Asas mana-mana sistem nombor

Asas menentukan berapa banyak digit unik yang digunakan dan bagaimana nilai tempat meningkat. Asas 10 menggunakan digit 0-9. Asas 2 (binari) menggunakan 0-1. Asas 16 (heksadesimal) menggunakan 0-9 serta A-F.

Dalam asas 8 (oktal): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Simbol yang mewakili nilai dalam sistem nombor

Setiap asas memerlukan simbol unik untuk nilai 0 hingga (asas-1). Binari menggunakan {0,1}. Perpuluhan menggunakan {0-9}. Heksadesimal berkembang kepada {0-9, A-F} di mana A=10...F=15.

2F3₁₆ dalam heksadesimal = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Menterjemah nombor antara sistem yang berbeza

Penukaran melibatkan pengembangan kepada perpuluhan menggunakan nilai kedudukan, kemudian menukar kepada asas sasaran. Dari mana-mana asas ke perpuluhan: jumlah digit×asas^kedudukan.

1011₂ → perpuluhan: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Bahasa komputer - hanya 0 dan 1

Binari adalah asas kepada semua sistem digital. Setiap operasi komputer dikurangkan kepada binari. Setiap digit (bit) mewakili keadaan hidup/mati.

• Digit: {0, 1} - set simbol minimum
• Satu bait = 8 bit, mewakili 0-255 dalam perpuluhan
• Kuasa 2 adalah nombor bulat: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Penambahan mudah: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Digunakan dalam: CPU, memori, rangkaian, logik digital

Perwakilan binari padat menggunakan digit 0-7

Oktal mengumpulkan digit binari dalam set tiga (2³=8). Setiap digit oktal = tepat 3 bit binari.

• Digit: {0-7} - tiada 8 atau 9 wujud
• Setiap digit oktal = 3 bit binari: 7₈ = 111₂
• Kebenaran Unix: 755 = rwxr-xr-x
• Sejarah: minikomputer awal
• Kurang biasa hari ini: heksadesimal telah menggantikan oktal

Sistem nombor manusia universal

Perpuluhan adalah standard untuk komunikasi manusia di seluruh dunia. Struktur asas-10nya berkembang daripada mengira dengan jari.

• Digit: {0-9} - sepuluh simbol
• Semula jadi untuk manusia: 10 jari
• Notasi saintifik menggunakan perpuluhan: 6.022×10²³
• Mata wang, ukuran, kalendar
• Komputer menukar kepada binari secara dalaman

Singkatan pengaturcara untuk binari

Heksadesimal adalah standard moden untuk mewakili binari secara padat. Satu digit heksadesimal = tepat 4 bit (2⁴=16).

• Digit: {0-9, A-F} di mana A=10...F=15
• Setiap digit heksadesimal = 4 bit: F₁₆ = 1111₂
• Satu bait = 2 digit heksadesimal: FF₁₆ = 255₁₀
• Warna RGB: #FF5733 = merah(255) hijau(87) biru(51)
• Alamat memori: 0x7FFF8A2C

Asas paling cekap secara matematik

Ternari menggunakan digit {0,1,2}. Radiks paling cekap untuk mewakili nombor (paling hampir dengan e=2.718).

• Kecekapan matematik optimum
• Ternari seimbang: {-,0,+} simetri
• Logik ternari dalam sistem kabur
• Dicadangkan untuk pengkomputeran kuantum (qutrit)

Alternatif praktikal kepada perpuluhan

Asas 12 mempunyai lebih banyak pembahagi (2,3,4,6) daripada 10 (2,5), memudahkan pecahan. Digunakan dalam masa, dozen, inci/kaki.

• Masa: jam 12 jam, 60 minit (5×12)
• Imperial: 12 inci = 1 kaki
• Pecahan lebih mudah: 1/3 = 0.4₁₂
• Persatuan Duodesimal menyokong penggunaan

Mengira dengan dua puluh

Sistem asas 20 berkembang daripada mengira jari tangan + jari kaki. Contoh Mayan, Aztec, Celtic, dan Basque.

• Sistem kalendar Mayan
• Perancis: quatre-vingts (80)
• Inggeris: 'score' = 20
• Pengiraan tradisional Inuit

Asas alfanumerik maksimum

Menggunakan semua digit perpuluhan (0-9) serta semua huruf (A-Z). Padat dan boleh dibaca oleh manusia.

• Pemendek URL: pautan padat
• Kunci lesen: pengaktifan perisian
• ID pangkalan data: pengecam yang boleh ditaip
• Kod penjejakan: bungkusan, pesanan

Rom Purba (500 SM - 1500 M)

Menguasai Eropah selama 2000 tahun. Setiap simbol mempunyai nilai tetap: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Masih digunakan: jam, Super Bowl, rangka
• Tiada sifar: kesukaran pengiraan
• Peraturan penolakan: IV=4, IX=9, XL=40
• Terhad: standard sehingga 3999
• Digantikan oleh angka Hindu-Arab

Babilon Purba (3000 SM)

Sistem tertua yang masih wujud. 60 mempunyai 12 pembahagi, menjadikan pecahan lebih mudah. Digunakan untuk masa dan sudut.

• Masa: 60 saat/minit, 60 minit/jam
• Sudut: bulatan 360°, 60 minit lengkok
• Kebolehbahagian: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 bersih
• Pengiraan astronomi Babylon

Setiap digit perpuluhan dikodkan sebagai 4 bit

BCD mewakili setiap digit perpuluhan (0-9) sebagai binari 4-bit. 392 menjadi 0011 1001 0010. Mengelakkan ralat titik terapung.

• Sistem kewangan: perpuluhan tepat
• Jam digital dan kalkulator
• Kerangka utama IBM: unit perpuluhan
• Jalur magnetik kad kredit

Nilai bersebelahan berbeza dengan satu bit

Kod Gray memastikan hanya satu bit berubah antara nombor berturut-turut. Kritikal untuk penukaran analog-ke-digital.

• Pengekod putar: sensor kedudukan
• Penukaran analog-ke-digital
• Peta Karnaugh: pemudahan logik
• Kod pembetulan ralat

Pengaturcara bekerja dengan pelbagai asas setiap hari:

• Alamat memori: 0x7FFEE4B2A000 (heksadesimal)
• Bendera bit: 0b10110101 (binari)
• Kod warna: #FF5733 (heksadesimal RGB)
• Kebenaran fail: chmod 755 (oktal)
• Penyahpepijatan: hexdump, pemeriksaan memori

Protokol rangkaian menggunakan heksadesimal dan binari:

• Alamat MAC: 00:1A:2B:3C:4D:5E (heksadesimal)
• IPv4: 192.168.1.1 = notasi binari
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (heksadesimal)
• Topeng subrangkaian: 255.255.255.0 = /24
• Pemeriksaan paket: Wireshark heksadesimal

Reka bentuk perkakasan pada tahap binari:

• Get logik: AND, OR, NOT binari
• Daftar CPU: 64-bit = 16 digit heksadesimal
• Bahasa himpunan: kod operasi dalam heksadesimal
• Pengaturcaraan FPGA: aliran binari
• Penyahpepijatan perkakasan: penganalisis logik

Teori nombor meneroka sifat-sifat:

• Aritmetik modular: pelbagai asas
• Kriptografi: RSA, lengkung elips
• Penjanaan fraktal: set Cantor ternari
• Corak nombor perdana
• Kombinatorik: corak pengiraan

Kembangkan menggunakan nilai kedudukan:

• Kenal pasti asas dan digit
• Tetapkan kedudukan dari kanan ke kiri (0, 1, 2...)
• Tukar digit kepada nilai perpuluhan
• Darab: digit × asas^kedudukan
• Jumlahkan semua sebutan

Bahagi berulang kali dengan asas sasaran:

• Bahagikan nombor dengan asas sasaran
• Catat baki (digit paling kanan)
• Bahagikan hasil bahagi dengan asas sekali lagi
• Ulang sehingga hasil bahagi adalah 0
• Baca baki dari bawah ke atas

Kumpulkan bit binari:

• Binari → Heksadesimal: kumpulkan mengikut 4 bit
• Binari → Oktal: kumpulkan mengikut 3 bit
• Heksadesimal → Binari: kembangkan setiap digit kepada 4 bit
• Oktal → Binari: kembangkan kepada 3 bit setiap digit
• Langkau penukaran perpuluhan sepenuhnya!

Trik untuk penukaran biasa:

• Kuasa 2: hafal 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Heksadesimal: F=15, FF=255, FFF=4095
• Oktal 777 = binari 111111111
• Menggandakan/membahagi dua: anjakan binari
• Gunakan mod pengaturcara kalkulator

Setiap kali anda memeriksa jam, anda menggunakan sistem asas-60 Babylon yang berusia 5000 tahun. Mereka memilih 60 kerana ia mempunyai 12 pembahagi, menjadikan pecahan lebih mudah.

Pada tahun 1999, pengorbit Marikh NASA bernilai $125 juta musnah akibat ralat penukaran unit - satu pasukan menggunakan imperial, satu lagi metrik. Satu pengajaran yang mahal tentang ketepatan.

Angka Roman tidak mempunyai sifar dan tiada negatif. Ini menjadikan matematik lanjutan hampir mustahil sehingga angka Hindu-Arab (0-9) merevolusikan matematik.

Komputer Panduan Apollo memaparkan semuanya dalam oktal (asas 8). Angkasawan menghafal kod oktal untuk program yang mendaratkan manusia di Bulan.

Kod warna RGB menggunakan heksadesimal: #RRGGBB di mana setiap satunya adalah 00-FF (0-255). Ini memberikan 256³ = 16,777,216 warna yang mungkin dalam warna sebenar 24-bit.

Penyelidik Soviet membina komputer ternari (asas-3) pada tahun 1950-an-70-an. Komputer Setun menggunakan logik -1, 0, +1 dan bukannya binari. Infrastruktur binari menang.

Binari memetakan dengan sempurna kepada litar elektronik: hidup/mati, voltan tinggi/rendah. Sistem dua keadaan adalah boleh dipercayai, cepat, dan mudah untuk dihasilkan. Perpuluhan akan memerlukan 10 aras voltan yang berbeza, menjadikan litar kompleks dan terdedah kepada ralat.

Hafal 16 pemetaan heksadesimal-ke-binari (0=0000...F=1111). Tukar setiap digit heksadesimal secara bebas: A5₁₆ = 1010|0101₂. Kumpulkan binari dengan 4 dari kanan untuk menterbalikkan: 110101₂ = 35₁₆. Tiada perpuluhan diperlukan!

Penting untuk pengaturcaraan (alamat memori, operasi bit), rangkaian (alamat IP, alamat MAC), penyahpepijatan (buangan memori), elektronik digital (reka bentuk logik), dan keselamatan (kriptografi, hashing).

Heksadesimal sejajar dengan sempadan bait (8 bit = 2 digit heksadesimal), manakala oktal tidak (8 bit = 2.67 digit oktal). Komputer moden berorientasikan bait, menjadikan heksadesimal lebih mudah. Hanya kebenaran fail Unix yang mengekalkan relevansi oktal.

Tiada kaedah langsung yang mudah. Oktal mengumpulkan binari dengan 3, heksadesimal dengan 4. Mesti menukar melalui binari: oktal→binari (3 bit)→heksadesimal (4 bit). Contoh: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Atau gunakan perpuluhan sebagai perantara.

Tradisi dan estetika. Digunakan untuk formaliti (Super Bowl, filem), perbezaan (rangka), keabadian (tiada kekaburan abad), dan keanggunan reka bentuk. Tidak praktikal untuk pengiraan tetapi berterusan secara budaya.

Setiap asas mempunyai peraturan yang ketat. Asas 8 tidak boleh mengandungi 8 atau 9. Jika anda menulis 189₈, ia tidak sah. Penukar akan menolaknya. Bahasa pengaturcaraan menguatkuasakan ini: '09' menyebabkan ralat dalam konteks oktal.

Asas 1 (unari) menggunakan satu simbol (tanda gundal). Tidak benar-benar kedudukan: 5 = '11111' (lima tanda). Digunakan untuk pengiraan primitif tetapi tidak praktikal. Gurauan: unari adalah asas paling mudah - teruskan sahaja mengira!