Dhasar saka sistem angka apa wae

Dhasar nemtokake pira digit unik sing digunakake lan kepiye nilai panggonan mundhak. Dhasar 10 nggunakake digit 0-9. Dhasar 2 (biner) nggunakake 0-1. Dhasar 16 (heksadesimal) nggunakake 0-9 ditambah A-F.

Ing dhasar 8 (oktal): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Simbol sing nggambarake nilai ing sistem angka

Saben dhasar mbutuhake simbol unik kanggo nilai 0 nganti (dhasar-1). Biner nggunakake {0,1}. Desimal nggunakake {0-9}. Heksadesimal ngluwihi {0-9, A-F} ing ngendi A=10...F=15.

2F3₁₆ ing heksadesimal = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Nerjemahake angka ing antarane sistem sing beda-beda

Konversi kalebu ngembangake dadi desimal nggunakake nilai posisional, banjur ngowahi dadi dhasar target. Saka dhasar apa wae dadi desimal: jumlah digit×dhasar^posisi.

1011₂ → desimal: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Basane komputer - mung 0 lan 1

Biner minangka dhasar kabeh sistem digital. Saben operasi komputer dikurangi dadi biner. Saben digit (bit) nggambarake kahanan urip/mati.

• Digit: {0, 1} - set simbol minimal
• Siji bait = 8 bit, nggambarake 0-255 ing desimal
• Pangkat 2 minangka angka bunder: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Panambahan sederhana: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Digunakake ing: CPU, memori, jaringan, logika digital

Representasi biner sing ringkes nggunakake digit 0-7

Oktal nglompokake digit biner ing set telu (2³=8). Saben digit oktal = persis 3 bit biner.

• Digit: {0-7} - ora ana 8 utawa 9
• Saben digit oktal = 3 bit biner: 7₈ = 111₂
• Ijin Unix: 755 = rwxr-xr-x
• Historis: minikomputer awal
• Kurang umum saiki: heksadesimal wis ngganti oktal

Sistem angka manungsa universal

Desimal minangka standar kanggo komunikasi manungsa ing saindenging jagad. Struktur dhasar-10 kasebut tuwuh saka ngitung nganggo driji.

• Digit: {0-9} - sepuluh simbol
• Alami kanggo manungsa: 10 driji
• Notasi ilmiah nggunakake desimal: 6.022×10²³
• Mata uang, pangukuran, tanggalan
• Komputer ngowahi dadi biner sacara internal

Cekakan programmer kanggo biner

Heksadesimal minangka standar modern kanggo nggambarake biner kanthi ringkes. Siji digit heksadesimal = persis 4 bit (2⁴=16).

• Digit: {0-9, A-F} ing ngendi A=10...F=15
• Saben digit heksadesimal = 4 bit: F₁₆ = 1111₂
• Siji bait = 2 digit heksadesimal: FF₁₆ = 255₁₀
• Warna RGB: #FF5733 = abang(255) ijo(87) biru(51)
• Alamat memori: 0x7FFF8A2C

Dhasar sing paling efisien sacara matematis

Ternary nggunakake digit {0,1,2}. Radix sing paling efisien kanggo nggambarake angka (paling cedhak karo e=2.718).

• Efisiensi matematis optimal
• Ternary sing seimbang: {-,0,+} simetris
• Logika ternary ing sistem fuzzy
• Diusulake kanggo komputasi kuantum (qutrits)

Alternatif praktis kanggo desimal

Dhasar 12 duwe luwih akeh pembagi (2,3,4,6) tinimbang 10 (2,5), nyederhanakake pecahan. Digunakake ing wektu, lusinan, inci/kaki.

• Wektu: jam 12 jam, 60 menit (5×12)
• Imperial: 12 inci = 1 kaki
• Pecahan luwih gampang: 1/3 = 0.4₁₂
• Masyarakat Duodesimal nyengkuyung adopsi

Ngitung kanthi rong puluhan

Sistem dhasar 20 tuwuh saka ngitung driji tangan + driji sikil. Conto Mayan, Aztec, Celtic, lan Basque.

• Sistem tanggalan Mayan
• Prancis: quatre-vingts (80)
• Inggris: 'score' = 20
• Pangétungan tradisional Inuit

Dhasar alfanumerik maksimal

Nggunakake kabeh digit desimal (0-9) ditambah kabeh huruf (A-Z). Ringkes lan bisa diwaca manungsa.

• Penyingkat URL: tautan sing ringkes
• Kunci lisensi: aktivasi piranti lunak
• ID basis data: pengenal sing bisa diketik
• Kode pelacakan: paket, pesenan

Roma Kuno (500 SM - 1500 M)

Ndominasi Eropa suwene 2000 taun. Saben simbol duwe nilai tetep: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Isih digunakake: jam, Super Bowl, garis besar
• Ora ana nol: kangelan ngitung
• Aturan pangurangan: IV=4, IX=9, XL=40
• Watesan: standar nganti 3999
• Diganti dening angka Hindu-Arab

Babilonia Kuno (3000 SM)

Sistem paling tuwa sing isih ana. 60 duwe 12 pembagi, nggampangake pecahan. Digunakake kanggo wektu lan sudut.

• Wektu: 60 detik/menit, 60 menit/jam
• Sudut: bunder 360°, 60 menit busur
• Keterbagian: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 resik
• Petungan astronomi Babilonia

Saben digit desimal dikode minangka 4 bit

BCD nggambarake saben digit desimal (0-9) minangka biner 4-bit. 392 dadi 0011 1001 0010. Ngindhari kesalahan titik-mengambang.

• Sistem keuangan: desimal sing pas
• Jam digital lan kalkulator
• Mainframe IBM: unit desimal
• Strip magnetik kertu kredit

Nilai sing jejer beda siji bit

Kode Gray njamin mung siji bit sing ganti antarane angka sing urut-urutan. Kritis kanggo konversi analog-dadi-digital.

• Encoder puteran: sensor posisi
• Konversi analog-dadi-digital
• Peta Karnaugh: panyederhanaan logika
• Kode koreksi kesalahan

Programmer nggarap macem-macem dhasar saben dina:

• Alamat memori: 0x7FFEE4B2A000 (heksadesimal)
• Gendera bit: 0b10110101 (biner)
• Kode warna: #FF5733 (heksadesimal RGB)
• Ijin file: chmod 755 (oktal)
• Debugging: hexdump, inspeksi memori

Protokol jaringan nggunakake heksadesimal lan biner:

• Alamat MAC: 00:1A:2B:3C:4D:5E (heksadesimal)
• IPv4: 192.168.1.1 = notasi biner
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (heksadesimal)
• Masker subnet: 255.255.255.0 = /24
• Inspeksi paket: Wireshark heksadesimal

Desain perangkat keras ing tingkat biner:

• Gerbang logika: AND, OR, NOT biner
• Register CPU: 64-bit = 16 digit heksadesimal
• Basa rakitan: opcode ing heksadesimal
• Pamrograman FPGA: aliran biner
• Debugging perangkat keras: penganalisis logika

Teori angka njelajah properti:

• Aritmetika modular: macem-macem dhasar
• Kriptografi: RSA, kurva eliptik
• Generasi fraktal: set Cantor ternary
• Pola angka prima
• Kombinatorik: pola panguwasa

Kembangake nggunakake nilai posisional:

• Identifikasi dhasar lan digit
• Wenehi posisi saka tengen menyang kiwa (0, 1, 2...)
• Owahi digit dadi nilai desimal
• Tikelake: digit × dhasar^posisi
• Tambahake kabeh istilah

Bagekake bola-bali kanthi dhasar target:

• Bagekake angka kanthi dhasar target
• Catet sisa (digit paling tengen)
• Bagekake maneh kuotien kanthi dhasar
• Baleni nganti kuotien 0
• Waca sisa saka ngisor munggah

Klompokake bit biner:

• Biner → Heksadesimal: klompokake kanthi 4 bit
• Biner → Oktal: klompokake kanthi 3 bit
• Heksadesimal → Biner: kembangake saben digit dadi 4 bit
• Oktal → Biner: kembangake dadi 3 bit saben digit
• Lumpati konversi desimal kabeh!

Trik kanggo konversi umum:

• Pangkat 2: apalake 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Heksadesimal: F=15, FF=255, FFF=4095
• Oktal 777 = biner 111111111
• Tikel loro/bagek loro: geser biner
• Gunakake mode programmer kalkulator

Saben sampeyan mriksa jam, sampeyan nggunakake sistem dhasar-60 Babilonia sing umure 5000 taun. Dheweke milih 60 amarga duwe 12 pembagi, nggampangake pecahan.

Ing taun 1999, orbiter Mars NASA sing regane $125 yuta dirusak amarga kesalahan konversi unit - siji tim nggunakake imperial, liyane metrik. Pelajaran sing larang babagan presisi.

Angka Romawi ora duwe nol lan ora ana negatif. Iki nggawe matematika majeng meh ora mungkin nganti angka Hindu-Arab (0-9) ngrevolusi matematika.

Komputer Pandhuan Apollo nampilake kabeh ing oktal (dhasar 8). Astronot ngapalake kode oktal kanggo program sing ndharatake manungsa ing Bulan.

Kode warna RGB nggunakake heksadesimal: #RRGGBB ing ngendi saben yaiku 00-FF (0-255). Iki menehi 256³ = 16.777.216 warna sing bisa ana ing warna sejati 24-bit.

Peneliti Soviet mbangun komputer ternary (dhasar-3) ing taun 1950-70an. Komputer Setun nggunakake logika -1, 0, +1 tinimbang biner. Infrastruktur biner menang.

Biner cocog banget karo sirkuit elektronik: urip/mati, voltase dhuwur/rendah. Sistem rong kahanan bisa diandelake, cepet, lan gampang digawe. Desimal mbutuhake 10 tingkat voltase sing beda, nggawe sirkuit rumit lan gampang salah.

Apalake 16 pemetaan heksadesimal-dadi-biner (0=0000...F=1111). Owahi saben digit heksadesimal kanthi mandiri: A5₁₆ = 1010|0101₂. Klompokake biner kanthi 4 saka tengen kanggo mbalikke: 110101₂ = 35₁₆. Ora perlu desimal!

Penting kanggo pamrograman (alamat memori, operasi bit), jaringan (alamat IP, alamat MAC), debugging (dump memori), elektronik digital (desain logika), lan keamanan (kriptografi, hashing).

Heksadesimal selaras karo watesan bait (8 bit = 2 digit heksadesimal), dene oktal ora (8 bit = 2.67 digit oktal). Komputer modern berorientasi bait, nggawe heksadesimal luwih trep. Mung ijin file Unix sing njaga relevansi oktal.

Ora ana metode langsung sing gampang. Oktal nglompokake biner kanthi 3, heksadesimal kanthi 4. Kudu ngowahi liwat biner: oktal→biner (3 bit)→heksadesimal (4 bit). Conto: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Utawa gunakake desimal minangka penengah.

Tradisi lan estetika. Digunakake kanggo formalitas (Super Bowl, film), pembeda (garis besar), keabadian (ora ana ambiguitas abad), lan keanggunan desain. Ora praktis kanggo petungan nanging tetep ana sacara budaya.

Saben dhasar duwe aturan sing ketat. Dhasar 8 ora bisa ngemot 8 utawa 9. Yen sampeyan nulis 189₈, iku ora sah. Konverter bakal nolak. Basa pamrograman meksa iki: '09' nyebabake kesalahan ing konteks oktal.

Dhasar 1 (unary) nggunakake siji simbol (tanda tally). Ora bener-bener posisional: 5 = '11111' (limang tanda). Digunakake kanggo panguwasa primitif nanging ora praktis. Guyon: unary minangka dhasar sing paling gampang - mung terus ngitung!