Основата на всяка бройна система

Основата определя колко уникални цифри се използват и как се увеличават стойностите на позициите. Основа 10 използва цифрите 0-9. Основа 2 (двоична) използва 0-1. Основа 16 (шестнадесетична) използва 0-9 плюс A-F.

В основа 8 (осмична): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Символи, представляващи стойности в бройна система

Всяка основа изисква уникални символи за стойностите от 0 до (основа-1). Двоичната използва {0,1}. Десетичната използва {0-9}. Шестнадесетичната се разширява до {0-9, A-F}, където A=10...F=15.

2F3₁₆ в шестнадесетична = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Превеждане на числа между различни системи

Преобразуването включва разширяване до десетична система чрез използване на позиционни стойности, след което преобразуване до целевата основа. От всяка основа до десетична: сума от цифра×основа^позиция.

1011₂ → десетична: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Езикът на компютрите - само 0 и 1

Двоичната система е основата на всички цифрови системи. Всяка компютърна операция се свежда до двоична. Всяка цифра (бит) представлява състояния включено/изключено.

• Цифри: {0, 1} - минимален набор от символи
• Един байт = 8 бита, представлява 0-255 в десетична система
• Степените на 2 са кръгли числа: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Просто събиране: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Използва се в: процесори, памет, мрежи, цифрова логика

Компактно двоично представяне с цифрите 0-7

Осмичната система групира двоичните цифри в групи по три (2³=8). Всяка осмична цифра = точно 3 двоични бита.

• Цифри: {0-7} - не съществуват 8 или 9
• Всяка осмична цифра = 3 двоични бита: 7₈ = 111₂
• Unix права: 755 = rwxr-xr-x
• Исторически: ранни миникомпютри
• По-рядко срещана днес: шестнадесетичната е заменила осмичната

Универсалната човешка бройна система

Десетичната система е стандарт за човешка комуникация по целия свят. Нейната структура с основа 10 е еволюирала от броенето на пръсти.

• Цифри: {0-9} - десет символа
• Естествена за хората: 10 пръста
• Научната нотация използва десетичната система: 6.022×10²³
• Валута, измервания, календари
• Компютрите вътрешно преобразуват в двоична

Съкращение на програмиста за двоична система

Шестнадесетичната система е модерният стандарт за компактно представяне на двоична. Една шестнадесетична цифра = точно 4 бита (2⁴=16).

• Цифри: {0-9, A-F}, където A=10...F=15
• Всяка шестнадесетична цифра = 4 бита: F₁₆ = 1111₂
• Един байт = 2 шестнадесетични цифри: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB цветове: #FF5733 = червено(255) зелено(87) синьо(51)
• Адреси на паметта: 0x7FFF8A2C

Математически най-ефективната основа

Троичната система използва цифрите {0,1,2}. Най-ефективният радикс за представяне на числа (най-близък до e=2.718).

• Оптимална математическа ефективност
• Балансирана троична: {-,0,+} симетрична
• Троична логика в размити системи
• Предложена за квантови компютри (кутрити)

Практичната алтернатива на десетичната

Основа 12 има повече делители (2,3,4,6) от 10 (2,5), което опростява дробите. Използва се за време, дузини, инчове/футове.

• Време: 12-часов часовник, 60 минути (5×12)
• Имперска: 12 инча = 1 фут
• По-лесни дроби: 1/3 = 0.4₁₂
• Дванадесетичното общество подкрепя приемането

Броене на двадесетици

Системите с основа 20 са се развили от броенето на пръстите на ръцете и краката. Примери при маите, ацтеките, келтите и баските.

• Календарна система на маите
• Френски: quatre-vingts (80)
• Английски: 'score' = 20
• Традиционно броене на инуитите

Максимална буквено-цифрова основа

Използва всички десетични цифри (0-9) плюс всички букви (A-Z). Компактна и четима за човека.

• URL съкратители: компактни връзки
• Лицензионни ключове: активиране на софтуер
• ID на бази данни: идентификатори, които могат да се въвеждат
• Кодове за проследяване: пратки, поръчки

Древен Рим (500 г. пр. н. е. - 1500 г. сл. н. е.)

Доминирали в Европа в продължение на 2000 години. Всеки символ има фиксирана стойност: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Все още се използват: часовници, Супербоул, конспекти
• Няма нула: трудности при изчисленията
• Правила за изваждане: IV=4, IX=9, XL=40
• Ограничени: стандартът стига до 3999
• Заменени от индо-арабските цифри

Древен Вавилон (3000 г. пр. н. е.)

Най-старата оцеляла система. 60 има 12 делителя, което улеснява дробите. Използва се за време и ъгли.

• Време: 60 секунди/минута, 60 минути/час
• Ъгли: 360° кръг, 60 дъгови минути
• Делимост: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 чисти
• Вавилонски астрономически изчисления

Всяка десетична цифра се кодира като 4 бита

BCD представя всяка десетична цифра (0-9) като 4-битова двоична. 392 става 0011 1001 0010. Избягва грешки с плаваща запетая.

• Финансови системи: точна десетична
• Цифрови часовници и калкулатори
• Мейнфрейми на IBM: десетична единица
• Магнитни ленти на кредитни карти

Съседните стойности се различават с един бит

Кодът на Грей гарантира, че само един бит се променя между последователни числа. Критичен за аналогово-цифрово преобразуване.

• Ротационни енкодери: сензори за позиция
• Аналогово-цифрово преобразуване
• Карти на Карно: опростяване на логиката
• Кодове за корекция на грешки

Програмистите работят с множество основи ежедневно:

• Адреси на паметта: 0x7FFEE4B2A000 (шестнадесетична)
• Битови флагове: 0b10110101 (двоична)
• Цветови кодове: #FF5733 (шестнадесетична RGB)
• Права на файлове: chmod 755 (осмична)
• Отстраняване на грешки: hexdump, инспекция на паметта

Мрежовите протоколи използват шестнадесетична и двоична система:

• MAC адреси: 00:1A:2B:3C:4D:5E (шестнадесетична)
• IPv4: 192.168.1.1 = двоична нотация
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (шестнадесетична)
• Маски на подмрежи: 255.255.255.0 = /24
• Инспекция на пакети: Wireshark шестнадесетична

Проектиране на хардуер на двоично ниво:

• Логически вентили: AND, OR, NOT двоични
• CPU регистри: 64-битов = 16 шестнадесетични цифри
• Асемблерен език: опкодове в шестнадесетична система
• Програмиране на FPGA: двоични потоци
• Отстраняване на грешки в хардуера: логически анализатори

Теорията на числата изследва свойства:

• Модулна аритметика: различни основи
• Криптография: RSA, елиптични криви
• Генериране на фрактали: троичен набор на Кантор
• Модели на прости числа
• Комбинаторика: модели на броене

Разширете, използвайки позиционни стойности:

• Идентифицирайте основата и цифрите
• Присвоете позиции от дясно наляво (0, 1, 2...)
• Преобразувайте цифрите в десетични стойности
• Умножете: цифра × основа^позиция
• Сумирайте всички членове

Делете многократно на целевата основа:

• Разделете числото на целевата основа
• Запишете остатъка (най-дясната цифра)
• Разделете отново частното на основата
• Повтаряйте, докато частното стане 0
• Прочетете остатъците отдолу нагоре

Групирайте двоичните битове:

• Двоична → Шестнадесетична: групирайте по 4 бита
• Двоична → Осмична: групирайте по 3 бита
• Шестнадесетична → Двоична: разширете всяка цифра до 4 бита
• Осмична → Двоична: разширете до 3 бита на цифра
• Пропуснете изцяло десетичното преобразуване!

Трикове за често срещани преобразувания:

• Степени на 2: запомнете 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Шестнадесетична: F=15, FF=255, FFF=4095
• Осмична 777 = двоична 111111111
• Удвояване/разполовяване: двоично изместване
• Използвайте програмисткия режим на калкулатора

Всеки път, когато проверявате часовника, използвате 5000-годишна вавилонска система с основа 60. Те са избрали 60, защото има 12 делителя, което улеснява дробите.

През 1999 г. орбиталният апарат на НАСА на стойност 125 милиона долара е унищожен поради грешки при преобразуването на единици - един екип е използвал имперската, а друг метричната система. Скъп урок по точност.

Римските цифри нямат нула и нямат отрицателни числа. Това прави напредналата математика почти невъзможна, докато индо-арабските цифри (0-9) не революционизират математиката.

Бордовият компютър на Аполо показва всичко в осмична система (основа 8). Астронавтите са запомнили осмични кодове за програмите, които са приземили хора на Луната.

Цветовите кодове RGB използват шестнадесетична система: #RRGGBB, където всяка е 00-FF (0-255). Това дава 256³ = 16 777 216 възможни цвята в 24-битов истински цвят.

Съветски изследователи са построили троични (основа-3) компютри през 50-те и 70-те години. Компютърът „Сетун“ е използвал логика -1, 0, +1 вместо двоична. Двоичната инфраструктура е победила.

Двоичната система напълно съответства на електронните вериги: включено/изключено, високо/ниско напрежение. Системите с две състояния са надеждни, бързи и лесни за производство. Десетичната система би изисквала 10 различни нива на напрежение, което би направило веригите сложни и податливи на грешки.

Запомнете 16-те съответствия от шестнадесетично към двоично (0=0000...F=1111). Преобразувайте всяка шестнадесетична цифра независимо: A5₁₆ = 1010|0101₂. Групирайте двоичното по 4 отдясно за обратно преобразуване: 110101₂ = 35₁₆. Десетично не е необходимо!

Необходимо за програмиране (адреси на паметта, битови операции), мрежи (IP адреси, MAC адреси), отстраняване на грешки (дъмпове на паметта), цифрова електроника (проектиране на логика) и сигурност (криптография, хеширане).

Шестнадесетичната система се подравнява с границите на байтовете (8 бита = 2 шестнадесетични цифри), докато осмичната не (8 бита = 2.67 осмични цифри). Съвременните компютри са ориентирани към байтове, което прави шестнадесетичната по-удобна. Само правата на файлове в Unix поддържат осмичната система релевантна.

Няма лесен директен метод. Осмичната групира двоичното по 3, шестнадесетичната по 4. Трябва да се преобразува през двоична: осмична→двоична (3 бита)→шестнадесетична (4 бита). Пример: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Или използвайте десетична като междинна.

Традиция и естетика. Използват се за официалност (Супербоул, филми), разграничение (конспекти), безвремие (без двусмислие на века) и елегантност на дизайна. Не са практични за изчисления, но са културно устойчиви.

Всяка основа има строги правила. Основа 8 не може да съдържа 8 или 9. Ако напишете 189₈, това е невалидно. Конверторите ще го отхвърлят. Програмните езици налагат това: '09' причинява грешки в осмични контексти.

Основа 1 (унарна) използва един символ (чертички за броене). Не е наистина позиционна: 5 = '11111' (пет чертички). Използва се за примитивно броене, но е непрактична. Шега: унарната е най-лесната основа - просто продължете да броите!