أساس أي نظام عددي

يحدد الأساس عدد الأرقام الفريدة المستخدمة وكيفية زيادة قيم المواضع. يستخدم الأساس 10 الأرقام من 0 إلى 9. يستخدم الأساس 2 (الثنائي) 0 و 1. يستخدم الأساس 16 (السداسي عشري) 0-9 بالإضافة إلى A-F.

في الأساس 8 (الثماني): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

الرموز التي تمثل القيم في نظام الأعداد

يتطلب كل أساس رموزًا فريدة للقيم من 0 إلى (الأساس - 1). يستخدم النظام الثنائي {0,1}. يستخدم النظام العشري {0-9}. يمتد النظام السداسي عشري إلى {0-9, A-F} حيث A=10...F=15.

2F3₁₆ في النظام السداسي عشري = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

ترجمة الأرقام بين الأنظمة المختلفة

يتضمن التحويل التوسع إلى النظام العشري باستخدام القيم الموضعية، ثم التحويل إلى الأساس المستهدف. من أي أساس إلى النظام العشري: مجموع الرقم × الأساس^الموضع.

1011₂ → عشري: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

لغة الحواسيب - فقط 0 و 1

النظام الثنائي هو أساس جميع الأنظمة الرقمية. يتم اختزال كل عملية حاسوبية إلى النظام الثنائي. يمثل كل رقم (بت) حالات التشغيل/الإيقاف.

• الأرقام: {0, 1} - أصغر مجموعة من الرموز
• بايت واحد = 8 بت، يمثل 0-255 في النظام العشري
• قوى العدد 2 هي أرقام مستديرة: 1024₁₀ = 10000000000₂
• الجمع بسيط: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• يستخدم في: وحدات المعالجة المركزية، الذاكرة، الشبكات، المنطق الرقمي

تمثيل ثنائي مضغوط باستخدام الأرقام 0-7

يجمع النظام الثماني الأرقام الثنائية في مجموعات من ثلاثة (2³=8). كل رقم ثماني = 3 بتات ثنائية بالضبط.

• الأرقام: {0-7} - لا يوجد 8 أو 9
• كل رقم ثماني = 3 بتات ثنائية: 7₈ = 111₂
• أذونات يونكس: 755 = rwxr-xr-x
• تاريخيًا: الحواسيب الصغيرة المبكرة
• أقل شيوعًا اليوم: حل النظام السداسي عشري محل النظام الثماني

نظام الأعداد البشري العالمي

النظام العشري هو المعيار للتواصل البشري في جميع أنحاء العالم. تطورت بنيته ذات الأساس 10 من العد على الأصابع.

• الأرقام: {0-9} - عشرة رموز
• طبيعي للبشر: 10 أصابع
• يستخدم الترميز العلمي النظام العشري: 6.022×10²³
• العملات، القياسات، التقاويم
• تقوم الحواسيب بالتحويل إلى النظام الثنائي داخليًا

اختصار المبرمجين للنظام الثنائي

النظام السداسي عشري هو المعيار الحديث لتمثيل النظام الثنائي بشكل مضغوط. رقم سداسي عشري واحد = 4 بتات بالضبط (2⁴=16).

• الأرقام: {0-9, A-F} حيث A=10...F=15
• كل رقم سداسي عشري = 4 بتات: F₁₆ = 1111₂
• بايت واحد = 2 رقم سداسي عشري: FF₁₆ = 255₁₀
• ألوان RGB: #FF5733 = أحمر(255) أخضر(87) أزرق(51)
• عناوين الذاكرة: 0x7FFF8A2C

الأساس الأكثر كفاءة رياضيًا

يستخدم النظام الثلاثي الأرقام {0,1,2}. وهو الأساس الأكثر كفاءة لتمثيل الأرقام (الأقرب إلى e=2.718).

• الكفاءة الرياضية المثلى
• الثلاثي المتوازن: {-,0,+} متماثل
• المنطق الثلاثي في الأنظمة الغامضة
• مقترح للحوسبة الكمومية (كيوتريتس)

البديل العملي للنظام العشري

للأساس 12 قواسم أكثر (2,3,4,6) من 10 (2,5)، مما يبسط الكسور. يستخدم في الوقت، والدزينات، والبوصات/الأقدام.

• الوقت: ساعة 12 ساعة، 60 دقيقة (5×12)
• إمبراطوري: 12 بوصة = 1 قدم
• كسور أسهل: 1/3 = 0.4₁₂
• تدعو الجمعية الاثني عشرية إلى اعتماده

العد بالعشرينيات

تطورت أنظمة الأساس 20 من العد على أصابع اليدين والقدمين. أمثلة من المايا، والأزتيك، والسلت، والباسك.

• نظام تقويم المايا
• الفرنسية: quatre-vingts (80)
• الإنجليزية: 'score' = 20
• العد التقليدي للإينويت

الأساس الأبجدي الرقمي الأقصى

يستخدم جميع الأرقام العشرية (0-9) بالإضافة إلى جميع الحروف (A-Z). مضغوط وقابل للقراءة من قبل الإنسان.

• مختصرات الروابط: روابط مضغوطة
• مفاتيح الترخيص: تفعيل البرامج
• معرفات قواعد البيانات: معرفات قابلة للكتابة
• أكواد التتبع: الطرود، الطلبات

روما القديمة (500 ق.م. - 1500 م)

سيطرت على أوروبا لمدة 2000 عام. لكل رمز قيمة ثابتة: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• لا تزال تستخدم: الساعات، السوبر بول، المخططات
• لا يوجد صفر: صعوبات في الحساب
• قواعد الطرح: IV=4, IX=9, XL=40
• محدودة: يصل المعيار إلى 3999
• تم استبدالها بالأرقام الهندية العربية

بابل القديمة (3000 ق.م.)

أقدم نظام باقٍ. للعدد 60 12 قاسمًا، مما يسهل التعامل مع الكسور. استخدم للوقت والزوايا.

• الوقت: 60 ثانية/دقيقة، 60 دقيقة/ساعة
• الزوايا: دائرة 360 درجة، 60 دقيقة قوسية
• قابلية القسمة: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 بشكل نظيف
• الحسابات الفلكية البابلية

يتم ترميز كل رقم عشري على شكل 4 بتات

يمثل BCD كل رقم عشري (0-9) على شكل 4 بتات ثنائية. يصبح 392 هو 0011 1001 0010. يتجنب أخطاء الفاصلة العائمة.

• الأنظمة المالية: عشري دقيق
• الساعات الرقمية والآلات الحاسبة
• حواسيب IBM الرئيسية: وحدة عشرية
• الشرائط المغناطيسية لبطاقات الائتمان

تختلف القيم المتجاورة ببت واحد

يضمن كود غراي أن يتغير بت واحد فقط بين الأرقام المتتالية. أمر بالغ الأهمية للتحويل من التناظري إلى الرقمي.

• المشفرات الدوارة: مستشعرات الموضع
• التحويل من التناظري إلى الرقمي
• خرائط كارنوه: تبسيط المنطق
• أكواد تصحيح الأخطاء

يعمل المبرمجون مع أسس متعددة يوميًا:

• عناوين الذاكرة: 0x7FFEE4B2A000 (سداسي عشري)
• علامات البت: 0b10110101 (ثنائي)
• أكواد الألوان: #FF5733 (سداسي عشري RGB)
• أذونات الملفات: chmod 755 (ثماني)
• تصحيح الأخطاء: hexdump، فحص الذاكرة

تستخدم بروتوكولات الشبكة النظامين السداسي عشري والثنائي:

• عناوين MAC: 00:1A:2B:3C:4D:5E (سداسي عشري)
• IPv4: 192.168.1.1 = ترميز ثنائي
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (سداسي عشري)
• أقنعة الشبكة الفرعية: 255.255.255.0 = /24
• فحص الحزم: Wireshark سداسي عشري

تصميم الأجهزة على المستوى الثنائي:

• البوابات المنطقية: AND, OR, NOT ثنائي
• سجلات وحدة المعالجة المركزية: 64 بت = 16 رقمًا سداسيًا عشريًا
• لغة التجميع: أكواد العمليات في النظام السداسي عشري
• برمجة FPGA: تدفقات ثنائية
• تصحيح أخطاء الأجهزة: محللات المنطق

تستكشف نظرية الأعداد الخصائص:

• الحساب النمطي: أسس مختلفة
• التشفير: RSA، المنحنيات الإهليلجية
• توليد الفركتلات: مجموعة كانتور الثلاثية
• أنماط الأعداد الأولية
• التوافيق: أنماط العد

التوسع باستخدام القيم الموضعية:

• تحديد الأساس والأرقام
• تعيين المواضع من اليمين إلى اليسار (0, 1, 2...)
• تحويل الأرقام إلى قيم عشرية
• الضرب: رقم × الأساس^الموضع
• جمع كل الحدود

القسمة المتكررة على الأساس المستهدف:

• قسمة العدد على الأساس المستهدف
• تسجيل الباقي (الرقم الموجود في أقصى اليمين)
• قسمة الناتج على الأساس مرة أخرى
• التكرار حتى يصبح الناتج 0
• قراءة البواقي من الأسفل إلى الأعلى

تجميع البتات الثنائية:

• ثنائي → سداسي عشري: التجميع في مجموعات من 4 بتات
• ثنائي → ثماني: التجميع في مجموعات من 3 بتات
• سداسي عشري → ثنائي: توسيع كل رقم إلى 4 بتات
• ثماني → ثنائي: التوسع إلى 3 بتات لكل رقم
• تجاوز التحويل العشري تمامًا!

حيل للتحويلات الشائعة:

• قوى العدد 2: احفظ 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• سداسي عشري: F=15, FF=255, FFF=4095
• ثماني 777 = ثنائي 111111111
• المضاعفة/التنصيف: الإزاحة الثنائية
• استخدام وضع المبرمج في الآلة الحاسبة

في كل مرة تتحقق من الساعة، فإنك تستخدم نظامًا بابليًا عمره 5000 عام بالأساس 60. لقد اختاروا 60 لأن له 12 قاسمًا، مما يسهل التعامل مع الكسور.

في عام 1999، تم تدمير مسبار المريخ التابع لوكالة ناسا والذي بلغت تكلفته 125 مليون دولار بسبب أخطاء في تحويل الوحدات - استخدم فريق النظام الإمبراطوري، والآخر النظام المتري. درس مكلف في الدقة.

لا تحتوي الأرقام الرومانية على صفر ولا أعداد سالبة. هذا جعل الرياضيات المتقدمة شبه مستحيلة حتى أحدثت الأرقام الهندية العربية (0-9) ثورة في الرياضيات.

عرض كمبيوتر توجيه أبولو كل شيء بالنظام الثماني (الأساس 8). حفظ رواد الفضاء الأكواد الثمانية للبرامج التي أنزلت البشر على سطح القمر.

تستخدم أكواد ألوان RGB النظام السداسي عشري: #RRGGBB حيث يكون كل منها من 00 إلى FF (0-255). وهذا يعطي 256³ = 16,777,216 لونًا محتملاً في اللون الحقيقي 24 بت.

بنى الباحثون السوفييت حواسيب ثلاثية (الأساس 3) في الخمسينيات والسبعينيات. استخدم كمبيوتر سيتون منطق -1، 0، +1 بدلاً من الثنائي. فازت البنية التحتية الثنائية.

يتوافق النظام الثنائي تمامًا مع الدوائر الإلكترونية: تشغيل/إيقاف، جهد عالٍ/منخفض. الأنظمة ثنائية الحالة موثوقة وسريعة وسهلة التصنيع. سيتطلب النظام العشري 10 مستويات جهد مختلفة، مما يجعل الدوائر معقدة وعرضة للأخطاء.

احفظ التعيينات الـ 16 من السداسي عشري إلى الثنائي (0=0000...F=1111). قم بتحويل كل رقم سداسي عشري بشكل مستقل: A5₁₆ = 1010|0101₂. قم بتجميع الثنائي في مجموعات من 4 من اليمين للعكس: 110101₂ = 35₁₆. لا حاجة للنظام العشري!

ضروري للبرمجة (عناوين الذاكرة، عمليات البت)، والشبكات (عناوين IP، عناوين MAC)، وتصحيح الأخطاء (تفريغ الذاكرة)، والإلكترونيات الرقمية (تصميم المنطق)، والأمن (التشفير، التجزئة).

يتوافق النظام السداسي عشري مع حدود البايت (8 بتات = 2 رقم سداسي عشري)، بينما لا يفعل النظام الثماني ذلك (8 بتات = 2.67 رقم ثماني). الحواسيب الحديثة موجهة نحو البايت، مما يجعل النظام السداسي عشري أكثر ملاءمة. فقط أذونات ملفات يونكس هي التي تبقي النظام الثماني ذا صلة.

لا توجد طريقة مباشرة سهلة. يجمع النظام الثماني الثنائي في مجموعات من 3، والسداسي عشري في مجموعات من 4. يجب التحويل عبر النظام الثنائي: ثماني→ثنائي (3 بتات)→سداسي عشري (4 بتات). مثال: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. أو استخدم النظام العشري كوسيط.

التقاليد والجماليات. تستخدم للرسميات (السوبر بول، الأفلام)، والتمييز (المخططات)، والخلود (لا يوجد غموض في القرن)، والأناقة في التصميم. ليست عملية للحساب ولكنها مستمرة ثقافيًا.

لكل أساس قواعد صارمة. لا يمكن أن يحتوي الأساس 8 على 8 أو 9. إذا كتبت 189₈، فهو غير صالح. سترفضه المحولات. تفرض لغات البرمجة هذا: '09' يسبب أخطاء في السياقات الثمانية.

يستخدم الأساس 1 (الأحادي) رمزًا واحدًا (علامات العد). إنه ليس موضعيًا حقًا: 5 = '11111' (خمس علامات). يستخدم للعد البدائي ولكنه غير عملي. مزحة: الأحادي هو أسهل أساس - فقط استمر في العد!