De basis van elk getalsysteem

De basis bepaalt hoeveel unieke cijfers worden gebruikt en hoe de plaatswaarden toenemen. Basis 10 gebruikt de cijfers 0-9. Basis 2 (binair) gebruikt 0-1. Basis 16 (hexadecimaal) gebruikt 0-9 plus A-F.

In basis 8 (octaal): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Symbolen die waarden vertegenwoordigen in een getalsysteem

Elke basis vereist unieke symbolen voor waarden van 0 tot (basis-1). Binair gebruikt {0,1}. Decimaal gebruikt {0-9}. Hexadecimaal breidt uit tot {0-9, A-F} waar A=10...F=15.

2F3₁₆ in hexadecimaal = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Getallen vertalen tussen verschillende systemen

Converteren omvat het uitbreiden naar decimaal met behulp van positionele waarden en vervolgens converteren naar de doelbasis. Van elke basis naar decimaal: som van cijfer×basis^positie.

1011₂ → decimaal: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

De taal van computers - alleen 0'en en 1'en

Binair is de basis van alle digitale systemen. Elke computerbewerking wordt gereduceerd tot binair. Elk cijfer (bit) vertegenwoordigt aan/uit-toestanden.

• Cijfers: {0, 1} - minimale symbolenset
• Eén byte = 8 bits, vertegenwoordigt 0-255 in decimaal
• Machten van 2 zijn ronde getallen: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Eenvoudige optelling: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Gebruikt in: CPU's, geheugen, netwerken, digitale logica

Compacte binaire representatie met de cijfers 0-7

Octaal groepeert binaire cijfers in sets van drie (2³=8). Elk octaal cijfer = precies 3 binaire bits.

• Cijfers: {0-7} - 8 of 9 bestaat niet
• Elk octaal cijfer = 3 binaire bits: 7₈ = 111₂
• Unix-permissies: 755 = rwxr-xr-x
• Historisch: vroege minicomputers
• Tegenwoordig minder gebruikelijk: hexadecimaal heeft octaal vervangen

Het universele menselijke getalsysteem

Decimaal is de standaard voor menselijke communicatie wereldwijd. De basis-10-structuur is geëvolueerd uit het tellen op vingers.

• Cijfers: {0-9} - tien symbolen
• Natuurlijk voor mensen: 10 vingers
• Wetenschappelijke notatie gebruikt decimaal: 6.022×10²³
• Valuta, metingen, kalenders
• Computers converteren intern naar binair

Stenografie van de programmeur voor binair

Hexadecimaal is de moderne standaard voor het compact representeren van binair. Eén hexadecimaal cijfer = precies 4 bits (2⁴=16).

• Cijfers: {0-9, A-F} waar A=10...F=15
• Elk hexadecimaal cijfer = 4 bits: F₁₆ = 1111₂
• Eén byte = 2 hexadecimale cijfers: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB-kleuren: #FF5733 = rood(255) groen(87) blauw(51)
• Geheugenadressen: 0x7FFF8A2C

Wiskundig de meest efficiënte basis

Ternair gebruikt de cijfers {0,1,2}. De meest efficiënte radix voor het representeren van getallen (het dichtst bij e=2.718).

• Wiskundige efficiëntie optimaal
• Gebalanceerd ternair: {-,0,+} symmetrisch
• Ternaire logica in fuzzy systemen
• Voorgesteld for kwantumcomputing (qutrits)

Het praktische alternatief voor decimaal

Basis 12 heeft meer delers (2,3,4,6) dan 10 (2,5), wat breuken vereenvoudigt. Gebruikt in tijd, dozijnen, inches/voeten.

• Tijd: 12-uursklok, 60 minuten (5×12)
• Imperiaal: 12 inches = 1 voet
• Breuken eenvoudiger: 1/3 = 0.4₁₂
• De Duodecimal Society pleit voor adoptie

Tellen in twintigtallen

Basis 20-systemen zijn geëvolueerd uit het tellen van vingers + tenen. Maya-, Azteekse, Keltische en Baskische voorbeelden.

• Maya-kalendersysteem
• Frans: quatre-vingts (80)
• Engels: 'score' = 20
• Traditioneel tellen van de Inuit

Maximale alfanumerieke basis

Gebruikt alle decimale cijfers (0-9) plus alle letters (A-Z). Compact en voor mensen leesbaar.

• URL-verkorters: compacte links
• Licentiesleutels: softwareactivering
• Database-ID's: typebare identificatoren
• Volgcodes: pakketten, bestellingen

Het oude Rome (500 v.Chr. - 1500 n.Chr.)

Domineerde Europa 2000 jaar lang. Elk symbool heeft een vaste waarde: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Nog steeds gebruikt: klokken, Super Bowl, overzichten
• Geen nul: rekenproblemen
• Aftrekregels: IV=4, IX=9, XL=40
• Beperkt: de standaard gaat tot 3999
• Vervangen door Hindoe-Arabische cijfers

Het oude Babylon (3000 v.Chr.)

Oudste overgebleven systeem. 60 heeft 12 delers, wat breuken makkelijker maakt. Gebruikt voor tijd en hoeken.

• Tijd: 60 seconden/minuut, 60 minuten/uur
• Hoeken: 360° cirkel, 60 boogminuten
• Deelbaarheid: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 schoon
• Babylonische astronomische berekeningen

Elk decimaal cijfer gecodeerd als 4 bits

BCD representeert elk decimaal cijfer (0-9) als 4-bit binair. 392 wordt 0011 1001 0010. Vermijdt drijvende-kommafouten.

• Financiële systemen: exact decimaal
• Digitale klokken en rekenmachines
• IBM-mainframes: decimale eenheid
• Magneetstrips van creditcards

Aangrenzende waarden verschillen met één bit

Gray-code zorgt ervoor dat slechts één bit verandert tussen opeenvolgende getallen. Cruciaal voor analoog-naar-digitaal-conversie.

• Roterende encoders: positiesensoren
• Analoog-naar-digitaal-conversie
• Karnaugh-diagrammen: logicavereenvoudiging
• Foutcorrectiecodes

Programmeurs werken dagelijks met meerdere bases:

• Geheugenadressen: 0x7FFEE4B2A000 (hexadecimaal)
• Bitvlaggen: 0b10110101 (binair)
• Kleurcodes: #FF5733 (hexadecimaal RGB)
• Bestandsrechten: chmod 755 (octaal)
• Foutopsporing: hexdump, geheugeninspectie

Netwerkprotocollen gebruiken hexadecimaal en binair:

• MAC-adressen: 00:1A:2B:3C:4D:5E (hexadecimaal)
• IPv4: 192.168.1.1 = binaire notatie
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (hexadecimaal)
• Subnetmaskers: 255.255.255.0 = /24
• Pakketinspectie: Wireshark hexadecimaal

Hardwareontwerp op binair niveau:

• Logische poorten: AND, OR, NOT binair
• CPU-registers: 64-bit = 16 hexadecimale cijfers
• Assembleertaal: opcodes in hexadecimaal
• FPGA-programmering: binaire stromen
• Hardwarefoutopsporing: logische analysers

Getaltheorie onderzoekt eigenschappen:

• Modulaire rekenkunde: verschillende bases
• Cryptografie: RSA, elliptische krommen
• Fractalgeneratie: Cantorverzameling ternair
• Priemgetalpatronen
• Combinatoriek: telpatronen

Breid uit met positionele waarden:

• Identificeer basis en cijfers
• Wijs posities toe van rechts naar links (0, 1, 2...)
• Converteer cijfers naar decimale waarden
• Vermenigvuldig: cijfer × basis^positie
• Tel alle termen op

Deel herhaaldelijk door de doelbasis:

• Deel het getal door de doelbasis
• Noteer de rest (meest rechtse cijfer)
• Deel het quotiënt opnieuw door de basis
• Herhaal tot het quotiënt 0 is
• Lees de resten van onder naar boven

Groepeer binaire bits:

• Binair → Hexadecimaal: groepeer per 4 bits
• Binair → Octaal: groepeer per 3 bits
• Hexadecimaal → Binair: breid elk cijfer uit tot 4 bits
• Octaal → Binair: breid uit tot 3 bits per cijfer
• Sla decimale conversie volledig over!

Trucs voor veelvoorkomende conversies:

• Machten van 2: onthoud 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Hexadecimaal: F=15, FF=255, FFF=4095
• Octaal 777 = binair 111111111
• Verdubbelen/halveren: binaire verschuiving
• Gebruik de programmeursmodus van de rekenmachine

Elke keer dat u op de klok kijkt, gebruikt u een 5000 jaar oud Babylonisch basis-60-systeem. Ze kozen 60 omdat het 12 delers heeft, wat breuken makkelijker maakt.

In 1999 werd de 125 miljoen dollar kostende Mars-orbiter van NASA vernietigd door fouten in de eenheidsconversie - één team gebruikte het imperiale stelsel, een ander het metrische. Een dure les in precisie.

Romeinse cijfers hebben geen nul en geen negatieven. Dit maakte geavanceerde wiskunde bijna onmogelijk totdat Hindoe-Arabische cijfers (0-9) de wiskunde revolutioneerden.

De Apollo Guidance Computer toonde alles in octaal (basis 8). Astronauten leerden octale codes uit hun hoofd voor programma's die mensen op de maan lieten landen.

RGB-kleurcodes gebruiken hexadecimaal: #RRGGBB waar elke waarde 00-FF (0-255) is. Dit geeft 256³ = 16.777.216 mogelijke kleuren in 24-bits ware kleuren.

Sovjetonderzoekers bouwden ternaire (basis-3) computers in de jaren 1950-70. De Setun-computer gebruikte -1, 0, +1 logica in plaats van binair. De binaire infrastructuur won.

Binair sluit perfect aan bij elektronische circuits: aan/uit, hoge/lage spanning. Twee-toestandssystemen zijn betrouwbaar, snel en gemakkelijk te produceren. Decimaal zou 10 verschillende spanningsniveaus vereisen, wat circuits complex en foutgevoelig zou maken.

Onthoud de 16 hexadecimaal-naar-binaire koppelingen (0=0000...F=1111). Converteer elk hexadecimaal cijfer afzonderlijk: A5₁₆ = 1010|0101₂. Groepeer binair per 4 van rechts om te keren: 110101₂ = 35₁₆. Geen decimaal nodig!

Essentieel voor programmeren (geheugenadressen, bitbewerkingen), netwerken (IP-adressen, MAC-adressen), foutopsporing (geheugendumps), digitale elektronica (logisch ontwerp) en beveiliging (cryptografie, hashing).

Hexadecimaal is uitgelijnd met bytegrenzen (8 bits = 2 hexadecimale cijfers), terwijl octaal dat niet is (8 bits = 2.67 octale cijfers). Moderne computers zijn byte-georiënteerd, wat hexadecimaal handiger maakt. Alleen Unix-bestandsrechten houden octaal relevant.

Er is geen gemakkelijke directe methode. Octaal groepeert binair per 3, hexadecimaal per 4. Moet converteren via binair: octaal→binair (3 bits)→hexadecimaal (4 bits). Voorbeeld: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Of gebruik decimaal als tussenstap.

Traditie en esthetiek. Gebruikt voor formaliteit (Super Bowl, films), onderscheid (overzichten), tijdloosheid (geen eeuwdubbelzinnigheid) en ontwerpelegantie. Niet praktisch voor berekeningen, maar cultureel hardnekkig.

Elke basis heeft strikte regels. Basis 8 kan geen 8 of 9 bevatten. Als u 189₈ schrijft, is het ongeldig. Converters zullen het afwijzen. Programmeertalen dwingen dit af: '09' veroorzaakt fouten in octale contexten.

Basis 1 (unair) gebruikt één symbool (turfstreepjes). Niet echt positioneel: 5 = '11111' (vijf streepjes). Gebruikt voor primitief tellen, maar onpraktisch. Grapje: unair is de makkelijkste basis - blijf gewoon tellen!