Základ jakékoliv číselné soustavy

Základ určuje, kolik jedinečných číslic se používá a jak se zvyšují hodnoty míst. Základ 10 používá číslice 0-9. Základ 2 (dvojková) používá 0-1. Základ 16 (šestnáctková) používá 0-9 plus A-F.

V základu 8 (osmičková): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Symboly reprezentující hodnoty v číselné soustavě

Každý základ vyžaduje jedinečné symboly pro hodnoty od 0 po (základ-1). Dvojková používá {0,1}. Desítková používá {0-9}. Šestnáctková se rozšiřuje na {0-9, A-F}, kde A=10...F=15.

2F3₁₆ v šestnáctkové = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Překládání čísel mezi různými soustavami

Převod zahrnuje rozvinutí do desítkové soustavy pomocí pozičních hodnot, a poté převod do cílového základu. Z jakéhokoliv základu do desítkové: součet číslice×základ^pozice.

1011₂ → desítková: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Jazyk počítačů - jen 0 a 1

Dvojková soustava je základem všech digitálních systémů. Každá počítačová operace se redukuje na dvojkovou. Každá číslice (bit) reprezentuje stavy zapnuto/vypnuto.

• Číslice: {0, 1} - minimální sada symbolů
• Jeden bajt = 8 bitů, reprezentuje 0-255 v desítkové soustavě
• Mocniny 2 jsou kulatá čísla: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Jednoduché sčítání: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Používá se v: CPU, paměti, sítích, digitální logice

Kompaktní dvojková reprezentace pomocí číslic 0-7

Osmičková soustava seskupuje dvojkové číslice do sad po třech (2³=8). Každá osmičková číslice = přesně 3 dvojkové bity.

• Číslice: {0-7} - neexistuje 8 ani 9
• Každá osmičková číslice = 3 dvojkové bity: 7₈ = 111₂
• Unixová oprávnění: 755 = rwxr-xr-x
• Historicky: rané minipočítače
• Dnes méně běžná: šestnáctková nahradila osmičkovou

Univerzální lidská číselná soustava

Desítková soustava je standardem pro lidskou komunikaci po celém světě. Její struktura se základem 10 se vyvinula z počítání na prstech.

• Číslice: {0-9} - deset symbolů
• Přirozená pro lidi: 10 prstů
• Vědecká notace používá desítkovou soustavu: 6.022×10²³
• Měna, míry, kalendáře
• Počítače interně převádějí na dvojkovou

Programátorská zkratka pro dvojkovou soustavu

Šestnáctková soustava je moderním standardem pro kompaktní reprezentaci dvojkové soustavy. Jedna šestnáctková číslice = přesně 4 bity (2⁴=16).

• Číslice: {0-9, A-F}, kde A=10...F=15
• Každá šestnáctková číslice = 4 bity: F₁₆ = 1111₂
• Jeden bajt = 2 šestnáctkové číslice: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB barvy: #FF5733 = červená(255) zelená(87) modrá(51)
• Paměťové adresy: 0x7FFF8A2C

Matematicky nejefektivnější základ

Trojková soustava používá číslice {0,1,2}. Nejefektivnější radix pro reprezentaci čísel (nejblíže k e=2.718).

• Optimální matematická efektivita
• Vyvážená trojková: {-,0,+} symetrická
• Trojková logika v fuzzy systémech
• Navrhovaná pro kvantové počítače (qutrity)

Praktická alternativa k desítkové

Základ 12 má více dělitelů (2,3,4,6) než 10 (2,5), což zjednodušuje zlomky. Používá se v čase, tuctech, palcích/stopách.

• Čas: 12hodinové hodiny, 60 minut (5×12)
• Imperiální: 12 palců = 1 stopa
• Jednodušší zlomky: 1/3 = 0.4₁₂
• Dvanáctková Společnost obhajuje přijetí

Počítání po dvacítkách

Soustavy se základem 20 se vyvinuly z počítání prstů na rukou a nohou. Příklady u Mayů, Aztéků, Keltů a Basků.

• Mayský kalendářní systém
• Francouzština: quatre-vingts (80)
• Angličtina: 'score' = 20
• Tradiční počítání Inuitů

Maximální alfanumerický základ

Používá všechny desítkové číslice (0-9) plus všechna písmena (A-Z). Kompaktní a čitelné pro člověka.

• Zkracovače URL: kompaktní odkazy
• Licenční klíče: aktivace softwaru
• ID databází: identifikátory, které lze napsat
• Sledovací kódy: balíky, objednávky

Starověký Řím (500 př. n. l. - 1500 n. l.)

Dominovaly v Evropě 2000 let. Každý symbol má pevnou hodnotu: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Stále se používají: hodiny, Super Bowl, osnovy
• Žádná nula: problémy s výpočty
• Pravidla odčítání: IV=4, IX=9, XL=40
• Omezené: standard jde do 3999
• Nahrazeny hindu-arabskými číslicemi

Starověká Babylonie (3000 př. n. l.)

Nejstarší přežívající soustava. 60 má 12 dělitelů, což usnadňuje práci se zlomky. Používá se pro čas a úhly.

• Čas: 60 sekund/minuta, 60 minut/hodina
• Úhly: 360° kruh, 60 obloukových minut
• Dělitelnost: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 čisté
• Babylonské astronomické výpočty

Každá desítková číslice je kódována jako 4 bity

BCD reprezentuje každou desítkovou číslici (0-9) jako 4bitovou dvojkovou. 392 se stává 0011 1001 0010. Vyhýbá se chybám s pohyblivou desetinnou čárkou.

• Finanční systémy: přesná desítková
• Digitální hodiny a kalkulačky
• IBM mainframy: desítková jednotka
• Magnetické proužky kreditních karet

Sousední hodnoty se liší o jeden bit

Grayův kód zajišťuje, že se mezi po sobě jdoucími čísly změní pouze jeden bit. Kritické pro analogově-digitální konverzi.

• Rotační enkodéry: snímače polohy
• Analogově-digitální konverze
• Karnaughovy mapy: zjednodušení logiky
• Kódy na opravu chyb

Programátoři pracují s více základy denně:

• Paměťové adresy: 0x7FFEE4B2A000 (šestnáctková)
• Bitové příznaky: 0b10110101 (dvojková)
• Kódy barev: #FF5733 (šestnáctková RGB)
• Práva k souborům: chmod 755 (osmičková)
• Ladění: hexdump, inspekce paměti

Síťové protokoly používají šestnáctkovou a dvojkovou soustavu:

• MAC adresy: 00:1A:2B:3C:4D:5E (šestnáctková)
• IPv4: 192.168.1.1 = dvojková notace
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (šestnáctková)
• Masky podsítě: 255.255.255.0 = /24
• Inspekce paketů: Wireshark šestnáctková

Návrh hardwaru na dvojkové úrovni:

• Logická hradla: AND, OR, NOT dvojkové
• CPU registry: 64-bit = 16 šestnáctkových číslic
• Jazyk symbolických adres: opkódy v šestnáctkové soustavě
• Programování FPGA: dvojkové proudy
• Ladění hardwaru: logické analyzátory

Teorie čísel zkoumá vlastnosti:

• Modulární aritmetika: různé základy
• Kryptografie: RSA, eliptické křivky
• Generování fraktálů: Cantorova množina trojková
• Vzory prvočísel
• Kombinatorika: vzory počítání

Rozviňte pomocí pozičních hodnot:

• Identifikujte základ a číslice
• Přiřaďte pozice zprava doleva (0, 1, 2...)
• Převeďte číslice na desítkové hodnoty
• Vynásobte: číslice × základ^pozice
• Sečtěte všechny členy

Opakovaně dělte cílovým základem:

• Dělte číslo cílovým základem
• Zaznamenejte zbytek (nejpravější číslice)
• Znovu dělte podíl základem
• Opakujte, dokud podíl není 0
• Čtěte zbytky zdola nahoru

Seskupte dvojkové bity:

• Dvojková → Šestnáctková: seskupte po 4 bity
• Dvojková → Osmičková: seskupte po 3 bity
• Šestnáctková → Dvojková: rozviňte každou číslici na 4 bity
• Osmičková → Dvojková: rozviňte na 3 bity na číslici
• Úplně přeskočte desítkovou konverzi!

Triky pro běžné převody:

• Mocniny 2: zapamatujte si 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Šestnáctková: F=15, FF=255, FFF=4095
• Osmičková 777 = dvojková 111111111
• Zdvojnásobení/polení: dvojkový posun
• Použijte programátorský režim kalkulačky

Pokaždé, když se podíváte na hodiny, používáte 5000 let starý babylonský systém se základem 60. Vybrali si 60, protože má 12 dělitelů, což usnadňuje práci se zlomky.

V roce 1999 byl orbiter Marsu od NASA v hodnotě 125 milionů dolarů zničen kvůli chybám v převodu jednotek - jeden tým použil imperiální systém, druhý metrický. Drahá lekce o přesnosti.

Římské číslice nemají nulu a žádná záporná čísla. To činilo pokročilou matematiku téměř nemožnou, dokud hindu-arabské číslice (0-9) nezrevolucionizovaly matematiku.

Navigační počítač Apollo zobrazoval vše v osmičkové soustavě (základ 8). Astronauti si pamatovali osmičkové kódy pro programy, které dostaly lidi na Měsíc.

RGB barevné kódy používají šestnáctkovou soustavu: #RRGGBB, kde každá je 00-FF (0-255). To dává 256³ = 16 777 216 možných barev v 24bitové skutečné barvě.

Sovětští výzkumníci stavěli trojkové (základ-3) počítače v letech 1950-70. Počítač Setun používal logiku -1, 0, +1 namísto dvojkové. Dvojková infrastruktura zvítězila.

Dvojková soustava dokonale odpovídá elektronickým obvodům: zapnuto/vypnuto, vysoké/nízké napětí. Dvoustavové systémy jsou spolehlivé, rychlé a snadno se vyrábějí. Desítková by vyžadovala 10 odlišných úrovní napětí, což by obvody učinilo složitými a náchylnými na chyby.

Zapamatujte si 16 mapování ze šestnáctkové na dvojkovou (0=0000...F=1111). Převeďte každou šestnáctkovou číslici nezávisle: A5₁₆ = 1010|0101₂. Seskupte dvojkové po 4 zprava pro obrácení: 110101₂ = 35₁₆. Desítková není potřeba!

Nezbytné pro programování (paměťové adresy, bitové operace), síťování (IP adresy, MAC adresy), ladění (výpisy paměti), digitální elektroniku (návrh logiky) a bezpečnost (kryptografie, hashování).

Šestnáctková se shoduje s hranicemi bajtů (8 bitů = 2 šestnáctkové číslice), zatímco osmičková ne (8 bitů = 2.67 osmičkových číslic). Moderní počítače jsou orientovány na bajty, což činí šestnáctkovou pohodlnější. Pouze Unixová práva k souborům udržují osmičkovou relevantní.

Neexistuje žádná snadná přímá metoda. Osmičková seskupuje dvojkové po 3, šestnáctková po 4. Musí se převádět přes dvojkovou: osmičková→dvojková (3 bity)→šestnáctková (4 bity). Příklad: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Nebo použijte desítkovou jako mezikrok.

Tradice a estetika. Používají se pro formálnost (Super Bowl, filmy), rozlišení (osnovy), nadčasovost (žádná nejednoznačnost století) a eleganci designu. Nejsou praktické pro výpočty, ale kulturně přetrvávají.

Každý základ má přísná pravidla. Základ 8 nemůže obsahovat 8 nebo 9. Pokud napíšete 189₈, je to neplatné. Převodníky to odmítnou. Programovací jazyky to vynucují: '09' způsobuje chyby v osmičkových kontextech.

Základ 1 (unární) používá jeden symbol (záznamové značky). Není skutečně poziční: 5 = '11111' (pět značek). Používá se pro primitivní počítání, ale je nepraktický. Vtip: unární je nejjednodušší základ - stačí pokračovat v počítání!