Fundația oricărui sistem de numerație

Baza determină câte cifre unice sunt utilizate și cum cresc valorile de poziție. Baza 10 folosește cifrele 0-9. Baza 2 (binar) folosește 0-1. Baza 16 (hexazecimal) folosește 0-9 plus A-F.

În baza 8 (octal): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Simboluri care reprezintă valori într-un sistem de numerație

Fiecare bază necesită simboluri unice pentru valorile de la 0 la (baza-1). Binarul folosește {0,1}. Zecimalul folosește {0-9}. Hexazecimalul se extinde la {0-9, A-F} unde A=10...F=15.

2F3₁₆ în hex = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Traducerea numerelor între diferite sisteme

Conversia implică extinderea la zecimal folosind valorile poziționale, apoi conversia la baza țintă. De la orice bază la zecimal: suma cifră×bază^poziție.

1011₂ → zecimal: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Limbajul computerelor - doar 0 și 1

Binarul este fundamentul tuturor sistemelor digitale. Fiecare operațiune a unui computer se reduce la binar. Fiecare cifră (bit) reprezintă stări de pornit/oprit.

• Cifre: {0, 1} - set minim de simboluri
• Un octet = 8 biți, reprezintă 0-255 în zecimal
• Puterile lui 2 sunt numere rotunde: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Adunarea simplă: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Utilizat în: procesoare, memorie, rețele, logică digitală

Reprezentare binară compactă folosind cifrele 0-7

Octalul grupează cifrele binare în seturi de trei (2³=8). Fiecare cifră octală = exact 3 biți binari.

• Cifre: {0-7} - nu există 8 sau 9
• Fiecare cifră octală = 3 biți binari: 7₈ = 111₂
• Permisiuni Unix: 755 = rwxr-xr-x
• Istoric: minicomputerele timpurii
• Mai puțin comun astăzi: hexazecimalul a înlocuit octalul

Sistemul numeric universal uman

Zecimalul este standard pentru comunicarea umană la nivel mondial. Structura sa în baza 10 a evoluat din număratul pe degete.

• Cifre: {0-9} - zece simboluri
• Natural pentru oameni: 10 degete
• Notația științifică folosește zecimalul: 6.022×10²³
• Monedă, măsurători, calendare
• Calculatoarele convertesc intern în binar

Prescurtarea programatorilor pentru binar

Hexazecimalul este standardul modern pentru reprezentarea compactă a binarului. O cifră hexazecimală = exact 4 biți (2⁴=16).

• Cifre: {0-9, A-F} unde A=10...F=15
• Fiecare cifră hexazecimală = 4 biți: F₁₆ = 1111₂
• Un octet = 2 cifre hexazecimale: FF₁₆ = 255₁₀
• Culori RGB: #FF5733 = roșu(255) verde(87) albastru(51)
• Adrese de memorie: 0x7FFF8A2C

Cea mai eficientă bază din punct de vedere matematic

Ternarul folosește cifrele {0,1,2}. Cel mai eficient radix pentru reprezentarea numerelor (cel mai apropiat de e=2.718).

• Eficiență matematică optimă
• Ternar echilibrat: {-,0,+} simetric
• Logica ternară în sistemele fuzzy
• Propuneri pentru calculatoare cuantice (qutriți)

Alternativa practică la zecimal

Baza 12 are mai mulți divizori (2,3,4,6) decât 10 (2,5), simplificând fracțiile. Folosită în timp, duzini, inci/picioare.

• Timp: ceas de 12 ore, 60 de minute (5×12)
• Imperial: 12 inci = 1 picior
• Fracții mai ușoare: 1/3 = 0.4₁₂
• Societatea Duodecimală susține adoptarea sa

Numărarea în douăzeci

Sistemele în baza 20 au evoluat din numărarea pe degetele de la mâini și picioare. Exemple mayașe, aztece, celtice și basce.

• Sistemul calendaristic mayaș
• Franceză: quatre-vingts (80)
• Engleză: 'score' = 20
• Numărătoarea tradițională inuită

Baza alfanumerică maximă

Folosește toate cifrele zecimale (0-9) plus toate literele (A-Z). Compact și lizibil pentru om.

• Scurtatoare de URL-uri: link-uri compacte
• Chei de licență: activare software
• ID-uri de baze de date: identificatori tastabili
• Coduri de urmărire: pachete, comenzi

Roma Antică (500 î.Hr. - 1500 d.Hr.)

A dominat Europa timp de 2000 de ani. Fiecare simbol are o valoare fixă: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Încă folosite: ceasuri, Super Bowl, schițe
• Fără zero: dificultăți de calcul
• Reguli substractive: IV=4, IX=9, XL=40
• Limitate: standardul merge până la 3999
• Înlocuite de cifrele indo-arabe

Babilonul Antic (3000 î.Hr.)

Cel mai vechi sistem supraviețuitor. 60 are 12 divizori, făcând fracțiile mai ușoare. Folosit pentru timp și unghiuri.

• Timp: 60 secunde/minut, 60 minute/oră
• Unghiuri: cerc de 360°, 60 minute de arc
• Divizibilitate: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 curate
• Calcule astronomice babiloniene

Fiecare cifră zecimală codificată pe 4 biți

BCD reprezintă fiecare cifră zecimală (0-9) ca un binar de 4 biți. 392 devine 0011 1001 0010. Evită erorile de virgulă mobilă.

• Sisteme financiare: zecimal exact
• Ceasuri digitale și calculatoare
• Mainframe-uri IBM: unitate zecimală
• Benzi magnetice de card de credit

Valorile adiacente diferă cu un singur bit

Codul Gray asigură că un singur bit se schimbă între numere consecutive. Critic pentru conversia analog-digitală.

• Encodere rotative: senzori de poziție
• Conversie analog-digitală
• Hărți Karnaugh: simplificare logică
• Coduri de corectare a erorilor

Programatorii lucrează zilnic cu mai multe baze:

• Adrese de memorie: 0x7FFEE4B2A000 (hex)
• Flag-uri de biți: 0b10110101 (binar)
• Coduri de culoare: #FF5733 (hex RGB)
• Permisiuni de fișiere: chmod 755 (octal)
• Depanare: hexdump, inspecție de memorie

Protocoalele de rețea folosesc hex și binar:

• Adrese MAC: 00:1A:2B:3C:4D:5E (hex)
• IPv4: 192.168.1.1 = notație binară
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (hex)
• Măști de subrețea: 255.255.255.0 = /24
• Inspecție de pachete: Wireshark hex

Proiectarea hardware la nivel binar:

• Porți logice: AND, OR, NOT binar
• Registre CPU: 64-bit = 16 cifre hex
• Limbaj de asamblare: opcoduri în hex
• Programare FPGA: fluxuri binare
• Depanare hardware: analizoare logice

Teoria numerelor explorează proprietăți:

• Aritmetică modulară: diverse baze
• Criptografie: RSA, curbe eliptice
• Generare de fractali: setul Cantor ternar
• Modele de numere prime
• Combinatorică: modele de numărare

Expandați folosind valorile poziționale:

• Identificați baza și cifrele
• Atribuiți poziții de la dreapta la stânga (0, 1, 2...)
• Convertiți cifrele în valori zecimale
• Înmulțiți: cifră × bază^poziție
• Însumați toți termenii

Împărțiți repetat la baza țintă:

• Împărțiți numărul la baza țintă
• Înregistrați restul (cifra cea mai din dreapta)
• Împărțiți din nou câtul la bază
• Repetați până când câtul este 0
• Citiți resturile de jos în sus

Grupați biții binari:

• Binar → Hex: grupați în grupuri de 4 biți
• Binar → Octal: grupați în grupuri de 3 biți
• Hex → Binar: expandați fiecare cifră la 4 biți
• Octal → Binar: expandați la 3 biți pe cifră
• Săriți complet peste conversia zecimală!

Trucuri pentru conversii comune:

• Puterile lui 2: memorați 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Hex: F=15, FF=255, FFF=4095
• Octal 777 = binar 111111111
• Dublare/înjumătățire: deplasare binară
• Folosiți modul programator al calculatorului

De fiecare dată când verificați ceasul, folosiți un sistem babilonian în baza 60 vechi de 5000 de ani. Au ales 60 pentru că are 12 divizori, făcând fracțiile mai ușoare.

În 1999, sonda orbitală Mars de 125 de milioane de dolari a NASA a fost distrusă din cauza erorilor de conversie a unităților - o echipă a folosit sistemul imperial, alta cel metric. O lecție costisitoare despre precizie.

Cifrele romane nu au zero și nici negative. Acest lucru a făcut matematica avansată aproape imposibilă până când cifrele indo-arabe (0-9) au revoluționat matematica.

Computerul de Ghidare Apollo afișa totul în octal (baza 8). Astronauții au memorat coduri octale pentru programele care au dus oamenii pe Lună.

Codurile de culoare RGB folosesc hex: #RRGGBB unde fiecare este 00-FF (0-255). Acest lucru oferă 256³ = 16.777.216 de culori posibile în true color pe 24 de biți.

Cercetătorii sovietici au construit computere ternare (baza 3) în anii 1950-70. Computerul Setun a folosit logica -1, 0, +1 în loc de binar. Infrastructura binară a câștigat.

Binarul se potrivește perfect cu circuitele electronice: pornit/oprit, tensiune înaltă/joasă. Sistemele cu două stări sunt fiabile, rapide și ușor de fabricat. Zecimalul ar necesita 10 niveluri distincte de tensiune, făcând circuitele complexe și predispuse la erori.

Memorați cele 16 mapări hex-la-binar (0=0000...F=1111). Convertiți fiecare cifră hexazecimală independent: A5₁₆ = 1010|0101₂. Grupați binarul în grupuri de 4 de la dreapta pentru a inversa: 110101₂ = 35₁₆. Nu este nevoie de zecimal!

Esențială pentru programare (adrese de memorie, operații pe biți), rețelistică (adrese IP, adrese MAC), depanare (dump-uri de memorie), electronică digitală (proiectare logică) și securitate (criptografie, hashing).

Hexazecimalul se aliniază cu granițele octetului (8 biți = 2 cifre hex), în timp ce octalul nu (8 biți = 2.67 cifre octale). Computerele moderne sunt orientate pe octeți, ceea ce face hexazecimalul mai convenabil. Doar permisiunile de fișiere Unix mențin octalul relevant.

Nu există o metodă directă ușoară. Octalul grupează binarul în grupuri de 3, hexazecimalul în grupuri de 4. Trebuie să convertiți prin binar: octal→binar (3 biți)→hex (4 biți). Exemplu: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Sau folosiți zecimalul ca intermediar.

Tradiție și estetică. Folosite pentru formalitate (Super Bowl, filme), distincție (schițe), atemporalitate (fără ambiguitate de secol) și eleganță în design. Nu sunt practice pentru calcul, dar persistă cultural.

Fiecare bază are reguli stricte. Baza 8 nu poate conține 8 sau 9. Dacă scrieți 189₈, este invalid. Convertoarele îl resping. Limbajele de programare impun acest lucru: '09' cauzează erori în contextele octale.

Baza 1 (unar) folosește un singur simbol (linii de numărare). Nu este cu adevărat pozițională: 5 = '11111' (cinci linii). Folosită pentru numărarea primitivă, dar nepractică. Glumă: unarul este cea mai ușoară bază - trebuie doar să continui să numeri!