A fundação de qualquer sistema numérico

A base determina quantos dígitos únicos são usados e como os valores posicionais aumentam. A base 10 usa os dígitos 0-9. A base 2 (binário) usa 0-1. A base 16 (hexadecimal) usa 0-9 mais A-F.

Na base 8 (octal): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Símbolos que representam valores num sistema numérico

Cada base requer símbolos únicos para valores de 0 a (base-1). O binário usa {0,1}. O decimal usa {0-9}. O hexadecimal estende-se a {0-9, A-F}, onde A=10...F=15.

2F3₁₆ em hexadecimal = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Traduzir números entre diferentes sistemas

A conversão envolve a expansão para decimal usando valores posicionais e, em seguida, a conversão para a base de destino. De qualquer base para decimal: soma de dígito×base^posição.

1011₂ → decimal: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

A linguagem dos computadores - apenas 0s e 1s

O binário é a base de todos os sistemas digitais. Toda a operação de um computador reduz-se a binário. Cada dígito (bit) representa estados de ligado/desligado.

• Dígitos: {0, 1} - conjunto mínimo de símbolos
• Um byte = 8 bits, representa 0-255 em decimal
• Potências de 2 são números redondos: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Adição simples: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Usado em: CPUs, memória, redes, lógica digital

Representação binária compacta usando os dígitos 0-7

O octal agrupa dígitos binários em conjuntos de três (2³=8). Cada dígito octal = exatamente 3 bits binários.

• Dígitos: {0-7} - não existe 8 ou 9
• Cada dígito octal = 3 bits binários: 7₈ = 111₂
• Permissões Unix: 755 = rwxr-xr-x
• Histórico: primeiros minicomputadores
• Menos comum hoje em dia: o hexadecimal substituiu o octal

O sistema numérico humano universal

O decimal é o padrão para a comunicação humana em todo o mundo. A sua estrutura de base 10 evoluiu da contagem nos dedos.

• Dígitos: {0-9} - dez símbolos
• Natural para humanos: 10 dedos
• A notação científica usa decimal: 6.022×10²³
• Moeda, medidas, calendários
• Os computadores convertem para binário internamente

Abreviação do programador para binário

O hexadecimal é o padrão moderno para representar binário de forma compacta. Um dígito hexadecimal = exatamente 4 bits (2⁴=16).

• Dígitos: {0-9, A-F} onde A=10...F=15
• Cada dígito hexadecimal = 4 bits: F₁₆ = 1111₂
• Um byte = 2 dígitos hexadecimais: FF₁₆ = 255₁₀
• Cores RGB: #FF5733 = vermelho(255) verde(87) azul(51)
• Endereços de memória: 0x7FFF8A2C

A base mais eficiente matematicamente

O ternário usa os dígitos {0,1,2}. É a base mais eficiente para representar números (a mais próxima de e=2.718).

• Eficiência matemática ótima
• Ternário balanceado: {-,0,+} simétrico
• Lógica ternária em sistemas fuzzy
• Proposto para computação quântica (qutrits)

A alternativa prática ao decimal

A base 12 tem mais divisores (2,3,4,6) do que a 10 (2,5), simplificando frações. Usada em tempo, dúzias, polegadas/pés.

• Tempo: relógio de 12 horas, 60 minutos (5×12)
• Imperial: 12 polegadas = 1 pé
• Frações mais fáceis: 1/3 = 0.4₁₂
• A Sociedade Duodecimal defende a sua adoção

Contagem por vintenas

Sistemas de base 20 evoluíram da contagem de dedos das mãos e dos pés. Exemplos Maias, Astecas, Celtas e Bascos.

• Sistema de calendário Maia
• Francês: quatre-vingts (80)
• Inglês: 'score' = 20
• Contagem tradicional Inuit

Base alfanumérica máxima

Usa todos os dígitos decimais (0-9) mais todas as letras (A-Z). Compacto e legível por humanos.

• Encurtadores de URL: ligações compactas
• Chaves de licença: ativação de software
• IDs de base de dados: identificadores digitáveis
• Códigos de rastreamento: pacotes, encomendas

Roma Antiga (500 a.C. - 1500 d.C.)

Dominou a Europa por 2000 anos. Cada símbolo tem um valor fixo: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Ainda usados: relógios, Super Bowl, tópicos
• Sem zero: dificuldades de cálculo
• Regras subtrativas: IV=4, IX=9, XL=40
• Limitado: o padrão vai até 3999
• Substituído por algarismos indo-arábicos

Babilónia Antiga (3000 a.C.)

O sistema mais antigo que sobreviveu. 60 tem 12 divisores, facilitando as frações. Usado para tempo e ângulos.

• Tempo: 60 segundos/minuto, 60 minutos/hora
• Ângulos: círculo de 360°, 60 minutos de arco
• Divisibilidade: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 limpos
• Cálculos astronómicos babilónicos

Cada dígito decimal é codificado como 4 bits

O BCD representa cada dígito decimal (0-9) como 4 bits binários. 392 torna-se 0011 1001 0010. Evita erros de ponto flutuante.

• Sistemas financeiros: decimal exato
• Relógios digitais e calculadoras
• Mainframes da IBM: unidade decimal
• Fitas magnéticas de cartão de crédito

Valores adjacentes diferem num bit

O código de Gray garante que apenas um bit muda entre números consecutivos. Crítico para a conversão analógico-digital.

• Encoders rotativos: sensores de posição
• Conversão analógico-digital
• Mapas de Karnaugh: simplificação lógica
• Códigos de correção de erros

Os programadores trabalham com múltiplas bases diariamente:

• Endereços de memória: 0x7FFEE4B2A000 (hexadecimal)
• Sinalizadores de bit: 0b10110101 (binário)
• Códigos de cores: #FF5733 (hexadecimal RGB)
• Permissões de ficheiro: chmod 755 (octal)
• Depuração: hexdump, inspeção de memória

Os protocolos de rede usam hexadecimal e binário:

• Endereços MAC: 00:1A:2B:3C:4D:5E (hexadecimal)
• IPv4: 192.168.1.1 = notação binária
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (hexadecimal)
• Máscaras de sub-rede: 255.255.255.0 = /24
• Inspeção de pacotes: Wireshark hexadecimal

Projeto de hardware ao nível binário:

• Portas lógicas: AND, OR, NOT binário
• Registos da CPU: 64 bits = 16 dígitos hexadecimais
• Linguagem Assembly: opcodes em hexadecimal
• Programação de FPGA: fluxos binários
• Depuração de hardware: analisadores lógicos

A teoria dos números explora propriedades:

• Aritmética modular: várias bases
• Criptografia: RSA, curvas elípticas
• Geração de fractais: conjunto de Cantor ternário
• Padrões de números primos
• Combinatória: padrões de contagem

Expanda usando valores posicionais:

• Identifique a base e os dígitos
• Atribua posições da direita para a esquerda (0, 1, 2...)
• Converta os dígitos para valores decimais
• Multiplique: dígito × base^posição
• Some todos os termos

Divida repetidamente pela base de destino:

• Divida o número pela base de destino
• Registe o resto (dígito mais à direita)
• Divida o quociente pela base novamente
• Repita até que o quociente seja 0
• Leia os restos de baixo para cima

Agrupe os bits binários:

• Binário → Hexadecimal: agrupe por 4 bits
• Binário → Octal: agrupe por 3 bits
• Hexadecimal → Binário: expanda cada dígito para 4 bits
• Octal → Binário: expanda para 3 bits por dígito
• Ignore completamente a conversão decimal!

Truques para conversões comuns:

• Potências de 2: memorize 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Hexadecimal: F=15, FF=255, FFF=4095
• Octal 777 = binário 111111111
• Dobrar/dividir por metade: deslocamento binário
• Use o modo de programador da calculadora

Sempre que olha para o relógio, está a usar um sistema de base 60 babilónico com 5000 anos. Eles escolheram 60 porque tem 12 divisores, o que facilita as frações.

Em 1999, a sonda orbital de Marte da NASA, de 125 milhões de dólares, foi destruída devido a erros de conversão de unidades - uma equipa usou o sistema imperial, outra o métrico. Uma lição cara sobre precisão.

Os algarismos romanos não têm zero nem negativos. Isso tornou a matemática avançada quase impossível até que os algarismos indo-arábicos (0-9) revolucionaram a matemática.

O Computador de Orientação da Apollo exibia tudo em octal (base 8). Os astronautas memorizaram códigos octais para programas que levaram humanos à Lua.

Os códigos de cores RGB usam hexadecimal: #RRGGBB, onde cada um é de 00 a FF (0-255). Isso resulta em 256³ = 16.777.216 cores possíveis em cor real de 24 bits.

Investigadores soviéticos construíram computadores ternários (base 3) nas décadas de 1950-70. O computador Setun usava lógica -1, 0, +1 em vez de binária. A infraestrutura binária venceu.

O binário mapeia perfeitamente para circuitos eletrónicos: ligado/desligado, alta/baixa voltagem. Sistemas de dois estados são confiáveis, rápidos e fáceis de fabricar. O decimal exigiria 10 níveis de voltagem distintos, tornando os circuitos complexos e propensos a erros.

Memorize os 16 mapeamentos de hexadecimal para binário (0=0000...F=1111). Converta cada dígito hexadecimal independentemente: A5₁₆ = 1010|0101₂. Agrupe o binário por 4 da direita para reverter: 110101₂ = 35₁₆. Não é necessário decimal!

Essencial para programação (endereços de memória, operações de bit), redes (endereços IP, endereços MAC), depuração (dumps de memória), eletrónica digital (projeto lógico) e segurança (criptografia, hashing).

O hexadecimal alinha-se com os limites de byte (8 bits = 2 dígitos hexadecimais), enquanto o octal não (8 bits = 2,67 dígitos octais). Os computadores modernos são orientados a bytes, tornando o hexadecimal mais conveniente. Apenas as permissões de ficheiro do Unix mantêm o octal relevante.

Não há um método direto fácil. O octal agrupa o binário por 3, o hexadecimal por 4. É preciso converter através do binário: octal→binário (3 bits)→hexadecimal (4 bits). Exemplo: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Ou use o decimal como intermediário.

Tradição и estética. Usados para formalidade (Super Bowl, filmes), distinção (tópicos), atemporalidade (sem ambiguidade de século) e elegância de design. Não são práticos para cálculo, mas persistem culturalmente.

Cada base tem regras estritas. A base 8 não pode conter 8 ou 9. Se escrever 189₈, é inválido. Os conversores irão rejeitá-lo. As linguagens de programação impõem isto: '09' causa erros em contextos octais.

A base 1 (unário) usa um único símbolo (marcas de contagem). Não é verdadeiramente posicional: 5 = '11111' (cinco marcas). Usado para contagem primitiva, mas impraticável. Piada: unário é a base mais fácil - basta continuar a contar!