あらゆる数の体系の基礎

基数は、使用される固有の数字の数と、位の値がどのように増加するかを決定します。基数10は0-9の数字を使用します。基数2（二進法）は0-1を使用します。基数16（十六進法）は0-9に加えてA-Fを使用します。

基数8（八進法）では：157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

数の体系で値を表す記号

各基数には、0から（基数-1）までの値に対する固有の記号が必要です。二進法は{0,1}を使用します。十進法は{0-9}を使用します。十六進法は{0-9, A-F}に拡張され、A=10...F=15です。

十六進法の2F3₁₆ = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

異なる体系間で数を変換すること

変換には、位の値を使用して十進法に展開し、その後、対象の基数に変換することが含まれます。任意の基数から十進法へ：合計 数字×基数^位置。

1011₂ → 十進法：8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

コンピュータの言語 - 0と1のみ

二進法はすべてのデジタルシステムの基礎です。すべてのコンピュータ操作は二進法に還元されます。各桁（ビット）はオン/オフの状態を表します。

• 数字：{0, 1} - 最小の記号セット
• 1バイト = 8ビット、十進法で0-255を表す
• 2のべき乗はキリの良い数です：1024₁₀ = 10000000000₂
• 単純な足し算：0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• 使用分野：CPU、メモリ、ネットワーク、デジタル論理

0-7の数字を使用したコンパクトな二進表現

八進法は二進数の桁を3つずつグループ化します（2³=8）。各八進数の桁は、正確に3つの二進ビットに相当します。

• 数字：{0-7} - 8や9は存在しない
• 各八進数の桁 = 3つの二進ビット：7₈ = 111₂
• Unixのパーミッション：755 = rwxr-xr-x
• 歴史的：初期のミニコンピュータ
• 今日ではあまり一般的ではない：十六進法が八進法に取って代わった

普遍的な人間の数の体系

十進法は世界中の人間のコミュニケーションの標準です。その基数10の構造は、指で数えることから発展しました。

• 数字：{0-9} - 10個の記号
• 人間にとって自然：10本の指
• 科学的記数法は十進法を使用します：6.022×10²³
• 通貨、測定、カレンダー
• コンピュータは内部的に二進法に変換します

プログラマの二進法に対する速記法

十六進法は、二進数をコンパクトに表現するための現代的な標準です。1つの十六進数の桁は、正確に4ビットに相当します（2⁴=16）。

• 数字：{0-9, A-F}、ここでA=10...F=15
• 各十六進数の桁 = 4ビット：F₁₆ = 1111₂
• 1バイト = 2つの十六進数の桁：FF₁₆ = 255₁₀
• RGBカラー：#FF5733 = 赤(255) 緑(87) 青(51)
• メモリアドレス：0x7FFF8A2C

数学的に最も効率的な基数

三進法は{0,1,2}の数字を使用します。数を表現するのに最も効率的な基数です（e=2.718に最も近い）。

• 最適な数学的効率
• 平衡三進法：{-,0,+} 対称
• ファジィシステムにおける三値論理
• 量子コンピューティング（キュートリット）に提案

十進法の実用的な代替案

基数12は10（2,5）よりも多くの約数（2,3,4,6）を持ち、分数を単純化します。時間、ダース、インチ/フィートで使用されます。

• 時間：12時間制、60分（5×12）
• ヤード・ポンド法：12インチ = 1フィート
• 分数がより簡単：1/3 = 0.4₁₂
• 十二進法協会が採用を提唱

20単位で数える

基数20の体系は、手と足の指で数えることから発展しました。マヤ、アステカ、ケルト、バスクの例があります。

• マヤ暦
• フランス語：quatre-vingts（80）
• 英語：「score」= 20
• イヌイットの伝統的な数え方

最大の英数字基数

すべての十進数字（0-9）とすべてのアルファベット（A-Z）を使用します。コンパクトで人間が読みやすい。

• URL短縮サービス：コンパクトなリンク
• ライセンスキー：ソフトウェアのアクティベーション
• データベースID：入力可能な識別子
• 追跡コード：荷物、注文

古代ローマ（紀元前500年 - 紀元1500年）

2000年にわたりヨーロッパを支配しました。各記号には固定値があります：I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000。

• 現在も使用：時計、スーパーボウル、アウトライン
• ゼロがない：計算上の困難
• 減算則：IV=4, IX=9, XL=40
• 限定的：標準は3999まで
• インド・アラビア数字に取って代わられた

古代バビロニア（紀元前3000年）

現存する最古の体系。60には12の約数があり、分数が扱いやすい。時間や角度に使用されました。

• 時間：60秒/分、60分/時
• 角度：360°の円、60分
• 割りやすさ：1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6がきれいに割り切れる
• バビロニアの天文学的計算

各十進数の桁を4ビットでエンコード

BCDは、各十進数の桁（0-9）を4ビットの二進数として表現します。392は0011 1001 0010になります。浮動小数点エラーを回避します。

• 金融システム：正確な十進数
• デジタル時計と電卓
• IBMメインフレーム：十進演算装置
• クレジットカードの磁気ストライプ

隣接する値が1ビットだけ異なる

グレイコードは、連続する数値間で1ビットしか変化しないことを保証します。アナログ-デジタル変換に不可欠です。

• ロータリーエンコーダ：位置センサー
• アナログ-デジタル変換
• カルノー図：論理の簡略化
• 誤り訂正符号

プログラマは日常的に複数の基数を扱います：

• メモリアドレス：0x7FFEE4B2A000（十六進法）
• ビットフラグ：0b10110101（二進法）
• カラーコード：#FF5733（十六進法RGB）
• ファイルパーミッション：chmod 755（八進法）
• デバッグ：hexdump、メモリ検査

ネットワークプロトコルは十六進法と二進法を使用します：

• MACアドレス：00:1A:2B:3C:4D:5E（十六進法）
• IPv4：192.168.1.1 = 二進表記
• IPv6：2001:0db8:85a3::（十六進法）
• サブネットマスク：255.255.255.0 = /24
• パケット検査：Wireshark十六進法

二進レベルでのハードウェア設計：

• 論理ゲート：AND, OR, NOT 二進法
• CPUレジスタ：64ビット = 16桁の十六進数
• アセンブリ言語：十六進法のオペコード
• FPGAプログラミング：二進ストリーム
• ハードウェアデバッグ：ロジックアナライザ

数論は特性を探求します：

• 合同算術：さまざまな基数
• 暗号理論：RSA、楕円曲線
• フラクタル生成：カントール集合の三進法
• 素数のパターン
• 組み合わせ論：数え上げのパターン

位の値を使用して展開します：

• 基数と数字を特定します
• 右から左へ位置を割り当てます（0, 1, 2...）
• 数字を十進数の値に変換します
• 掛け算：数字 × 基数^位置
• すべての項を合計します

対象の基数で繰り返し割ります：

• 数を対象の基数で割ります
• 余りを記録します（一番右の桁）
• 商を再び基数で割ります
• 商が0になるまで繰り返します
• 余りを下から上へ読みます

二進ビットをグループ化します：

• 二進法 → 十六進法：4ビットずつグループ化
• 二進法 → 八進法：3ビットずつグループ化
• 十六進法 → 二進法：各桁を4ビットに展開
• 八進法 → 二進法：各桁を3ビットに展開
• 十進変換を完全にスキップします！

一般的な変換のためのトリック：

• 2のべき乗：2¹⁰=1024、2¹⁶=65536を覚える
• 十六進法：F=15、FF=255、FFF=4095
• 八進法 777 = 二進法 111111111
• 倍加/半減：二進シフト
• 電卓のプログラマモードを使用する

時計を見るたびに、5000年前のバビロニアの基数60の体系を使用しています。彼らが60を選んだのは、12の約数があり、分数が扱いやすいためです。

1999年、NASAの1億2500万ドルのマーズ・オービターが単位変換の誤りで破壊されました。一方のチームはヤード・ポンド法を、もう一方はメートル法を使用していました。精度に関する高価な教訓です。

ローマ数字にはゼロも負の数もありません。これにより、インド・アラビア数字（0-9）が数学を革命するまで、高等数学はほとんど不可能でした。

アポロ誘導コンピュータはすべてを八進法（基数8）で表示しました。宇宙飛行士は、人類を月に着陸させたプログラムの八進コードを暗記しました。

RGBカラーコードは十六進法を使用します：#RRGGBB、ここで各値は00-FF（0-255）です。これにより、24ビットトゥルーカラーで256³ = 16,777,216色の可能性があります。

ソビエトの研究者たちは1950年代から70年代にかけて三進法（基数3）のコンピュータを構築しました。セツンコンピュータは、二進法の代わりに-1, 0, +1の論理を使用しました。最終的に二進法のインフラが勝利しました。

二進法は電子回路に完璧に対応します：オン/オフ、高電圧/低電圧。二状態システムは信頼性が高く、高速で、製造が容易です。十進法は10の異なる電圧レベルが必要となり、回路が複雑でエラーが発生しやすくなります。

16の十六進法から二進法への対応（0=0000...F=1111）を覚えます。各十六進数の桁を独立して変換します：A5₁₆ = 1010|0101₂。右から4つずつグループ化して逆に変換します：110101₂ = 35₁₆。十進法は必要ありません！

プログラミング（メモリアドレス、ビット操作）、ネットワーキング（IPアドレス、MACアドレス）、デバッグ（メモリダンプ）、デジタル電子工学（論理設計）、セキュリティ（暗号、ハッシュ）に不可欠です。

十六進法はバイト境界に整列しますが（8ビット = 2つの十六進数の桁）、八進法はそうではありません（8ビット = 2.67の八進数の桁）。現代のコンピュータはバイト指向であり、十六進法がより便利です。Unixのファイルパーミッションだけが八進法の関連性を保っています。

簡単な直接的な方法はありません。八進法は二進数を3つずつ、十六進法は4つずつグループ化します。二進法を経由して変換する必要があります：八進法→二進法（3ビット）→十六進法（4ビット）。例：52₈ = 101010₂ = 2A₁₆。または、十進法を中間として使用します。

伝統と美学。格式（スーパーボウル、映画）、区別（アウトライン）、時代を超越した性質（世紀の曖昧さがない）、デザインの優雅さに使用されます。計算には実用的ではありませんが、文化的に存続しています。

各基数には厳格な規則があります。基数8は8や9を含むことはできません。189₈と書くと無効です。変換ツールはそれを拒否します。プログラミング言語はこれを強制します：「09」は八進法の文脈でエラーを引き起こします。

基数1（一進法）は1つの記号（タリーマーク）を使用します。真の意味で位取りではありません：5 = '11111'（5つのマーク）。原始的な数え方に使用されますが、実用的ではありません。冗談：一進法は最も簡単な基数です - ただ数え続ければよいだけです！