Fundament każdego systemu liczbowego

Podstawa określa, ile unikalnych cyfr jest używanych i jak rosną wartości pozycyjne. Podstawa 10 używa cyfr 0-9. Podstawa 2 (binarny) używa 0-1. Podstawa 16 (szesnastkowy) używa 0-9 oraz A-F.

W podstawie 8 (ósemkowy): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Symbole reprezentujące wartości w systemie liczbowym

Każda podstawa wymaga unikalnych symboli dla wartości od 0 do (podstawa-1). Binarny używa {0,1}. Dziesiętny używa {0-9}. Szesnastkowy rozszerza się do {0-9, A-F}, gdzie A=10...F=15.

2F3₁₆ w szesnastkowym = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Tłumaczenie liczb między różnymi systemami

Konwersja polega na rozwinięciu do systemu dziesiętnego za pomocą wartości pozycyjnych, a następnie konwersji do docelowej podstawy. Z dowolnej podstawy do dziesiętnej: suma cyfra×podstawa^pozycja.

1011₂ → dziesiętny: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Język komputerów - tylko 0 i 1

System binarny jest podstawą wszystkich systemów cyfrowych. Każda operacja komputerowa sprowadza się do binarnej. Każda cyfra (bit) reprezentuje stany włączony/wyłączony.

• Cyfry: {0, 1} - minimalny zestaw symboli
• Jeden bajt = 8 bitów, reprezentuje 0-255 w systemie dziesiętnym
• Potęgi 2 to okrągłe liczby: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Proste dodawanie: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Używany w: procesorach, pamięci, sieciach, logice cyfrowej

Kompaktowa reprezentacja binarna używająca cyfr 0-7

System ósemkowy grupuje cyfry binarne w zestawy po trzy (2³=8). Każda cyfra ósemkowa = dokładnie 3 bity binarne.

• Cyfry: {0-7} - nie istnieje 8 ani 9
• Każda cyfra ósemkowa = 3 bity binarne: 7₈ = 111₂
• Uprawnienia w Uniksie: 755 = rwxr-xr-x
• Historycznie: wczesne minikomputery
• Dziś mniej powszechny: szesnastkowy zastąpił ósemkowy

Uniwersalny ludzki system liczbowy

System dziesiętny jest standardem komunikacji międzyludzkiej na całym świecie. Jego struktura o podstawie 10 wyewoluowała z liczenia na palcach.

• Cyfry: {0-9} - dziesięć symboli
• Naturalny dla ludzi: 10 palców
• Notacja naukowa używa systemu dziesiętnego: 6.022×10²³
• Waluta, miary, kalendarze
• Komputery wewnętrznie konwertują na system binarny

Skrót programistów dla systemu binarnego

System szesnastkowy jest nowoczesnym standardem kompaktowej reprezentacji binarnej. Jedna cyfra szesnastkowa = dokładnie 4 bity (2⁴=16).

• Cyfry: {0-9, A-F}, gdzie A=10...F=15
• Każda cyfra szesnastkowa = 4 bity: F₁₆ = 1111₂
• Jeden bajt = 2 cyfry szesnastkowe: FF₁₆ = 255₁₀
• Kolory RGB: #FF5733 = czerwony(255) zielony(87) niebieski(51)
• Adresy pamięci: 0x7FFF8A2C

Matematycznie najbardziej wydajna podstawa

System trójkowy używa cyfr {0,1,2}. Jest to najbardziej wydajny radix do reprezentowania liczb (najbliższy e=2.718).

• Optymalna wydajność matematyczna
• Zbalansowany trójkowy: {-,0,+} symetryczny
• Logika trójkowa w systemach rozmytych
• Proponowany dla obliczeń kwantowych (kutrity)

Praktyczna alternatywa dla dziesiętnego

Podstawa 12 ma więcej dzielników (2,3,4,6) niż 10 (2,5), co upraszcza ułamki. Używany w czasie, tuzinach, calach/stopach.

• Czas: 12-godzinny zegar, 60 minut (5×12)
• Imperialny: 12 cali = 1 stopa
• Łatwiejsze ułamki: 1/3 = 0.4₁₂
• Towarzystwo Dwunastkowe popiera jego przyjęcie

Liczenie dwudziestkami

Systemy o podstawie 20 wyewoluowały z liczenia na palcach rąk i nóg. Przykłady Majów, Azteków, Celtów i Basków.

• System kalendarza Majów
• Francuski: quatre-vingts (80)
• Angielski: 'score' = 20
• Tradycyjne liczenie Inuitów

Maksymalna podstawa alfanumeryczna

Używa wszystkich cyfr dziesiętnych (0-9) oraz wszystkich liter (A-Z). Kompaktowy i czytelny dla człowieka.

• Skracacze URL: kompaktowe linki
• Klucze licencyjne: aktywacja oprogramowania
• Identyfikatory baz danych: identyfikatory do wpisywania
• Kody śledzące: paczki, zamówienia

Starożytny Rzym (500 p.n.e. - 1500 n.e.)

Dominowały w Europie przez 2000 lat. Każdy symbol ma stałą wartość: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Nadal używane: zegary, Super Bowl, konspekty
• Brak zera: trudności w obliczeniach
• Zasady odejmowania: IV=4, IX=9, XL=40
• Ograniczone: standard sięga do 3999
• Zastąpione przez cyfry indo-arabskie

Starożytna Babilonia (3000 p.n.e.)

Najstarszy zachowany system. 60 ma 12 dzielników, co ułatwia ułamki. Używany do czasu i kątów.

• Czas: 60 sekund/minuta, 60 minut/godzina
• Kąty: 360° okrąg, 60 minut łuku
• Podzielność: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 czysto
• Babilońskie obliczenia astronomiczne

Każda cyfra dziesiętna jest kodowana jako 4 bity

BCD reprezentuje każdą cyfrę dziesiętną (0-9) jako 4-bitowy binarny. 392 staje się 0011 1001 0010. Unika błędów zmiennoprzecinkowych.

• Systemy finansowe: dokładny dziesiętny
• Zegary cyfrowe i kalkulatory
• Mainframe'y IBM: jednostka dziesiętna
• Paski magnetyczne kart kredytowych

Sąsiednie wartości różnią się o jeden bit

Kod Graya zapewnia, że tylko jeden bit zmienia się między kolejnymi liczbami. Kluczowy dla konwersji analogowo-cyfrowej.

• Enkodery obrotowe: czujniki położenia
• Konwersja analogowo-cyfrowa
• Mapy Karnaugha: uproszczenie logiki
• Kody korekcyjne

Programiści codziennie pracują z wieloma podstawami:

• Adresy pamięci: 0x7FFEE4B2A000 (szesnastkowy)
• Flagi bitowe: 0b10110101 (binarny)
• Kody kolorów: #FF5733 (szesnastkowy RGB)
• Uprawnienia do plików: chmod 755 (ósemkowy)
• Debugowanie: hexdump, inspekcja pamięci

Protokoły sieciowe używają szesnastkowego i binarnego:

• Adresy MAC: 00:1A:2B:3C:4D:5E (szesnastkowy)
• IPv4: 192.168.1.1 = notacja binarna
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (szesnastkowy)
• Maski podsieci: 255.255.255.0 = /24
• Inspekcja pakietów: Wireshark szesnastkowy

Projektowanie sprzętu na poziomie binarnym:

• Bramki logiczne: AND, OR, NOT binarne
• Rejestry procesora: 64-bit = 16 cyfr szesnastkowych
• Język asemblera: kody operacji w systemie szesnastkowym
• Programowanie FPGA: strumienie binarne
• Debugowanie sprzętu: analizatory logiczne

Teoria liczb bada właściwości:

• Arytmetyka modularna: różne podstawy
• Kryptografia: RSA, krzywe eliptyczne
• Generowanie fraktali: zbiór Cantora trójkowo
• Wzorce liczb pierwszych
• Kombinatoryka: wzorce liczenia

Rozwiń za pomocą wartości pozycyjnych:

• Zidentyfikuj podstawę i cyfry
• Przypisz pozycje od prawej do lewej (0, 1, 2...)
• Przekonwertuj cyfry na wartości dziesiętne
• Pomnóż: cyfra × podstawa^pozycja
• Zsumuj wszystkie składniki

Wielokrotnie dziel przez docelową podstawę:

• Podziel liczbę przez docelową podstawę
• Zapisz resztę (skrajna prawa cyfra)
• Ponownie podziel iloraz przez podstawę
• Powtarzaj, aż iloraz wyniesie 0
• Odczytaj reszty od dołu do góry

Grupuj bity binarne:

• Binarny → Szesnastkowy: grupuj po 4 bity
• Binarny → Ósemkowy: grupuj po 3 bity
• Szesnastkowy → Binarny: rozwiń każdą cyfrę do 4 bitów
• Ósemkowy → Binarny: rozwiń do 3 bitów na cyfrę
• Całkowicie pomiń konwersję dziesiętną!

Sztuczki do popularnych konwersji:

• Potęgi 2: zapamiętaj 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Szesnastkowy: F=15, FF=255, FFF=4095
• Ósemkowy 777 = binarny 111111111
• Podwajanie/połowienie: przesunięcie binarne
• Użyj trybu programisty w kalkulatorze

Za każdym razem, gdy sprawdzasz zegar, używasz 5000-letniego babilońskiego systemu o podstawie 60. Wybrali 60, ponieważ ma 12 dzielników, co ułatwia ułamki.

W 1999 roku orbiter Marsa NASA o wartości 125 milionów dolarów został zniszczony z powodu błędów w konwersji jednostek - jeden zespół używał systemu imperialnego, a drugi metrycznego. Kosztowna lekcja precyzji.

Cyfry rzymskie nie mają zera ani liczb ujemnych. To sprawiło, że zaawansowana matematyka była prawie niemożliwa, dopóki cyfry indo-arabskie (0-9) nie zrewolucjonizowały matematyki.

Komputer Nawigacyjny Apollo wyświetlał wszystko w systemie ósemkowym (podstawa 8). Astronauci zapamiętywali kody ósemkowe dla programów, które wylądowały ludzi na Księżycu.

Kody kolorów RGB używają systemu szesnastkowego: #RRGGBB, gdzie każda wartość wynosi od 00 do FF (0-255). Daje to 256³ = 16,777,216 możliwych kolorów w 24-bitowym trybie true color.

Radzieccy badacze budowali komputery trójkowe (podstawa 3) w latach 50. i 70. XX wieku. Komputer Setun używał logiki -1, 0, +1 zamiast binarnej. Infrastruktura binarna wygrała.

System binarny idealnie pasuje do obwodów elektronicznych: włączony/wyłączony, wysokie/niskie napięcie. Systemy dwustanowe są niezawodne, szybkie i łatwe w produkcji. System dziesiętny wymagałby 10 różnych poziomów napięcia, co czyniłoby obwody złożonymi i podatnymi na błędy.

Zapamiętaj 16 mapowań szesnastkowych na binarne (0=0000...F=1111). Przekonwertuj każdą cyfrę szesnastkową niezależnie: A5₁₆ = 1010|0101₂. Zgrupuj binarne po 4 od prawej, aby odwrócić: 110101₂ = 35₁₆. System dziesiętny nie jest potrzebny!

Niezbędne do programowania (adresy pamięci, operacje bitowe), sieci (adresy IP, adresy MAC), debugowania (zrzuty pamięci), elektroniki cyfrowej (projektowanie logiki) i bezpieczeństwa (kryptografia, haszowanie).

System szesnastkowy jest zgodny z granicami bajtów (8 bitów = 2 cyfry szesnastkowe), podczas gdy ósemkowy nie jest (8 bitów = 2.67 cyfr ósemkowych). Nowoczesne komputery są zorientowane na bajty, co czyni szesnastkowy wygodniejszym. Tylko uprawnienia do plików w systemie Unix utrzymują ósemkowy w użyciu.

Nie ma łatwej bezpośredniej metody. System ósemkowy grupuje binarne po 3, szesnastkowy po 4. Należy konwertować przez system binarny: ósemkowy→binarny (3 bity)→szesnastkowy (4 bity). Przykład: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Lub użyj systemu dziesiętnego jako pośrednika.

Tradycja i estetyka. Używane do formalności (Super Bowl, filmy), rozróżnienia (konspekty), ponadczasowości (brak niejednoznaczności stulecia) i elegancji projektu. Niepraktyczne do obliczeń, ale kulturowo trwałe.

Każda podstawa ma ścisłe zasady. Podstawa 8 nie może zawierać 8 ani 9. Jeśli napiszesz 189₈, jest to nieprawidłowe. Konwertery to odrzucą. Języki programowania to egzekwują: '09' powoduje błędy w kontekstach ósemkowych.

Podstawa 1 (unarny) używa jednego symbolu (kresek). Nie jest prawdziwie pozycyjny: 5 = '11111' (pięć kresek). Używany do prymitywnego liczenia, ale niepraktyczny. Żart: unarny to najłatwiejsza podstawa - po prostu licz dalej!