Temelj svakog brojevnog sustava

Baza određuje koliko se jedinstvenih znamenki koristi i kako se povećavaju mjesne vrijednosti. Baza 10 koristi znamenke 0-9. Baza 2 (binarni) koristi 0-1. Baza 16 (heksadecimalni) koristi 0-9 plus A-F.

U bazi 8 (oktalni): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Simboli koji predstavljaju vrijednosti u brojevnom sustavu

Svaka baza zahtijeva jedinstvene simbole za vrijednosti od 0 do (baza-1). Binarni koristi {0,1}. Decimalni koristi {0-9}. Heksadecimalni se proširuje na {0-9, A-F} gdje je A=10...F=15.

2F3₁₆ u heksadecimalnom = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Prevođenje brojeva između različitih sustava

Konverzija uključuje proširenje u decimalni sustav koristeći pozicijske vrijednosti, a zatim konverziju u ciljnu bazu. Iz bilo koje baze u decimalni: zbroj znamenka×baza^pozicija.

1011₂ → decimalni: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Jezik računala - samo 0 i 1

Binarni sustav je temelj svih digitalnih sustava. Svaka računalna operacija se svodi na binarni. Svaka znamenka (bit) predstavlja stanje uključeno/isključeno.

• Znamenke: {0, 1} - minimalni skup simbola
• Jedan bajt = 8 bita, predstavlja 0-255 u decimalnom sustavu
• Potencije broja 2 su okrugli brojevi: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Zbrajanje je jednostavno: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Koristi se u: CPU, memoriji, mrežama, digitalnoj logici

Kompaktni binarni prikaz koristeći znamenke 0-7

Oktalni sustav grupira binarne znamenke u skupove od po tri (2³=8). Svaka oktalna znamenka = točno 3 binarna bita.

• Znamenke: {0-7} - ne postoje 8 ili 9
• Svaka oktalna znamenka = 3 binarna bita: 7₈ = 111₂
• Unix dozvole: 755 = rwxr-xr-x
• Povijesno: rani miniračunala
• Danas manje uobičajen: heksadecimalni je zamijenio oktalni

Univerzalni ljudski brojevni sustav

Decimalni sustav je standard za ljudsku komunikaciju širom svijeta. Njegova struktura baze 10 evoluirala je iz brojanja na prste.

• Znamenke: {0-9} - deset simbola
• Prirodan za ljude: 10 prstiju
• Znanstvena notacija koristi decimalni sustav: 6.022×10²³
• Valuta, mjerenja, kalendari
• Računala interno konvertiraju u binarni

Programerska kratica za binarni

Heksadecimalni sustav je moderni standard za kompaktno predstavljanje binarnog. Jedna heksadecimalna znamenka = točno 4 bita (2⁴=16).

• Znamenke: {0-9, A-F} gdje je A=10...F=15
• Svaka heksadecimalna znamenka = 4 bita: F₁₆ = 1111₂
• Jedan bajt = 2 heksadecimalne znamenke: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB boje: #FF5733 = crvena(255) zelena(87) plava(51)
• Memorijske adrese: 0x7FFF8A2C

Matematički najučinkovitija baza

Ternarni sustav koristi znamenke {0,1,2}. Najučinkovitiji radiks za predstavljanje brojeva (najbliži e=2.718).

• Optimalna matematička učinkovitost
• Balansirani ternarni: {-,0,+} simetričan
• Ternarna logika u fuzzy sustavima
• Predložen za kvantno računarstvo (kutriti)

Praktična alternativa decimalnom

Baza 12 ima više djelitelja (2,3,4,6) od 10 (2,5), što pojednostavljuje razlomke. Koristi se za vrijeme, tucete, inče/stope.

• Vrijeme: 12-satni sat, 60 minuta (5×12)
• Imperijalni: 12 inča = 1 stopa
• Lakši razlomci: 1/3 = 0.4₁₂
• Duodecimalno društvo zagovara usvajanje

Brojanje dvadeseticama

Sustavi baze 20 su evoluirali iz brojanja prstiju na rukama i nogama. Primjeri Maja, Asteka, Kelta i Baska.

• Majanski kalendarski sustav
• Francuski: quatre-vingts (80)
• Engleski: 'score' = 20
• Tradicionalno brojanje Inuita

Maksimalna alfanumerička baza

Koristi sve decimalne znamenke (0-9) plus sva slova (A-Z). Kompaktan i čitljiv za ljude.

• Skraćivači URL-ova: kompaktni linkovi
• Licencni ključevi: aktivacija softvera
• ID-jevi baza podataka: identifikatori koji se mogu tipkati
• Kodovi za praćenje: paketi, narudžbe

Drevni Rim (500 pr.n.e. - 1500 n.e.)

Dominirao Europom 2000 godina. Svaki simbol ima fiksnu vrijednost: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Još uvijek se koriste: satovi, Super Bowl, nacrti
• Nema nule: poteškoće u računanju
• Pravila oduzimanja: IV=4, IX=9, XL=40
• Ograničeni: standard ide do 3999
• Zamijenjeni hindu-arapskim brojevima

Drevni Babilon (3000 pr.n.e.)

Najstariji preživjeli sustav. 60 ima 12 djelitelja, što olakšava razlomke. Koristi se za vrijeme i kutove.

• Vrijeme: 60 sekundi/minuta, 60 minuta/sat
• Kutovi: krug od 360°, 60 lučnih minuta
• Djeljivost: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 čisti
• Babilonski astronomski proračuni

Svaka decimalna znamenka je kodirana kao 4 bita

BCD predstavlja svaku decimalnu znamenku (0-9) kao 4-bitni binarni broj. 392 postaje 0011 1001 0010. Izbjegava greške s pomičnim zarezom.

• Financijski sustavi: točan decimalni
• Digitalni satovi i kalkulatori
• IBM mainframe računala: decimalna jedinica
• Magnetne trake kreditnih kartica

Susjedne vrijednosti se razlikuju za jedan bit

Grayev kod osigurava da se samo jedan bit mijenja između uzastopnih brojeva. Kritičan za analogno-digitalnu konverziju.

• Rotacijski enkoderi: senzori pozicije
• Analogno-digitalna konverzija
• Karnaughove mape: pojednostavljenje logike
• Kodovi za ispravku grešaka

Programeri svakodnevno rade s više baza:

• Memorijske adrese: 0x7FFEE4B2A000 (heksadecimalni)
• Bit flagovi: 0b10110101 (binarni)
• Kodovi boja: #FF5733 (heksadecimalni RGB)
• Dozvole za datoteke: chmod 755 (oktalni)
• Debugiranje: hexdump, inspekcija memorije

Mrežni protokoli koriste heksadecimalni i binarni:

• MAC adrese: 00:1A:2B:3C:4D:5E (heksadecimalni)
• IPv4: 192.168.1.1 = binarna notacija
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (heksadecimalni)
• Maska podmreže: 255.255.255.0 = /24
• Inspekcija paketa: Wireshark heksadecimalni

Dizajn hardvera na binarnoj razini:

• Logička vrata: AND, OR, NOT binarni
• CPU registri: 64-bit = 16 heksadecimalnih znamenki
• Asemblerski jezik: opkodovi u heksadecimalnom
• FPGA programiranje: binarni tokovi
• Debugiranje hardvera: logički analizatori

Teorija brojeva istražuje svojstva:

• Modularna aritmetika: različite baze
• Kriptografija: RSA, eliptičke krivulje
• Generiranje fraktala: Cantorov skup ternarno
• Obrasci prostih brojeva
• Kombinatorika: obrasci brojanja

Proširite koristeći pozicijske vrijednosti:

• Identificirajte bazu i znamenke
• Dodijelite pozicije s desna na lijevo (0, 1, 2...)
• Konvertirajte znamenke u decimalne vrijednosti
• Pomnožite: znamenka × baza^pozicija
• Zbrojite sve članove

Uzastopno dijelite s ciljnom bazom:

• Podijelite broj s ciljnom bazom
• Zabilježite ostatak (krajnja desna znamenka)
• Ponovno podijelite kvocijent s bazom
• Ponavljajte dok kvocijent ne bude 0
• Čitajte ostatke odozdo prema gore

Grupirajte binarne bitove:

• Binarni → Heksadecimalni: grupirajte po 4 bita
• Binarni → Oktalni: grupirajte po 3 bita
• Heksadecimalni → Binarni: proširite svaku znamenku na 4 bita
• Oktalni → Binarni: proširite na 3 bita po znamenci
• Preskočite decimalnu konverziju u potpunosti!

Trikovi za uobičajene konverzije:

• Potencije broja 2: zapamtite 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Heksadecimalni: F=15, FF=255, FFF=4095
• Oktalni 777 = binarni 111111111
• Udvostručavanje/prepolovljavanje: binarni pomak
• Koristite programerski način kalkulatora

Svaki put kada pogledate na sat, koristite 5000 godina star babilonski sustav baze 60. Izabrali su 60 jer ima 12 djelitelja, što olakšava razlomke.

1999. godine, NASA-in Mars orbiter vrijedan 125 milijuna dolara uništen je zbog grešaka u konverziji jedinica - jedan tim je koristio imperijalni, a drugi metrički sustav. Skupa lekcija o preciznosti.

Rimski brojevi nemaju nulu i nemaju negativne brojeve. To je učinilo naprednu matematiku gotovo nemogućom sve dok hindu-arapski brojevi (0-9) nisu revolucionirali matematiku.

Apollo Vodeće Računalo je sve prikazivalo u oktalnom sustavu (baza 8). Astronauti su pamtili oktalne kodove za programe koji su spustili ljude na Mjesec.

RGB kodovi boja koriste heksadecimalni sustav: #RRGGBB gdje je svaki 00-FF (0-255). To daje 256³ = 16.777.216 mogućih boja u 24-bitnoj pravoj boji.

Sovjetski istraživači su gradili ternarna (baza-3) računala 1950-ih i 70-ih godina. Računalo Setun je koristilo logiku -1, 0, +1 umjesto binarne. Binarna infrastruktura je pobijedila.

Binarni se savršeno preslikava na elektronička kola: uključeno/isključeno, visok/nizak napon. Sustavi s dva stanja su pouzdani, brzi i laki za proizvodnju. Decimalni bi zahtijevao 10 različitih razina napona, što bi kola učinilo složenim i sklonim greškama.

Zapamtite 16 mapiranja heksadecimalni-u-binarni (0=0000...F=1111). Konvertirajte svaku heksadecimalnu znamenku neovisno: A5₁₆ = 1010|0101₂. Grupirajte binarni po 4 s desna da biste obrnuli: 110101₂ = 35₁₆. Decimalni nije potreban!

Neophodno za programiranje (memorijske adrese, bit operacije), umrežavanje (IP adrese, MAC adrese), debugiranje (memorijski dumpovi), digitalnu elektroniku (logički dizajn) i sigurnost (kriptografija, heširanje).

Heksadecimalni se poravnava s granicama bajta (8 bita = 2 heksadecimalne znamenke), dok oktalni ne (8 bita = 2.67 oktalnih znamenki). Moderna računala su orijentirana na bajtove, što heksadecimalni čini praktičnijim. Samo Unix dozvole za datoteke održavaju oktalni relevantnim.

Nema lake izravne metode. Oktalni grupira binarni po 3, heksadecimalni po 4. Mora se konvertirati preko binarnog: oktalni→binarni (3 bita)→heksadecimalni (4 bita). Primjer: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Ili koristite decimalni kao posrednika.

Tradicija i estetika. Koriste se za formalnost (Super Bowl, filmovi), razlikovanje (nacrti), bezvremenost (nema dvosmislenosti stoljeća) i eleganciju dizajna. Nisu praktični za računanje, ali su kulturno postojani.

Svaka baza ima stroga pravila. Baza 8 ne može sadržavati 8 ili 9. Ako napišete 189₈, to je nevažeće. Pretvarači će to odbiti. Programski jezici to nameću: '09' uzrokuje greške u oktalnim kontekstima.

Baza 1 (unarni) koristi jedan simbol (crtice). Nije zaista pozicijski: 5 = '11111' (pet crtica). Koristi se za primitivno brojanje, ali je nepraktičan. Šala: unarni je najlakša baza - samo nastavite brojati!