کسی بھی عددی نظام کی بنیاد

اساس یہ طے کرتی ہے کہ کتنے منفرد ہندسے استعمال ہوتے ہیں اور مقامی قدریں کیسے بڑھتی ہیں۔ بیس 10 ہندسے 0-9 استعمال کرتا ہے۔ بیس 2 (بائنری) 0-1 استعمال کرتا ہے۔ بیس 16 (ہیکساڈیسیمل) 0-9 کے علاوہ A-F استعمال کرتا ہے۔

بیس 8 (آکٹل) میں: 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

عددی نظام میں قدروں کی نمائندگی کرنے والی علامتیں

ہر اساس کو 0 سے (اساس-1) تک کی قدروں کے لیے منفرد علامتوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ بائنری {0,1} استعمال کرتا ہے۔ ڈیسیمل {0-9} استعمال کرتا ہے۔ ہیکساڈیسیمل {0-9, A-F} تک پھیل جاتا ہے جہاں A=10...F=15۔

ہیکس میں 2F3₁₆ = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

مختلف نظاموں کے درمیان اعداد کا ترجمہ کرنا

تبدیلی میں پوزیشنل قدروں کا استعمال کرتے ہوئے ڈیسیمل میں پھیلانا، پھر ہدف اساس میں تبدیل کرنا شامل ہے۔ کسی بھی اساس سے ڈیسیمل میں: ہندسہ×اساس^پوزیشن کا مجموعہ۔

1011₂ → ڈیسیمل: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

کمپیوٹرز کی زبان - صرف 0 اور 1

بائنری تمام ڈیجیٹل نظاموں کی بنیاد ہے۔ ہر کمپیوٹر آپریشن بائنری میں کم ہو جاتا ہے۔ ہر ہندسہ (بٹ) آن/آف حالتوں کی نمائندگی کرتا ہے۔

• ہندسے: {0, 1} - کم سے کم علامتی سیٹ
• ایک بائٹ = 8 بٹس، ڈیسیمل میں 0-255 کی نمائندگی کرتا ہے
• 2 کی طاقتیں گول اعداد ہیں: 1024₁₀ = 10000000000₂
• جمع آسان: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• استعمال: CPUs، میموری، نیٹ ورکس، ڈیجیٹل منطق

0-7 ہندسوں کا استعمال کرتے ہوئے جامع بائنری نمائندگی

آکٹل بائنری ہندسوں کو تین کے سیٹ میں گروپ کرتا ہے (2³=8)۔ ہر آکٹل ہندسہ = بالکل 3 بائنری بٹس۔

• ہندسے: {0-7} - 8 یا 9 موجود نہیں ہے
• ہر آکٹل ہندسہ = 3 بائنری بٹس: 7₈ = 111₂
• یونکس اجازتیں: 755 = rwxr-xr-x
• تاریخی: ابتدائی منی کمپیوٹرز
• آج کل کم عام: ہیکس نے آکٹل کی جگہ لے لی ہے

عالمگیر انسانی عددی نظام

ڈیسیمل دنیا بھر میں انسانی مواصلات کے لیے معیاری ہے۔ اس کی اساس-10 کی ساخت انگلیوں پر گننے سے تیار ہوئی۔

• ہندسے: {0-9} - دس علامتیں
• انسانوں کے لیے قدرتی: 10 انگلیاں
• سائنسی نوٹیشن ڈیسیمل استعمال کرتی ہے: 6.022×10²³
• کرنسی، پیمائش، کیلنڈرز
• کمپیوٹرز اندرونی طور پر بائنری میں تبدیل کرتے ہیں

بائنری کے لیے پروگرامر کا شارٹ ہینڈ

ہیکساڈیسیمل بائنری کو جامع طور پر نمائندگی کرنے کا جدید معیار ہے۔ ایک ہیکس ہندسہ = بالکل 4 بٹس (2⁴=16)۔

• ہندسے: {0-9, A-F} جہاں A=10...F=15
• ہر ہیکس ہندسہ = 4 بٹس: F₁₆ = 1111₂
• ایک بائٹ = 2 ہیکس ہندسے: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB رنگ: #FF5733 = سرخ(255) سبز(87) نیلا(51)
• میموری ایڈریس: 0x7FFF8A2C

ریاضیاتی طور پر سب سے موثر اساس

ٹرنری ہندسے {0,1,2} استعمال کرتا ہے۔ اعداد کی نمائندگی کے لیے سب سے موثر ریڈکس (e=2.718 کے قریب ترین)۔

• ریاضیاتی کارکردگی بہترین
• متوازن ٹرنری: {-,0,+} متناسب
• فزی سسٹمز میں ٹرنری منطق
• کوانٹم کمپیوٹنگ (کیوٹرٹس) کے لیے تجویز کردہ

ڈیسیمل کا عملی متبادل

بیس 12 میں 10 (2,5) سے زیادہ تقسیم کنندگان (2,3,4,6) ہیں، جو کسروں کو آسان بناتا ہے۔ وقت، درجن، انچ/فٹ میں استعمال ہوتا ہے۔

• وقت: 12 گھنٹے کی گھڑی، 60 منٹ (5×12)
• امپیریل: 12 انچ = 1 فٹ
• کسریں آسان: 1/3 = 0.4₁₂
• ڈوزنل سوسائٹی اپنانے کی وکالت کرتی ہے

بیس کی گنتی

بیس 20 کے نظام انگلیوں + پیروں کی انگلیوں پر گننے سے تیار ہوئے۔ مایان، ازٹیک، کیلٹک، اور باسک مثالیں۔

• مایان کیلنڈر سسٹم
• فرانسیسی: quatre-vingts (80)
• انگریزی: 'score' = 20
• انوئٹ روایتی گنتی

زیادہ سے زیادہ الفانیومیرک اساس

تمام ڈیسیمل ہندسے (0-9) کے علاوہ تمام حروف (A-Z) استعمال کرتا ہے۔ جامع اور انسانی پڑھنے کے قابل۔

• یو آر ایل شارٹنرز: جامع لنکس
• لائسنس کیز: سافٹ ویئر ایکٹیویشن
• ڈیٹا بیس آئی ڈیز: ٹائپ ایبل شناخت کنندگان
• ٹریکنگ کوڈز: پیکیجز، آرڈرز

قدیم روم (500 قبل مسیح - 1500 عیسوی)

2000 سال تک یورپ پر غلبہ رہا۔ ہر علامت کی ایک مقررہ قدر ہے: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000۔

• اب بھی استعمال ہوتے ہیں: گھڑیاں، سپر باؤل، آؤٹ لائنز
• کوئی صفر نہیں: حساب میں مشکلات
• تخریبی اصول: IV=4, IX=9, XL=40
• محدود: معیار 3999 تک جاتا ہے
• ہندو-عربی اعداد سے تبدیل کیا گیا

قدیم بابل (3000 قبل مسیح)

سب سے قدیم زندہ نظام۔ 60 میں 12 تقسیم کنندگان ہیں، جو کسروں کو آسان بناتا ہے۔ وقت اور زاویوں کے لیے استعمال ہوتا ہے۔

• وقت: 60 سیکنڈ/منٹ، 60 منٹ/گھنٹہ
• زاویے: 360° دائرہ، 60 آرک منٹ
• تقسیم پذیری: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 صاف
• بابل کے فلکیاتی حسابات

ہر ڈیسیمل ہندسہ 4 بٹس کے طور پر انکوڈ کیا گیا

BCD ہر ڈیسیمل ہندسے (0-9) کو 4-بٹ بائنری کے طور پر نمائندگی کرتا ہے۔ 392 0011 1001 0010 بن جاتا ہے۔ فلوٹنگ پوائنٹ کی غلطیوں سے بچتا ہے۔

• مالیاتی نظام: عین ڈیسیمل
• ڈیجیٹل گھڑیاں اور کیلکولیٹر
• آئی بی ایم مین فریمز: ڈیسیمل یونٹ
• کریڈٹ کارڈ مقناطیسی پٹیاں

ملحقہ قدریں ایک بٹ سے مختلف ہوتی ہیں

گرے کوڈ اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ مسلسل اعداد کے درمیان صرف ایک بٹ تبدیل ہو۔ اینالاگ-ٹو-ڈیجیٹل تبدیلی کے لیے اہم۔

• روٹری انکوڈرز: پوزیشن سینسرز
• اینالاگ-ٹو-ڈیجیٹل تبدیلی
• کارناٹ میپس: منطق کی سادگی
• غلطی کی اصلاح کے کوڈز

پروگرامرز روزانہ متعدد اساسوں کے ساتھ کام کرتے ہیں:

• میموری ایڈریس: 0x7FFEE4B2A000 (ہیکس)
• بٹ فلیگز: 0b10110101 (بائنری)
• رنگ کوڈز: #FF5733 (ہیکس RGB)
• فائل کی اجازتیں: chmod 755 (آکٹل)
• ڈیبگنگ: ہیکس ڈمپ، میموری کا معائنہ

نیٹ ورک پروٹوکول ہیکس اور بائنری استعمال کرتے ہیں:

• میک ایڈریس: 00:1A:2B:3C:4D:5E (ہیکس)
• IPv4: 192.168.1.1 = بائنری نوٹیشن
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (ہیکس)
• سب نیٹ ماسک: 255.255.255.0 = /24
• پیکٹ کا معائنہ: وائرشارک ہیکس

بائنری سطح پر ہارڈ ویئر ڈیزائن:

• منطقی گیٹس: AND, OR, NOT بائنری
• سی پی یو رجسٹرز: 64-بٹ = 16 ہیکس ہندسے
• اسمبلی زبان: ہیکس میں اوپ کوڈز
• ایف پی جی اے پروگرامنگ: بائنری اسٹریمز
• ہارڈ ویئر ڈیبگنگ: منطقی تجزیہ کار

عدد نظریہ خصوصیات کو تلاش کرتا ہے:

• ماڈیولر ریاضی: مختلف اساسیں
• کرپٹوگرافی: RSA، ایلپٹک کروز
• فریکٹل جنریشن: کینٹر سیٹ ٹرنری
• پرائم نمبر پیٹرنز
• کومبینیٹورکس: گنتی کے پیٹرنز

پوزیشنل قدروں کا استعمال کرتے ہوئے پھیلائیں:

• اساس اور ہندسوں کی شناخت کریں
• دائیں سے بائیں پوزیشنیں تفویض کریں (0, 1, 2...)
• ہندسوں کو ڈیسیمل قدروں میں تبدیل کریں
• ضرب دیں: ہندسہ × اساس^پوزیشن
• تمام اصطلاحات کو جمع کریں

بار بار ہدف اساس سے تقسیم کریں:

• عدد کو ہدف اساس سے تقسیم کریں
• باقیماندہ ریکارڈ کریں (دائیں طرف کا ہندسہ)
• حصہ کو دوبارہ اساس سے تقسیم کریں
• حصہ 0 ہونے تک دہرائیں
• باقیماندہ کو نیچے سے اوپر تک پڑھیں

بائنری بٹس کو گروپ کریں:

• بائنری → ہیکس: 4 بٹس کے لحاظ سے گروپ کریں
• بائنری → آکٹل: 3 بٹس کے لحاظ سے گروپ کریں
• ہیکس → بائنری: ہر ہندسے کو 4 بٹس تک پھیلائیں
• آکٹل → بائنری: ہر ہندسے کو 3 بٹس تک پھیلائیں
• ڈیسیمل تبدیلی کو مکمل طور پر چھوڑ دیں!

عام تبدیلیوں کے لیے ٹرکس:

• 2 کی طاقتیں: 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536 یاد رکھیں
• ہیکس: F=15, FF=255, FFF=4095
• آکٹل 777 = بائنری 111111111
• دوگنا/آدھا کرنا: بائنری شفٹ
• کیلکولیٹر کا پروگرامر موڈ استعمال کریں

جب بھی آپ گھڑی دیکھتے ہیں، آپ 5000 سال پرانا بابل کا اساس-60 نظام استعمال کر رہے ہوتے ہیں۔ انہوں نے 60 کا انتخاب اس لیے کیا کیونکہ اس کے 12 تقسیم کنندگان ہیں، جو کسروں کو آسان بناتا ہے۔

1999 میں، ناسا کا 125 ملین ڈالر کا مارس آربیٹر یونٹ کی تبدیلی کی غلطیوں کی وجہ سے تباہ ہو گیا تھا - ایک ٹیم نے امپیریل، دوسری نے میٹرک استعمال کیا۔ درستگی میں ایک مہنگا سبق۔

رومی اعداد میں کوئی صفر اور کوئی منفی نہیں ہے۔ اس نے اعلیٰ ریاضی کو تقریباً ناممکن بنا دیا جب تک کہ ہندو-عربی اعداد (0-9) نے ریاضی میں انقلاب برپا نہ کر دیا۔

اپالو گائیڈنس کمپیوٹر ہر چیز کو آکٹل (اساس 8) میں دکھاتا تھا۔ خلابازوں نے ان پروگراموں کے لیے آکٹل کوڈز یاد کیے جنہوں نے انسانوں کو چاند پر اتارا۔

RGB رنگ کوڈز ہیکس استعمال کرتے ہیں: #RRGGBB جہاں ہر ایک 00-FF (0-255) ہے۔ یہ 24-بٹ ٹرو کلر میں 256³ = 16,777,216 ممکنہ رنگ دیتا ہے۔

سوویت محققین نے 1950-70 کی دہائیوں میں ٹرنری (اساس-3) کمپیوٹرز بنائے۔ سیٹن کمپیوٹر نے بائنری کی بجائے -1, 0, +1 منطق استعمال کی۔ بائنری انفراسٹرکچر جیت گیا۔

بائنری الیکٹرانک سرکٹس سے بالکل مماثل ہے: آن/آف، ہائی/لو وولٹیج۔ دو حالتوں والے نظام قابل اعتماد، تیز، اور بنانے میں آسان ہیں۔ ڈیسیمل کو 10 الگ وولٹیج کی سطحوں کی ضرورت ہوگی، جو سرکٹس کو پیچیدہ اور غلطی کا شکار بنا دے گی۔

16 ہیکس-ٹو-بائنری میپنگز یاد رکھیں (0=0000...F=1111)۔ ہر ہیکس ہندسے کو آزادانہ طور پر تبدیل کریں: A5₁₆ = 1010|0101₂۔ الٹا کرنے کے لیے دائیں سے 4 کے لحاظ سے بائنری کو گروپ کریں: 110101₂ = 35₁₆۔ ڈیسیمل کی ضرورت نہیں!

پروگرامنگ (میموری ایڈریس، بٹ آپریشنز)، نیٹ ورکنگ (آئی پی ایڈریس، میک ایڈریس)، ڈیبگنگ (میموری ڈمپس)، ڈیجیٹل الیکٹرانکس (منطق ڈیزائن)، اور سیکیورٹی (کرپٹوگرافی، ہیشنگ) کے لیے ضروری ہے۔

ہیکس بائٹ کی حدود کے ساتھ منسلک ہے (8 بٹس = 2 ہیکس ہندسے)، جبکہ آکٹل نہیں ہے (8 بٹس = 2.67 آکٹل ہندسے)۔ جدید کمپیوٹرز بائٹ پر مبنی ہیں، جو ہیکس کو زیادہ آسان بناتا ہے۔ صرف یونکس فائل کی اجازتیں آکٹل کو متعلقہ رکھتی ہیں۔

کوئی آسان براہ راست طریقہ نہیں۔ آکٹل بائنری کو 3 کے لحاظ سے گروپ کرتا ہے، ہیکس 4 کے لحاظ سے۔ بائنری کے ذریعے تبدیل کرنا ضروری ہے: آکٹل→بائنری (3 بٹس)→ہیکس (4 بٹس)۔ مثال: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆۔ یا ڈیسیمل کو درمیانی کے طور پر استعمال کریں۔

روایت اور جمالیات۔ رسمی طور پر (سپر باؤل، فلمیں)، امتیاز (آؤٹ لائنز)، لازوالیت (صدی کا کوئی ابہام نہیں)، اور ڈیزائن کی خوبصورتی کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ حساب کے لیے عملی نہیں لیکن ثقافتی طور پر مستقل ہیں۔

ہر اساس کے سخت اصول ہیں۔ اساس 8 میں 8 یا 9 نہیں ہو سکتا۔ اگر آپ 189₈ لکھتے ہیں، تو یہ غلط ہے۔ کنورٹرز اسے مسترد کر دیتے ہیں۔ پروگرامنگ زبانیں اس کو نافذ کرتی ہیں: '09' آکٹل سیاق و سباق میں غلطیوں کا سبب بنتا ہے۔

اساس 1 (یونری) ایک علامت (ٹیلی مارکس) استعمال کرتا ہے۔ واقعی پوزیشنل نہیں ہے: 5 = '11111' (پانچ نشانات)۔ قدیم گنتی کے لیے استعمال ہوتا ہے لیکن غیر عملی ہے۔ مذاق: یونری سب سے آسان اساس ہے - بس گنتے رہو!