Bet kurios skaičių sistemos pagrindas

Pagrindas nustato, kiek unikalių skaitmenų naudojama ir kaip didėja pozicijų vertės. Pagrindas 10 naudoja skaitmenis 0-9. Pagrindas 2 (dvejetainė) naudoja 0-1. Pagrindas 16 (šešioliktainė) naudoja 0-9 plius A-F.

Pagrinde 8 (aštuntainė): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Simboliai, vaizduojantys vertes skaičių sistemoje

Kiekviena bazė reikalauja unikalių simbolių vertėms nuo 0 iki (bazė-1). Dvejetainė naudoja {0,1}. Dešimtainė naudoja {0-9}. Šešioliktainė išsiplečia iki {0-9, A-F}, kur A=10...F=15.

2F3₁₆ šešioliktainėje = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Skaičių vertimas tarp skirtingų sistemų

Konvertavimas apima išplėtimą į dešimtainę sistemą naudojant pozicines vertes, o tada konvertavimą į tikslinę bazę. Iš bet kurios bazės į dešimtainę: suma skaitmuo×bazė^pozicija.

1011₂ → dešimtainė: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Kompiuterių kalba - tik 0 ir 1

Dvejetainė sistema yra visų skaitmeninių sistemų pagrindas. Kiekviena kompiuterio operacija yra redukuojama į dvejetainę. Kiekvienas skaitmuo (bitas) reiškia įjungimo/išjungimo būsenas.

• Skaitmenys: {0, 1} - minimalus simbolių rinkinys
• Vienas baitas = 8 bitai, reiškia 0-255 dešimtainėje sistemoje
• 2 laipsniai yra apvalūs skaičiai: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Paprasta sudėtis: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Naudojama: procesoriuose, atmintyje, tinkluose, skaitmeninėje logikoje

Kompaktiškas dvejetainės sistemos vaizdavimas naudojant skaitmenis 0-7

Aštuntainė sistema grupuoja dvejetainius skaitmenis į trijų rinkinius (2³=8). Kiekvienas aštuntainis skaitmuo = lygiai 3 dvejetainiai bitai.

• Skaitmenys: {0-7} - 8 ar 9 neegzistuoja
• Kiekvienas aštuntainis skaitmuo = 3 dvejetainiai bitai: 7₈ = 111₂
• Unix leidimai: 755 = rwxr-xr-x
• Istoriškai: ankstyvieji minikompiuteriai
• Šiandien retesnė: šešioliktainė pakeitė aštuntainę

Universali žmonių skaičių sistema

Dešimtainė sistema yra standartas žmonių bendravimui visame pasaulyje. Jos pagrindo 10 struktūra išsivystė iš skaičiavimo ant pirštų.

• Skaitmenys: {0-9} - dešimt simbolių
• Natūrali žmonėms: 10 pirštų
• Mokslinė notacija naudoja dešimtainę sistemą: 6.022×10²³
• Valiuta, matavimai, kalendoriai
• Kompiuteriai viduje konvertuoja į dvejetainę

Programuotojų trumpinys dvejetainei sistemai

Šešioliktainė sistema yra modernus standartas kompaktiškam dvejetainės sistemos vaizdavimui. Vienas šešioliktainis skaitmuo = lygiai 4 bitai (2⁴=16).

• Skaitmenys: {0-9, A-F}, kur A=10...F=15
• Kiekvienas šešioliktainis skaitmuo = 4 bitai: F₁₆ = 1111₂
• Vienas baitas = 2 šešioliktainiai skaitmenys: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB spalvos: #FF5733 = raudona(255) žalia(87) mėlyna(51)
• Atminties adresai: 0x7FFF8A2C

Matematiškai efektyviausia bazė

Trejetainė sistema naudoja skaitmenis {0,1,2}. Efektyviausias radiksas skaičių vaizdavimui (artimiausias e=2.718).

• Optimalus matematinis efektyvumas
• Subalansuota trejetainė: {-,0,+} simetriška
• Trejetainė logika fuzzy sistemose
• Pasiūlyta kvantiniam kompiuteriui (kutritai)

Praktiška alternatyva dešimtainei

Pagrindas 12 turi daugiau daliklių (2,3,4,6) nei 10 (2,5), supaprastinant trupmenas. Naudojama laike, dešimtyse, coliuose/pėdose.

• Laikas: 12 valandų laikrodis, 60 minučių (5×12)
• Imperinė: 12 colių = 1 pėda
• Lengvesnės trupmenos: 1/3 = 0.4₁₂
• Dvyliktainė draugija agituoja už priėmimą

Skaičiavimas dvidešimtimis

Pagrindo 20 sistemos išsivystė iš skaičiavimo ant pirštų ir kojų pirštų. Majų, actekų, keltų ir baskų pavyzdžiai.

• Majų kalendoriaus sistema
• Prancūzų kalba: quatre-vingts (80)
• Anglų kalba: 'score' = 20
• Inuitų tradicinis skaičiavimas

Maksimali raidžių ir skaičių bazė

Naudoja visus dešimtainius skaitmenis (0-9) ir visas raides (A-Z). Kompaktiška ir žmogui skaitoma.

• URL trumpintuvai: kompaktiškos nuorodos
• Licencijų raktai: programinės įrangos aktyvavimas
• Duomenų bazių ID: įvedami identifikatoriai
• Sekimo kodai: paketai, užsakymai

Senovės Roma (500 pr. Kr. - 1500 po Kr.)

Dominuoja Europoje 2000 metų. Kiekvienas simbolis turi fiksuotą vertę: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Vis dar naudojami: laikrodžiuose, Super Bowl, kontūruose
• Nėra nulio: skaičiavimo sunkumai
• Atimties taisyklės: IV=4, IX=9, XL=40
• Riboti: standartas siekia 3999
• Pakeisti hindu-arabiškais skaitmenimis

Senovės Babilonija (3000 pr. Kr.)

Seniausia išlikusi sistema. 60 turi 12 daliklių, todėl trupmenos yra lengvesnės. Naudojama laikui ir kampams.

• Laikas: 60 sekundžių/minutėje, 60 minučių/valandoje
• Kampai: 360° apskritimas, 60 lanko minučių
• Dalumas: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 švarūs
• Babilonijos astronominiai skaičiavimai

Kiekvienas dešimtainis skaitmuo koduojamas kaip 4 bitai

BCD vaizduoja kiekvieną dešimtainį skaitmenį (0-9) kaip 4 bitų dvejetainį. 392 tampa 0011 1001 0010. Išvengia slankiojo kablelio klaidų.

• Finansinės sistemos: tikslus dešimtainis
• Skaitmeniniai laikrodžiai ir skaičiuotuvai
• IBM mainframe'ai: dešimtainis vienetas
• Kreditinių kortelių magnetinės juostelės

Gretimos vertės skiriasi vienu bitu

Grėjaus kodas užtikrina, kad tarp paeiliui einančių skaičių pasikeistų tik vienas bitas. Kritiškai svarbus analoginio-skaitmeninio konvertavimo procesui.

• Rotaciniai enkoderiai: padėties jutikliai
• Analoginio-skaitmeninio konvertavimas
• Karnaugh žemėlapiai: logikos supaprastinimas
• Klaidų taisymo kodai

Programuotojai kasdien dirba su keliomis bazėmis:

• Atminties adresai: 0x7FFEE4B2A000 (šešioliktainė)
• Bitų vėliavėlės: 0b10110101 (dvejetainė)
• Spalvų kodai: #FF5733 (šešioliktainė RGB)
• Failų leidimai: chmod 755 (aštuntainė)
• Derinimas: hexdump, atminties inspekcija

Tinklų protokolai naudoja šešioliktainę ir dvejetainę sistemas:

• MAC adresai: 00:1A:2B:3C:4D:5E (šešioliktainė)
• IPv4: 192.168.1.1 = dvejetainė notacija
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (šešioliktainė)
• Potinklių kaukės: 255.255.255.0 = /24
• Paketų inspekcija: Wireshark šešioliktainė

Techninės įrangos projektavimas dvejetainiu lygmeniu:

• Loginiai elementai: AND, OR, NOT dvejetainiai
• CPU registrai: 64 bitai = 16 šešioliktainių skaitmenų
• Asemblerio kalba: opkodai šešioliktainėje sistemoje
• FPGA programavimas: dvejetainiai srautai
• Techninės įrangos derinimas: loginiai analizatoriai

Skaičių teorija nagrinėja savybes:

• Modulinė aritmetika: įvairios bazės
• Kriptografija: RSA, elipsinės kreivės
• Fraktalų generavimas: Cantor aibė trejetainėje sistemoje
• Pirminių skaičių modeliai
• Kombinatorika: skaičiavimo modeliai

Išplėskite naudodami pozicines vertes:

• Nustatykite bazę ir skaitmenis
• Priskirkite pozicijas iš dešinės į kairę (0, 1, 2...)
• Konvertuokite skaitmenis į dešimtaines vertes
• Padauginkite: skaitmuo × bazė^pozicija
• Suskaičiuokite visų narių sumą

Pakartotinai dalykite iš tikslinės bazės:

• Padalykite skaičių iš tikslinės bazės
• Užrašykite liekaną (dešiniausias skaitmuo)
• Vėl padalykite dalmenį iš bazės
• Kartokite, kol dalmuo bus 0
• Skaitykite liekanas iš apačios į viršų

Sugrupuokite dvejetainius bitus:

• Dvejetainė → Šešioliktainė: grupuokite po 4 bitus
• Dvejetainė → Aštuntainė: grupuokite po 3 bitus
• Šešioliktainė → Dvejetainė: išplėskite kiekvieną skaitmenį iki 4 bitų
• Aštuntainė → Dvejetainė: išplėskite iki 3 bitų kiekvienam skaitmeniui
• Visiškai praleiskite dešimtainį konvertavimą!

Triukai dažniems konvertavimams:

• 2 laipsniai: įsiminkite 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Šešioliktainė: F=15, FF=255, FFF=4095
• Aštuntainė 777 = dvejetainė 111111111
• Dvigubinimas/dalijimas per pusę: dvejetainis poslinkis
• Naudokite skaičiuotuvo programuotojo režimą

Kaskart, kai pažiūrite į laikrodį, naudojate 5000 metų senumo Babilonijos pagrindo 60 sistemą. Jie pasirinko 60, nes jis turi 12 daliklių, todėl trupmenos yra lengvesnės.

1999 m. NASA 125 milijonų dolerių vertės Marso orbiteris buvo sunaikintas dėl vienetų konvertavimo klaidų – viena komanda naudojo imperinę sistemą, kita – metrinę. Brangi tikslumo pamoka.

Romėniški skaitmenys neturi nulio ir neigiamų skaičių. Tai padarė aukštesniąją matematiką beveik neįmanomą, kol hindu-arabiški skaitmenys (0-9) nepakeitė matematikos.

Apollo Valdymo Kompiuteris viską rodė aštuntainėje sistemoje (pagrindas 8). Astronautai įsiminė aštuntainius kodus programoms, kurios nuleido žmones ant Mėnulio.

RGB spalvų kodai naudoja šešioliktainę sistemą: #RRGGBB, kur kiekviena yra 00-FF (0-255). Tai suteikia 256³ = 16 777 216 galimų spalvų 24 bitų tikroje spalvoje.

Sovietų mokslininkai 1950-70 m. kūrė trejetainius (pagrindo 3) kompiuterius. „Setun“ kompiuteris naudojo -1, 0, +1 logiką vietoj dvejetainės. Dvejetainė infrastruktūra laimėjo.

Dvejetainė sistema puikiai atitinka elektronines grandines: įjungta/išjungta, aukšta/žema įtampa. Dviejų būsenų sistemos yra patikimos, greitos ir lengvai gaminamos. Dešimtainė sistema reikalautų 10 skirtingų įtampos lygių, todėl grandinės taptų sudėtingos ir linkusios į klaidas.

Įsiminkite 16 šešioliktainės-dvejetainės atitikmenų (0=0000...F=1111). Konvertuokite kiekvieną šešioliktainį skaitmenį atskirai: A5₁₆ = 1010|0101₂. Sugrupuokite dvejetainę po 4 iš dešinės, kad atvirkščiai konvertuotumėte: 110101₂ = 35₁₆. Dešimtainės sistemos nereikia!

Būtina programuojant (atminties adresai, bitų operacijos), tinkluose (IP adresai, MAC adresai), derinant (atminties išklotinės), skaitmeninėje elektronikoje (logikos projektavimas) ir saugume (kriptografija, maiša).

Šešioliktainė sistema sutampa su baitų ribomis (8 bitai = 2 šešioliktainiai skaitmenys), o aštuntainė ne (8 bitai = 2.67 aštuntainiai skaitmenys). Šiuolaikiniai kompiuteriai yra orientuoti į baitus, todėl šešioliktainė yra patogesnė. Tik Unix failų leidimai išlaiko aštuntainės sistemos aktualumą.

Nėra lengvo tiesioginio metodo. Aštuntainė grupuoja dvejetainę po 3, šešioliktainė – po 4. Reikia konvertuoti per dvejetainę: aštuntainė→dvejetainė (3 bitai)→šešioliktainė (4 bitai). Pavyzdys: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Arba naudokite dešimtainę kaip tarpinę.

Tradicija ir estetika. Naudojami formalumui (Super Bowl, filmai), išskyrimui (kontūrai), amžinumui (nėra šimtmečio dviprasmybių) ir dizaino elegancijai. Nėra praktiški skaičiavimams, bet kultūriškai išlieka.

Kiekviena bazė turi griežtas taisykles. Bazė 8 negali turėti 8 ar 9. Jei parašysite 189₈, tai negalioja. Konverteriai tai atmes. Programavimo kalbos tai priverčia: '09' sukelia klaidas aštuntainiuose kontekstuose.

Bazė 1 (vienetinė) naudoja vieną simbolį (brūkšnelius). Ji nėra tikrai pozicinė: 5 = '11111' (penki brūkšneliai). Naudojama primityviam skaičiavimui, bet nepraktiška. Juokelis: vienetinė yra lengviausia bazė – tiesiog tęskite skaičiavimą!