Temelj vsakega številskega sistema

Osnova določa, koliko edinstvenih števk se uporablja in kako se povečujejo mestne vrednosti. Osnova 10 uporablja števke 0-9. Osnova 2 (binarni) uporablja 0-1. Osnova 16 (šestnajstiški) uporablja 0-9 plus A-F.

V osnovi 8 (osmiški): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Simboli, ki predstavljajo vrednosti v številskem sistemu

Vsaka osnova zahteva edinstvene simbole za vrednosti od 0 do (osnova-1). Binarni uporablja {0,1}. Desetiški uporablja {0-9}. Šestnajstiški se razširi na {0-9, A-F}, kjer je A=10...F=15.

2F3₁₆ v šestnajstiškem = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Prevajanje števil med različnimi sistemi

Pretvorba vključuje razširitev v desetiški sistem z uporabo pozicijskih vrednosti, nato pa pretvorbo v ciljno osnovo. Iz katere koli osnove v desetiško: vsota števka×osnova^položaj.

1011₂ → desetiško: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Jezik računalnikov - samo 0 in 1

Binarni sistem je temelj vseh digitalnih sistemov. Vsaka računalniška operacija se zreducira na binarno. Vsaka števka (bit) predstavlja stanje vklopljeno/izklopljeno.

• Števke: {0, 1} - minimalni nabor simbolov
• En bajt = 8 bitov, predstavlja 0-255 v desetiškem sistemu
• Potence števila 2 so okrogla števila: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Enostavno seštevanje: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Uporablja se v: CPU-jih, pomnilniku, omrežjih, digitalni logiki

Kompaktna binarna predstavitev z uporabo števk 0-7

Osmiški sistem združuje binarne števke v skupine po tri (2³=8). Vsaka osmiška števka = natančno 3 binarni biti.

• Števke: {0-7} - ne obstaja 8 ali 9
• Vsaka osmiška števka = 3 binarni biti: 7₈ = 111₂
• Dovoljenja v Unixu: 755 = rwxr-xr-x
• Zgodovinsko: zgodnji miniračunalniki
• Danes manj pogost: šestnajstiški je nadomestil osmiškega

Univerzalni človeški številski sistem

Desetiški sistem je standard za človeško komunikacijo po vsem svetu. Njegova struktura z osnovo 10 se je razvila iz štetja na prste.

• Števke: {0-9} - deset simbolov
• Naravno za ljudi: 10 prstov
• Znanstvena notacija uporablja desetiški sistem: 6.022×10²³
• Valuta, meritve, koledarji
• Računalniki interno pretvarjajo v binarni sistem

Programerska okrajšava za binarni sistem

Šestnajstiški sistem je sodoben standard za kompaktno predstavitev binarnega sistema. Ena šestnajstiška števka = natančno 4 biti (2⁴=16).

• Števke: {0-9, A-F}, kjer je A=10...F=15
• Vsaka šestnajstiška števka = 4 biti: F₁₆ = 1111₂
• En bajt = 2 šestnajstiški števki: FF₁₆ = 255₁₀
• Barve RGB: #FF5733 = rdeča(255) zelena(87) modra(51)
• Naslovi pomnilnika: 0x7FFF8A2C

Matematično najbolj učinkovita osnova

Ternarni sistem uporablja števke {0,1,2}. Najbolj učinkovit radiks za predstavitev števil (najbližji e=2.718).

• Optimalna matematična učinkovitost
• Uravnotežen ternarni: {-,0,+} simetričen
• Ternarna logika v mehkih sistemih
• Predlagan za kvantno računalništvo (kutriti)

Praktična alternativa desetiškemu

Osnova 12 ima več deliteljev (2,3,4,6) kot 10 (2,5), kar poenostavlja ulomke. Uporablja se pri času, ducatih, palcih/čevljih.

• Čas: 12-urna ura, 60 minut (5×12)
• Imperialni: 12 palcev = 1 čevelj
• Lažji ulomki: 1/3 = 0.4₁₂
• Dvanajstiško društvo zagovarja sprejetje

Štetje po dvajsetih

Sistemi z osnovo 20 so se razvili iz štetja prstov na rokah in nogah. Majevski, Azteški, Keltski in Baskovski primeri.

• Majevski koledarski sistem
• Francoščina: quatre-vingts (80)
• Angleščina: 'score' = 20
• Tradicionalno štetje Inuitov

Maksimalna alfanumerična osnova

Uporablja vse desetiške števke (0-9) plus vse črke (A-Z). Kompaktno in berljivo za človeka.

• Skrajševalniki URL-jev: kompaktne povezave
• Licenčni ključi: aktivacija programske opreme
• ID-ji baz podatkov: vpisni identifikatorji
• Sledilne kode: paketi, naročila

Stari Rim (500 pr. n. št. - 1500 n. št.)

Prevladovale v Evropi 2000 let. Vsak simbol ima fiksno vrednost: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Še vedno v uporabi: ure, Super Bowl, osnutki
• Brez ničle: težave pri računanju
• Pravila odštevanja: IV=4, IX=9, XL=40
• Omejene: standard sega do 3999
• Zamenjane s hindujsko-arabskimi številkami

Stara Babilonija (3000 pr. n. št.)

Najstarejši ohranjen sistem. 60 ima 12 deliteljev, kar olajša ulomke. Uporablja se za čas in kote.

• Čas: 60 sekund/minuto, 60 minut/uro
• Koti: 360° krog, 60 ločnih minut
• Deljivost: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 čisto
• Babilonski astronomski izračuni

Vsaka desetiška števka je kodirana kot 4 biti

BCD predstavlja vsako desetiško števko (0-9) kot 4-bitno binarno število. 392 postane 0011 1001 0010. Izogiba se napakam s plavajočo vejico.

• Finančni sistemi: natančen desetiški
• Digitalne ure in kalkulatorji
• IBM-ovi veliki računalniki: desetiška enota
• Magnetni trakovi kreditnih kartic

Sosednje vrednosti se razlikujejo za en bit

Grayeva koda zagotavlja, da se med zaporednimi števili spremeni le en bit. Ključno za analogno-digitalno pretvorbo.

• Vrtljivi dajalniki: senzorji položaja
• Analogno-digitalna pretvorba
• Karnaughovi diagrami: poenostavitev logike
• Kode za popravljanje napak

Programerji vsakodnevno delajo z več osnovami:

• Naslovi pomnilnika: 0x7FFEE4B2A000 (šestnajstiški)
• Bitne zastavice: 0b10110101 (binarni)
• Barvne kode: #FF5733 (šestnajstiški RGB)
• Dovoljenja datotek: chmod 755 (osmiški)
• Odpravljanje napak: hexdump, pregled pomnilnika

Omrežni protokoli uporabljajo šestnajstiški in binarni sistem:

• Naslovi MAC: 00:1A:2B:3C:4D:5E (šestnajstiški)
• IPv4: 192.168.1.1 = binarna notacija
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (šestnajstiški)
• Maske podomrežja: 255.255.255.0 = /24
• Pregled paketov: Wireshark šestnajstiški

Načrtovanje strojne opreme na binarni ravni:

• Logična vrata: AND, OR, NOT binarno
• CPU registri: 64-bit = 16 šestnajstiških števk
• Zbirni jezik: opkode v šestnajstiškem
• Programiranje FPGA: binarni tokovi
• Odpravljanje napak strojne opreme: logični analizatorji

Teorija števil raziskuje lastnosti:

• Modularna aritmetika: različne osnove
• Kriptografija: RSA, eliptične krivulje
• Generiranje fraktalov: Cantorjeva množica ternarno
• Vzorci praštevil
• Kombinatorika: vzorci štetja

Razširite z uporabo pozicijskih vrednosti:

• Določite osnovo in števke
• Dodelite položaje od desne proti levi (0, 1, 2...)
• Pretvorite števke v desetiške vrednosti
• Pomnožite: števka × osnova^položaj
• Seštejte vse člene

Večkrat delite s ciljno osnovo:

• Delite število s ciljno osnovo
• Zapišite ostanek (skrajna desna števka)
• Ponovno delite kvocient z osnovo
• Ponavljajte, dokler kvocient ni 0
• Preberite ostanke od spodaj navzgor

Združite binarne bite:

• Binarni → Šestnajstiški: združite po 4 bite
• Binarni → Osmiški: združite po 3 bite
• Šestnajstiški → Binarni: razširite vsako števko na 4 bite
• Osmiški → Binarni: razširite na 3 bite na števko
• Popolnoma preskočite desetiško pretvorbo!

Triki za pogoste pretvorbe:

• Potence števila 2: zapomnite si 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Šestnajstiški: F=15, FF=255, FFF=4095
• Osmiški 777 = binarni 111111111
• Podvajanje/prepolavljanje: binarni premik
• Uporabite programerski način kalkulatorja

Vsakič, ko pogledate na uro, uporabljate 5000 let star babilonski sistem z osnovo 60. Izbrali so 60, ker ima 12 deliteljev, kar olajša ulomke.

Leta 1999 je bil NASA-in 125 milijonov dolarjev vreden orbiter Mars uničen zaradi napak pri pretvorbi enot - ena ekipa je uporabljala imperialni sistem, druga metričnega. Draga lekcija o natančnosti.

Rimske številke nimajo ničle in negativnih števil. To je naredilo napredno matematiko skoraj nemogočo, dokler hindujsko-arabske številke (0-9) niso revolucionirale matematike.

Vodilni računalnik Apollo je vse prikazoval v osmiškem sistemu (osnova 8). Astronavti so si zapomnili osmiške kode za programe, ki so pripeljali ljudi na Luno.

Barvne kode RGB uporabljajo šestnajstiški sistem: #RRGGBB, kjer je vsaka od 00 do FF (0-255). To daje 256³ = 16.777.216 možnih barv v 24-bitni pravi barvi.

Sovjetski raziskovalci so v 50. in 70. letih 20. stoletja gradili ternarne (osnova-3) računalnike. Računalnik Setun je uporabljal logiko -1, 0, +1 namesto binarne. Binarna infrastruktura je zmagala.

Binarni se popolnoma ujema z elektronskimi vezji: vklopljeno/izklopljeno, visoka/nizka napetost. Dvo-stopenjski sistemi so zanesljivi, hitri in enostavni za izdelavo. Desetiški bi zahteval 10 različnih napetostnih nivojev, kar bi vezja naredilo zapletena in nagnjena k napakam.

Zapomnite si 16 preslikav iz šestnajstiškega v binarno (0=0000...F=1111). Vsako šestnajstiško števko pretvorite neodvisno: A5₁₆ = 1010|0101₂. Združite binarno po 4 od desne za obratno: 110101₂ = 35₁₆. Desetiški ni potreben!

Bistveno za programiranje (naslovi pomnilnika, bitne operacije), omrežja (IP naslovi, MAC naslovi), odpravljanje napak (izpisi pomnilnika), digitalno elektroniko (načrtovanje logike) in varnost (kriptografija, zgoščanje).

Šestnajstiški se ujema z mejami bajta (8 bitov = 2 šestnajstiški števki), medtem ko osmiški ne (8 bitov = 2.67 osmiških števk). Sodobni računalniki so usmerjeni v bajte, kar naredi šestnajstiški bolj priročen. Samo dovoljenja datotek v Unixu ohranjajo osmiški sistem relevanten.

Ni enostavne neposredne metode. Osmiški združuje binarno po 3, šestnajstiški po 4. Potrebno je pretvoriti preko binarnega: osmiški→binarni (3 biti)→šestnajstiški (4 biti). Primer: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Ali pa uporabite desetiški kot vmesni korak.

Tradicija in estetika. Uporabljajo se za formalnost (Super Bowl, filmi), razlikovanje (osnutki), brezčasnost (brez dvoumnosti stoletja) in eleganco oblikovanja. Niso praktične za računanje, vendar so kulturno vztrajne.

Vsaka osnova ima stroga pravila. Osnova 8 ne more vsebovati 8 ali 9. Če napišete 189₈, je neveljavno. Pretvorniki ga bodo zavrnili. Programski jeziki to uveljavljajo: '09' povzroča napake v osmiških kontekstih.

Osnova 1 (unarni) uporablja en simbol (črtice). Ni resnično pozicijski: 5 = '11111' (pet črtic). Uporablja se za primitivno štetje, vendar je nepraktičen. Šala: unarni je najlažja osnova - samo nadaljujte s štetjem!