Ang pundasyon ng anumang sistema ng numero

Tinutukoy ng base kung gaano karaming natatanging digit ang ginagamit at kung paano tumataas ang mga place value. Gumagamit ang Base 10 ng mga digit 0-9. Gumagamit ang Base 2 (binary) ng 0-1. Gumagamit ang Base 16 (hexadecimal) ng 0-9 kasama ang A-F.

Sa base 8 (octal): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Mga simbolo na kumakatawan sa mga halaga sa isang sistema ng numero

Bawat base ay nangangailangan ng mga natatanging simbolo para sa mga halaga mula 0 hanggang (base-1). Gumagamit ang Binary ng {0,1}. Gumagamit ang Decimal ng {0-9}. Lumalawak ang Hexadecimal sa {0-9, A-F} kung saan A=10...F=15.

2F3₁₆ sa hex = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Pagsasalin ng mga numero sa pagitan ng iba't ibang sistema

Ang pag-convert ay nagsasangkot ng pag-expand sa decimal gamit ang mga positional value, pagkatapos ay pag-convert sa target na base. Mula sa anumang base patungo sa decimal: sum ng digit×base^position.

1011₂ → decimal: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Ang wika ng mga computer - mga 0 at 1 lamang

Ang binary ang pundasyon ng lahat ng digital system. Bawat operasyon ng computer ay nauuwi sa binary. Bawat digit (bit) ay kumakatawan sa mga estado na on/off.

• Mga Digit: {0, 1} - minimal na set ng simbolo
• Isang byte = 8 bits, kumakatawan sa 0-255 sa decimal
• Ang mga power of 2 ay mga bilog na numero: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Simpleng pagdaragdag: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Ginagamit sa: Mga CPU, memory, network, digital logic

Siksik na representasyon ng binary gamit ang mga digit 0-7

Pinapangkat ng octal ang mga binary digit sa mga set ng tatlo (2³=8). Bawat octal digit = eksaktong 3 binary bits.

• Mga Digit: {0-7} - walang 8 o 9 na umiiral
• Bawat octal digit = 3 binary bits: 7₈ = 111₂
• Mga pahintulot sa Unix: 755 = rwxr-xr-x
• Makasaysayan: mga unang minicomputer
• Hindi na gaanong karaniwan ngayon: pinalitan ng hex ang octal

Ang unibersal na sistema ng numero ng tao

Ang decimal ay pamantayan para sa komunikasyon ng tao sa buong mundo. Ang base-10 na istraktura nito ay nag-evolve mula sa pagbibilang sa mga daliri.

• Mga Digit: {0-9} - sampung simbolo
• Natural para sa mga tao: 10 daliri
• Gumagamit ang scientific notation ng decimal: 6.022×10²³
• Pera, mga sukat, mga kalendaryo
• Nagko-convert ang mga computer sa binary sa loob

Shortcut ng programmer para sa binary

Ang hexadecimal ay ang modernong pamantayan para sa pagkatawan ng binary nang siksik. Isang hex digit = eksaktong 4 bits (2⁴=16).

• Mga Digit: {0-9, A-F} kung saan A=10...F=15
• Bawat hex digit = 4 bits: F₁₆ = 1111₂
• Isang byte = 2 hex digits: FF₁₆ = 255₁₀
• Mga kulay ng RGB: #FF5733 = pula(255) berde(87) asul(51)
• Mga address ng memorya: 0x7FFF8A2C

Pinaka-episyenteng base sa matematika

Gumagamit ang Ternary ng mga digit {0,1,2}. Pinaka-episyenteng radix para sa pagkatawan ng mga numero (pinakamalapit sa e=2.718).

• Pinakamainam na kahusayan sa matematika
• Balanseng ternary: {-,0,+} simetriko
• Ternary logic sa mga fuzzy system
• Iminungkahi para sa quantum computing (qutrits)

Ang praktikal na alternatibo sa decimal

Ang Base 12 ay may mas maraming divisor (2,3,4,6) kaysa 10 (2,5), na nagpapadali sa mga fraction. Ginagamit sa oras, dosena, pulgada/paa.

• Oras: 12-oras na orasan, 60 minuto (5×12)
• Imperial: 12 pulgada = 1 paa
• Mas madali ang mga fraction: 1/3 = 0.4₁₂
• Itinataguyod ng Dozenal Society ang paggamit nito

Pagbibilang ng dalawampu

Ang mga sistema ng base 20 ay nag-evolve mula sa pagbibilang ng mga daliri + daliri sa paa. Mga halimbawa ng Mayan, Aztec, Celtic, at Basque.

• Sistema ng kalendaryo ng Mayan
• Pranses: quatre-vingts (80)
• Ingles: 'score' = 20
• Tradisyonal na pagbibilang ng Inuit

Pinakamataas na alphanumeric base

Gumagamit ng lahat ng decimal na digit (0-9) kasama ang lahat ng titik (A-Z). Siksik at nababasa ng tao.

• Mga URL shortener: mga siksik na link
• Mga license key: pag-activate ng software
• Mga ID ng database: mga natatype na identifier
• Mga tracking code: mga pakete, mga order

Sinaunang Roma (500 BC - 1500 AD)

Naghari sa Europa sa loob ng 2000 taon. Bawat simbolo ay may takdang halaga: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Ginagamit pa rin: mga orasan, Super Bowl, mga balangkas
• Walang zero: mga kahirapan sa pagkalkula
• Mga panuntunan sa pagbabawas: IV=4, IX=9, XL=40
• Limitado: ang pamantayan ay hanggang 3999 lamang
• Pinalitan ng mga Hindu-Arabic numeral

Sinaunang Babilonya (3000 BC)

Pinakamatandang sistemang nananatili. Ang 60 ay may 12 divisor, na nagpapadali sa mga fraction. Ginagamit para sa oras at mga anggulo.

• Oras: 60 segundo/minuto, 60 minuto/oras
• Mga anggulo: 360° bilog, 60 arcminute
• Pagkakahati: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 malinis
• Mga kalkulasyon sa astronomiya ng Babilonya

Bawat decimal na digit ay naka-encode bilang 4 na bit

Kinakatawan ng BCD ang bawat decimal na digit (0-9) bilang 4-bit na binary. Ang 392 ay nagiging 0011 1001 0010. Iniiwasan nito ang mga floating-point error.

• Mga sistema sa pananalapi: eksaktong decimal
• Mga digital na orasan at calculator
• Mga IBM mainframe: yunit ng decimal
• Mga magnetic stripe ng credit card

Ang mga katabing halaga ay nagkakaiba ng isang bit

Tinitiyak ng Gray code na isang bit lamang ang nagbabago sa pagitan ng magkakasunod na numero. Kritikal para sa analog-to-digital conversion.

• Mga rotary encoder: mga sensor ng posisyon
• Analog-to-digital conversion
• Mga Karnaugh map: pagpapasimple ng logic
• Mga error correction code

Araw-araw na gumagana ang mga programmer sa maraming base:

• Mga address ng memorya: 0x7FFEE4B2A000 (hex)
• Mga bit flag: 0b10110101 (binary)
• Mga code ng kulay: #FF5733 (hex RGB)
• Mga pahintulot sa file: chmod 755 (octal)
• Pag-debug: hexdump, inspeksyon ng memorya

Gumagamit ang mga network protocol ng hex at binary:

• Mga MAC address: 00:1A:2B:3C:4D:5E (hex)
• IPv4: 192.168.1.1 = binary notation
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (hex)
• Mga subnet mask: 255.255.255.0 = /24
• Pagsusuri ng packet: Wireshark hex

Disenyo ng hardware sa antas ng binary:

• Mga logic gate: AND, OR, NOT binary
• Mga rehistro ng CPU: 64-bit = 16 hex digits
• Assembly language: mga opcode sa hex
• Programming ng FPGA: mga binary stream
• Pag-debug ng hardware: mga logic analyzer

Tinalakay ng teorya ng numero ang mga katangian:

• Modular arithmetic: iba't ibang base
• Cryptography: RSA, elliptic curves
• Pagbuo ng fractal: Cantor set ternary
• Mga pattern ng prime number
• Combinatorics: mga pattern ng pagbibilang

Palawakin gamit ang mga positional value:

• Tukuyin ang base at mga digit
• Magtalaga ng mga posisyon mula kanan pakaliwa (0, 1, 2...)
• I-convert ang mga digit sa mga decimal na halaga
• I-multiply: digit × base^position
• Idagdag ang lahat ng termino

Paulit-ulit na hatiin sa target na base:

• Hatiin ang numero sa target na base
• Itala ang remainder (pinakakanang digit)
• Hatiin muli ang quotient sa base
• Ulitin hanggang maging 0 ang quotient
• Basahin ang mga remainder mula ibaba pataas

Pangkatin ang mga binary bit:

• Binary → Hex: pangkatin ng 4 na bit
• Binary → Octal: pangkatin ng 3 bit
• Hex → Binary: palawakin ang bawat digit sa 4 na bit
• Octal → Binary: palawakin sa 3 bit bawat digit
• Laktawan nang buo ang decimal conversion!

Mga trick para sa mga karaniwang conversion:

• Mga power of 2: kabisaduhin ang 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Hex: F=15, FF=255, FFF=4095
• Octal 777 = binary 111111111
• Pagdodoble/paghahati: pag-shift ng binary
• Gamitin ang programmer mode ng calculator

Sa tuwing titingin ka sa orasan, gumagamit ka ng 5000-taong-gulang na sistema ng base-60 ng Babilonya. Pinili nila ang 60 dahil mayroon itong 12 divisor, na nagpapadali sa mga fraction.

Noong 1999, nasira ang $125 milyong Mars orbiter ng NASA dahil sa mga error sa unit conversion - isang team ang gumamit ng imperial, isa pa ang metric. Isang magastos na aral sa katumpakan.

Walang zero at walang negatibo ang mga Roman numeral. Dahil dito, halos imposible ang advanced na matematika hanggang sa baguhin ng mga Hindu-Arabic numeral (0-9) ang matematika.

Ang Apollo Guidance Computer ay nagpakita ng lahat sa octal (base 8). Kinabisado ng mga astronaut ang mga octal code para sa mga program na naglapag ng tao sa Buwan.

Gumagamit ang mga RGB color code ng hex: #RRGGBB kung saan ang bawat isa ay 00-FF (0-255). Nagbibigay ito ng 256³ = 16,777,216 posibleng kulay sa 24-bit true color.

Bumuo ang mga mananaliksik ng Sobyet ng mga ternary (base-3) computer noong 1950s-70s. Gumamit ang Setun computer ng -1, 0, +1 logic sa halip na binary. Nanaig ang binary infrastructure.

Ang binary ay perpektong tumutugma sa mga electronic circuit: on/off, mataas/mababang boltahe. Ang mga two-state system ay maaasahan, mabilis, at madaling gawin. Kakailanganin ng decimal ang 10 magkakaibang antas ng boltahe, na gagawing kumplikado at madaling magkamali ang mga circuit.

Kabisaduhin ang 16 na hex-to-binary mapping (0=0000...F=1111). I-convert ang bawat hex digit nang hiwalay: A5₁₆ = 1010|0101₂. Pangkatin ang binary ng 4 mula sa kanan para baligtarin: 110101₂ = 35₁₆. Hindi kailangan ng decimal!

Mahalaga para sa programming (mga address ng memorya, mga bit operation), networking (mga IP address, MAC address), pag-debug (mga memory dump), digital electronics (disenyo ng logic), at seguridad (cryptography, hashing).

Ang hex ay nakahanay sa mga hangganan ng byte (8 bits = 2 hex digits), habang ang octal ay hindi (8 bits = 2.67 octal digits). Ang mga modernong computer ay byte-oriented, na ginagawang mas maginhawa ang hex. Ang mga pahintulot lamang sa file ng Unix ang nagpapanatili sa octal na may kaugnayan.

Walang madaling direktang paraan. Pinapangkat ng octal ang binary ng 3, ang hex ng 4. Dapat mag-convert sa pamamagitan ng binary: octal→binary (3 bits)→hex (4 bits). Halimbawa: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. O gamitin ang decimal bilang intermediate.

Tradisyon at estetika. Ginagamit para sa pormalidad (Super Bowl, mga pelikula), pag-iiba (mga balangkas), pagiging walang tiyak na oras (walang kalabuan sa siglo), at kagandahan ng disenyo. Hindi praktikal para sa pagkalkula ngunit nananatili sa kultura.

Bawat base ay may mahigpit na panuntunan. Hindi maaaring maglaman ang Base 8 ng 8 o 9. Kung isusulat mo ang 189₈, ito ay hindi wasto. Tatanggihan ito ng mga converter. Pinapatupad ito ng mga programming language: ang '09' ay nagdudulot ng mga error sa mga konteksto ng octal.

Gumagamit ang Base 1 (unary) ng isang simbolo (mga tally mark). Hindi tunay na positional: 5 = '11111' (limang marka). Ginagamit para sa primitibong pagbibilang ngunit hindi praktikal. Biro: ang unary ang pinakamadaling base - ipagpatuloy mo lang ang pagbibilang!