броеви. Критичен за аналогно-дигитална конверзија.

• Ротациони енкодери: сензори за положба
• Аналогно-дигитална конверзија
• Карнови мапи: поедноставување на логиката
• Кодови за корекција на грешки

Програмерите работат со повеќе основи секојдневно:

• Мемориски адреси: 0x7FFEE4B2A000 (хексадецимален)
• Битни знаменца: 0b10110101 (бинарен)
• Кодови на бои: #FF5733 (хексадецимален RGB)
• Дозволи за датотеки: chmod 755 (октален)
• Отстранување грешки: hexdump, инспекција на меморија

Мрежните протоколи користат хексадецимален и бинарен систем:

• MAC адреси: 00:1A:2B:3C:4D:5E (хексадецимален)
• IPv4: 192.168.1.1 = бинарна нотација
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (хексадецимален)
• Маски на подмрежа: 255.255.255.0 = /24
• Инспекција на пакети: Wireshark хексадецимален

Дизајн на хардвер на бинарно ниво:

• Логички порти: AND, OR, NOT бинарен
• CPU регистри: 64-битни = 16 хексадецимални цифри
• Асемблерски јазик: опкодови во хексадецимален
• FPGA програмирање: бинарни текови
• Отстранување грешки на хардверот: логички анализатори

Теоријата на броеви истражува својства:

• Модуларна аритметика: разни основи
• Криптографија: RSA, елиптични криви
• Генерација на фрактали: Канторов сет тернарен
• Шаблони на прости броеви
• Комбинаторика: шаблони за броење

Проширете со користење на позициони вредности:

• Идентификувајте ја основата и цифрите
• Доделете позиции од десно кон лево (0, 1, 2...)
• Конвертирајте ги цифрите во децимални вредности
• Множете: цифра × основа^позиција
• Соберете ги сите членови

Повторно делете со целната основа:

• Поделете го бројот со целната основа
• Запишете го остатокот (најдесната цифра)
• Повторно поделете го количникот со основата
• Повторувајте додека количникот не биде 0
• Прочитајте ги остатоците од долу нагоре

Групирајте ги бинарните битови:

• Бинарен → Хексадецимален: групирајте по 4 бита
• Бинарен → Октален: групирајте по 3 бита
• Хексадецимален → Бинарен: проширете ја секоја цифра на 4 бита
• Октален → Бинарен: проширете на 3 бита по цифра
• Целосно прескокнете ја децималната конверзија!

Трикови за вообичаени конверзии:

• Степените на 2: запомнете 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Хексадецимален: F=15, FF=255, FFF=4095
• Октален 777 = бинарен 111111111
• Двојно/половично: бинарно поместување
• Користете го програмерскиот режим на калкулаторот

Секој пат кога го проверувате часовникот, користите 5000 години стар вавилонски систем со основа 60. Тие избрале 60 затоа што има 12 делители, што ги олеснува дропките.

Во 1999 година, орбитерот на Марс на НАСА вреден 125 милиони долари беше уништен поради грешки во конверзијата на единиците - еден тим користел империјален, а друг метрички систем. Скапа лекција за прецизност.

Римските броеви немаат нула и немаат негативни броеви. Ова ја направи напредната математика речиси невозможна сè додека хинду-арапските броеви (0-9) не ја револуционизираа математиката.

Водечкиот компјутер на Аполо прикажуваше сè во октален систем (основа 8). Астронаутите ги запаметија окталните кодови за програмите што ги спуштија луѓето на Месечината.

RGB кодовите на боите користат хексадецимален: #RRGGBB каде што секој е 00-FF (0-255). Ова дава 256³ = 16,777,216 можни бои во 24-битна вистинска боја.

Советските истражувачи изградија тернарни (основа-3) компјутери во 1950-тите и 70-тите години. Компјутерот Сетун користеше логика -1, 0, +1 наместо бинарна. Бинарната инфраструктура победи.

Бинарниот систем совршено се усогласува со електронските кола: вклучено/исклучено, висок/низок напон. Системите со две состојби се сигурни, брзи и лесни за производство. Децималниот би барал 10 различни нивоа на напон, што би ги направило колата сложени и склони кон грешки.

Запомнете ги 16-те мапирања хексадецимален-во-бинарен (0=0000...F=1111). Конвертирајте ја секоја хексадецимална цифра независно: A5₁₆ = 1010|0101₂. Групирајте го бинарниот по 4 од десно за да го свртите: 110101₂ = 35₁₆. Не е потребен децимален!

Суштинско за програмирање (мемориски адреси, битни операции), мрежно поврзување (IP адреси, MAC адреси), отстранување грешки (мемориски дампови), дигитална електроника (дизајн на логика) и безбедност (криптографија, хеширање).

Хексадецималниот се усогласува со границите на бајтите (8 бита = 2 хексадецимални цифри), додека окталниот не (8 бита = 2.67 октални цифри). Современите компјутери се ориентирани кон бајти, што го прави хексадецималниот поудобен. Само дозволите за датотеки на Unix го одржуваат окталниот релевантен.

Нема лесен директен метод. Окталниот го групира бинарниот по 3, хексадецималниот по 4. Мора да се конвертира преку бинарен: октален→бинарен (3 бита)→хексадецимален (4 бита). Пример: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Или користете децимален како посредник.

Традиција и естетика. Се користат за формалност (Супер Боул, филмови), разликување (контури), безвременскост (без двосмисленост на векот) и елеганција на дизајнот. Не се практични за пресметка, но културно опстојуваат.

Секоја основа има строги правила. Основата 8 не може да содржи 8 или 9. Ако напишете 189₈, таа е неважечка. Конвертерите ќе ја отфрлат. Програмските јазици го спроведуваат ова: '09' предизвикува грешки во октални контексти.

Основата 1 (унарна) користи еден симбол (цртички за броење). Не е навистина позициона: 5 = '11111' (пет цртички). Се користи за примитивно броење, но е непрактична. Шега: унарната е најлесната основа - само продолжете да броите!