Minkä tahansa lukujärjestelmän perusta

Kantaluku määrittää, kuinka monta ainutlaatuista numeroa käytetään ja miten paikka-arvot kasvavat. Kantaluku 10 käyttää numeroita 0-9. Kantaluku 2 (binääri) käyttää 0-1. Kantaluku 16 (heksadesimaali) käyttää 0-9 sekä A-F.

Kantaluvussa 8 (oktaali): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Symbolit, jotka edustavat arvoja lukujärjestelmässä

Jokainen kantaluku vaatii ainutlaatuisia symboleja arvoille 0:sta (kantaluku-1):een. Binääri käyttää {0,1}. Desimaali käyttää {0-9}. Heksadesimaali laajenee {0-9, A-F}:ään, missä A=10...F=15.

2F3₁₆ heksadesimaalina = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Lukujen kääntäminen eri järjestelmien välillä

Muuntaminen sisältää laajentamisen desimaalijärjestelmään käyttäen paikka-arvoja ja sen jälkeen muuntamisen kohdekantalukuun. Mistä tahansa kantaluvusta desimaalijärjestelmään: summa numero×kantaluku^paikka.

1011₂ → desimaali: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Tietokoneiden kieli - vain 0 ja 1

Binäärijärjestelmä on kaikkien digitaalisten järjestelmien perusta. Jokainen tietokoneen operaatio pelkistyy binäärimuotoon. Jokainen numero (bitti) edustaa päälle/pois-tiloja.

• Numerot: {0, 1} - minimaalinen symbolijoukko
• Yksi tavu = 8 bittiä, edustaa 0-255 desimaalijärjestelmässä
• 2:n potenssit ovat pyöreitä lukuja: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Yksinkertainen yhteenlasku: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Käytetään: suorittimissa, muistissa, verkoissa, digitaalilogiikassa

Kompakti binääriesitys käyttäen numeroita 0-7

Oktaalijärjestelmä ryhmittelee binäärinumerot kolmen ryhmiin (2³=8). Jokainen oktaalinumero = tasan 3 binääribittiä.

• Numerot: {0-7} - 8 tai 9 ei ole olemassa
• Jokainen oktaalinumero = 3 binääribittiä: 7₈ = 111₂
• Unix-oikeudet: 755 = rwxr-xr-x
• Historiallinen: varhaiset minitietokoneet
• Nykyään harvinaisempi: heksadesimaali on korvannut oktaalin

Universaali ihmisen lukujärjestelmä

Desimaalijärjestelmä on maailmanlaajuinen standardi ihmisten välisessä viestinnässä. Sen kantaluku-10-rakenne kehittyi sormilla laskemisesta.

• Numerot: {0-9} - kymmenen symbolia
• Luonnollinen ihmisille: 10 sormea
• Tieteellinen notaatio käyttää desimaalijärjestelmää: 6.022×10²³
• Valuutta, mitat, kalenterit
• Tietokoneet muuntavat sisäisesti binäärimuotoon

Ohjelmoijan lyhenne binäärijärjestelmälle

Heksadesimaalijärjestelmä on moderni standardi binäärin esittämiseksi kompaktisti. Yksi heksadesimaalinumero = tasan 4 bittiä (2⁴=16).

• Numerot: {0-9, A-F}, missä A=10...F=15
• Jokainen heksadesimaalinumero = 4 bittiä: F₁₆ = 1111₂
• Yksi tavu = 2 heksadesimaalinumeroa: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB-värit: #FF5733 = punainen(255) vihreä(87) sininen(51)
• Muistiosoitteet: 0x7FFF8A2C

Matemaattisesti tehokkain kantaluku

Ternäärijärjestelmä käyttää numeroita {0,1,2}. Tehokkain radix lukujen esittämiseen (lähimpänä e=2.718).

• Matemaattinen tehokkuus optimaalinen
• Tasapainotettu ternääri: {-,0,+} symmetrinen
• Ternäärilogiikka sumeissa järjestelmissä
• Ehdotettu kvanttitietokoneisiin (kutritit)

Käytännöllinen vaihtoehto desimaalijärjestelmälle

Kantaluvulla 12 on enemmän jakajia (2,3,4,6) kuin 10:llä (2,5), mikä yksinkertaistaa murtolukuja. Käytetään ajassa, tusinoissa, tuumissa/jaloissa.

• Aika: 12 tunnin kello, 60 minuuttia (5×12)
• Imperiaalinen: 12 tuumaa = 1 jalka
• Murtoluvut helpompia: 1/3 = 0.4₁₂
• Duodesimaaliyhdistys kannattaa käyttöönottoa

Laskeminen kahdenkymmenen ryhmissä

Kantaluku-20-järjestelmät kehittyivät sormien ja varpaiden laskemisesta. Mayojen, atsteekkien, kelttien ja baskien esimerkkejä.

• Mayojen kalenterijärjestelmä
• Ranska: quatre-vingts (80)
• Englanti: 'score' = 20
• Inuiittien perinteinen laskeminen

Maksimaalinen aakkosnumeerinen kantaluku

Käyttää kaikkia desimaalinumeroita (0-9) sekä kaikkia kirjaimia (A-Z). Kompakti ja ihmisen luettavissa.

• URL-lyhentimet: kompaktit linkit
• Lisenssiavaimet: ohjelmistojen aktivointi
• Tietokanta-ID:t: kirjoitettavat tunnisteet
• Seurantakoodit: paketit, tilaukset

Muinainen Rooma (500 eaa. - 1500 jaa.)

Hallitsi Eurooppaa 2000 vuotta. Jokaisella symbolilla on kiinteä arvo: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Edelleen käytössä: kellot, Super Bowl, jäsennykset
• Ei nollaa: laskemisvaikeuksia
• Vähennyssäännöt: IV=4, IX=9, XL=40
• Rajoitettu: standardi ulottuu 3999:ään
• Korvattu hindu-arabialaisilla numeroilla

Muinainen Babylonia (3000 eaa.)

Vanhin säilynyt järjestelmä. 60:llä on 12 jakajaa, mikä tekee murtoluvuista helpompia. Käytettiin ajalle ja kulmille.

• Aika: 60 sekuntia/minuutti, 60 minuuttia/tunti
• Kulmat: 360° ympyrä, 60 kaariminuuttia
• Jaollisuus: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 puhtaita
• Babylonian astronomiset laskelmat

Jokainen desimaalinumero koodataan 4 bitillä

BCD esittää jokaisen desimaalinumeron (0-9) 4-bittisenä binäärilukuna. 392 muuttuu 0011 1001 0010. Välttää liukulukuvirheitä.

• Rahoitusjärjestelmät: tarkka desimaali
• Digitaaliset kellot ja laskimet
• IBM:n suurtietokoneet: desimaaliyksikkö
• Luottokorttien magneettijuovat

Vierekkäiset arvot eroavat yhdellä bitillä

Gray-koodi varmistaa, että vain yksi bitti muuttuu peräkkäisten lukujen välillä. Kriittinen analogia-digitaalimuunnoksessa.

• Pyörivät kooderit: asentoanturit
• Analogia-digitaalimuunnos
• Karnaugh'n kartat: logiikan yksinkertaistaminen
• Virheenkorjauskoodit

Ohjelmoijat työskentelevät päivittäin useiden kantalukujen kanssa:

• Muistiosoitteet: 0x7FFEE4B2A000 (heksadesimaali)
• Bittiliput: 0b10110101 (binääri)
• Värikoodit: #FF5733 (heksadesimaali RGB)
• Tiedosto-oikeudet: chmod 755 (oktaali)
• Virheenkorjaus: hexdump, muistin tarkastus

Verkkoprotokollat käyttävät heksadesimaalia ja binääriä:

• MAC-osoitteet: 00:1A:2B:3C:4D:5E (heksadesimaali)
• IPv4: 192.168.1.1 = binäärinotaatio
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (heksadesimaali)
• Aliverkkomaskit: 255.255.255.0 = /24
• Pakettien tarkastus: Wireshark heksadesimaali

Laitteistosuunnittelu binääritasolla:

• Logiikkaportit: AND, OR, NOT binääri
• CPU-rekisterit: 64-bittinen = 16 heksadesimaalinumeroa
• Assembly-kieli: opkoodit heksadesimaalina
• FPGA-ohjelmointi: binäärivirrat
• Laitteiston virheenkorjaus: logiikka-analysaattorit

Lukuteoria tutkii ominaisuuksia:

• Modulaariaritmetiikka: eri kantaluvut
• Kryptografia: RSA, elliptiset käyrät
• Fraktalien generointi: Cantorin joukko ternäärinä
• Alkulukujen kuviot
• Kombinatoriikka: laskentamallit

Laajenna käyttäen paikka-arvoja:

• Tunnista kantaluku ja numerot
• Määritä paikat oikealta vasemmalle (0, 1, 2...)
• Muunna numerot desimaaliarvoiksi
• Kerro: numero × kantaluku^paikka
• Summaa kaikki termit

Jaa toistuvasti kohdekantaluvulla:

• Jaa luku kohdekantaluvulla
• Kirjaa jakojäännös (oikeanpuoleisin numero)
• Jaa osamäärä uudelleen kantaluvulla
• Toista, kunnes osamäärä on 0
• Lue jakojäännökset alhaalta ylös

Ryhmittele binääribitit:

• Binääri → Heksadesimaali: ryhmittele 4 bitin ryhmiin
• Binääri → Oktaali: ryhmittele 3 bitin ryhmiin
• Heksadesimaali → Binääri: laajenna jokainen numero 4 bittiin
• Oktaali → Binääri: laajenna 3 bittiin per numero
• Ohita desimaalimuunnos kokonaan!

Vinkkejä yleisiin muunnoksiin:

• 2:n potenssit: opettele ulkoa 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Heksadesimaali: F=15, FF=255, FFF=4095
• Oktaali 777 = binääri 111111111
• Kaksinkertaistaminen/puolittaminen: binäärisiirto
• Käytä laskimen ohjelmoijatilaa

Joka kerta, kun katsot kelloa, käytät 5000 vuotta vanhaa babylonialaista kantaluku-60-järjestelmää. He valitsivat 60:n, koska sillä on 12 jakajaa, mikä helpottaa murtolukuja.

Vuonna 1999 NASAn 125 miljoonan dollarin Mars-kiertorataluotaaja tuhoutui yksikkömuunnosvirheiden vuoksi - yksi tiimi käytti imperiaalista, toinen metristä järjestelmää. Kallis oppitunti tarkkuudesta.

Roomalaisilla numeroilla ei ole nollaa eikä negatiivisia lukuja. Tämä teki edistyneestä matematiikasta lähes mahdotonta, kunnes hindu-arabialaiset numerot (0-9) mullistivat matematiikan.

Apollo-ohjaustietokone näytti kaiken oktaalimuodossa (kantaluku 8). Astronautit opettelivat ulkoa oktaalikoodeja ohjelmille, jotka laskivat ihmisiä Kuuhun.

RGB-värikoodit käyttävät heksadesimaalia: #RRGGBB, missä kukin on 00-FF (0-255). Tämä antaa 256³ = 16 777 216 mahdollista väriä 24-bittisessä todellisessa värissä.

Neuvostoliittolaiset tutkijat rakensivat ternäärisiä (kantaluku-3) tietokoneita 1950-70-luvuilla. Setun-tietokone käytti -1, 0, +1 logiikkaa binäärin sijaan. Binääri-infrastruktuuri voitti.

Binäärijärjestelmä vastaa täydellisesti elektronisia piirejä: päällä/pois, korkea/matala jännite. Kaksitilajärjestelmät ovat luotettavia, nopeita ja helppoja valmistaa. Desimaalijärjestelmä vaatisi 10 erillistä jännitetasoa, mikä tekisi piireistä monimutkaisia ja virhealttiita.

Opettele ulkoa 16 heksadesimaali-binääri-vastaavuutta (0=0000...F=1111). Muunna jokainen heksadesimaalinumero itsenäisesti: A5₁₆ = 1010|0101₂. Ryhmittele binääriluku 4:n ryhmiin oikealta kääntääksesi: 110101₂ = 35₁₆. Desimaalia ei tarvita!

Välttämätöntä ohjelmoinnissa (muistiosoitteet, bittioperaatiot), verkostoitumisessa (IP-osoitteet, MAC-osoitteet), virheenkorjauksessa (muistivedokset), digitaalielektroniikassa (logiikkasuunnittelu) ja turvallisuudessa (kryptografia, hajautus).

Heksadesimaali on linjassa tavurajojen kanssa (8 bittiä = 2 heksadesimaalinumeroa), kun taas oktaali ei ole (8 bittiä = 2.67 oktaalinumeroa). Modernit tietokoneet ovat tavukeskeisiä, mikä tekee heksadesimaalista kätevämmän. Vain Unix-tiedosto-oikeudet pitävät oktaalin relevanttina.

Ei ole helppoa suoraa menetelmää. Oktaali ryhmittelee binäärin 3:n ryhmiin, heksadesimaali 4:n ryhmiin. On muunnettava binäärin kautta: oktaali→binääri (3 bittiä)→heksadesimaali (4 bittiä). Esimerkki: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Tai käytä desimaalia välivaiheena.

Perinne ja estetiikka. Käytetään muodollisuuteen (Super Bowl, elokuvat), erotteluun (jäsennykset), ajattomuuteen (ei vuosisadan epäselvyyttä) ja design-eleganssiin. Ei käytännöllinen laskemiseen, mutta kulttuurisesti sitkeä.

Jokaisella kantaluvulla on tiukat säännöt. Kantaluku 8 ei voi sisältää 8 tai 9. Jos kirjoitat 189₈, se on virheellinen. Muuntimet hylkäävät sen. Ohjelmointikielet valvovat tätä: '09' aiheuttaa virheitä oktaalikonteksteissa.

Kantaluku 1 (unaari) käyttää yhtä symbolia (viivoja). Se ei ole todella paikkajärjestelmä: 5 = '11111' (viisi viivaa). Käytetään primitiiviseen laskemiseen, mutta on epäkäytännöllinen. Vitsi: unaari on helpoin kantaluku - jatka vain laskemista!