Temelj svakog brojnog sistema

Osnova određuje koliko se jedinstvenih cifara koristi i kako se povećavaju mesne vrednosti. Osnova 10 koristi cifre 0-9. Osnova 2 (binarni) koristi 0-1. Osnova 16 (heksadecimalni) koristi 0-9 plus A-F.

U osnovi 8 (oktalni): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Simboli koji predstavljaju vrednosti u brojnom sistemu

Svaka osnova zahteva jedinstvene simbole za vrednosti od 0 do (osnova-1). Binarni koristi {0,1}. Decimalni koristi {0-9}. Heksadecimalni se proširuje na {0-9, A-F} gde je A=10...F=15.

2F3₁₆ u heksadecimalnom = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Prevođenje brojeva između različitih sistema

Konverzija uključuje proširenje u decimalni sistem koristeći pozicione vrednosti, a zatim konverziju u ciljnu osnovu. Iz bilo koje osnove u decimalni: zbir cifra×osnova^pozicija.

1011₂ → decimalni: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Jezik računara - samo 0 i 1

Binarni sistem je temelj svih digitalnih sistema. Svaka računarska operacija se svodi na binarni. Svaka cifra (bit) predstavlja stanje uključeno/isključeno.

• Cifre: {0, 1} - minimalni skup simbola
• Jedan bajt = 8 bita, predstavlja 0-255 u decimalnom sistemu
• Stepeni broja 2 su okrugli brojevi: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Sabiranje je jednostavno: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Koristi se u: CPU, memoriji, mrežama, digitalnoj logici

Kompaktni binarni prikaz koristeći cifre 0-7

Oktalni sistem grupiše binarne cifre u skupove od po tri (2³=8). Svaka oktalna cifra = tačno 3 binarna bita.

• Cifre: {0-7} - ne postoje 8 ili 9
• Svaka oktalna cifra = 3 binarna bita: 7₈ = 111₂
• Unix dozvole: 755 = rwxr-xr-x
• Istorijski: rani miniračunari
• Danas manje uobičajen: heksadecimalni je zamenio oktalni

Univerzalni ljudski brojni sistem

Decimalni sistem je standard za ljudsku komunikaciju širom sveta. Njegova struktura osnove 10 evoluirala je iz brojanja na prste.

• Cifre: {0-9} - deset simbola
• Prirodan za ljude: 10 prstiju
• Naučna notacija koristi decimalni sistem: 6.022×10²³
• Valuta, merenja, kalendari
• Računari interno konvertuju u binarni

Programerska skraćenica za binarni

Heksadecimalni sistem je moderni standard za kompaktno predstavljanje binarnog. Jedna heksadecimalna cifra = tačno 4 bita (2⁴=16).

• Cifre: {0-9, A-F} gde je A=10...F=15
• Svaka heksadecimalna cifra = 4 bita: F₁₆ = 1111₂
• Jedan bajt = 2 heksadecimalne cifre: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB boje: #FF5733 = crvena(255) zelena(87) plava(51)
• Memorijske adrese: 0x7FFF8A2C

Matematički najefikasnija osnova

Ternarni sistem koristi cifre {0,1,2}. Najefikasniji radiks za predstavljanje brojeva (najbliži e=2.718).

• Optimalna matematička efikasnost
• Balansirani ternarni: {-,0,+} simetričan
• Ternarna logika u fazi sistemima
• Predložen za kvantno računarstvo (kutriti)

Praktična alternativa decimalnom

Osnova 12 ima više delilaca (2,3,4,6) od 10 (2,5), što pojednostavljuje razlomke. Koristi se za vreme, tuceta, inče/stope.

• Vreme: 12-časovni sat, 60 minuta (5×12)
• Imperijalni: 12 inča = 1 stopa
• Lakši razlomci: 1/3 = 0.4₁₂
• Duodecimalno društvo zagovara usvajanje

Brojanje dvadeseticama

Sistemi osnove 20 su evoluirali iz brojanja prstiju na rukama i nogama. Primeri Maja, Asteka, Kelta i Baska.

• Majanski kalendarski sistem
• Francuski: quatre-vingts (80)
• Engleski: 'score' = 20
• Tradicionalno brojanje Inuita

Maksimalna alfanumerička osnova

Koristi sve decimalne cifre (0-9) plus sva slova (A-Z). Kompaktan i čitljiv za ljude.

• Skraćivači URL-ova: kompaktni linkovi
• Licencni ključevi: aktivacija softvera
• ID-jevi baza podataka: identifikatori koji se mogu kucati
• Kodovi za praćenje: paketi, porudžbine

Drevni Rim (500 p.n.e. - 1500 n.e.)

Dominirao Evropom 2000 godina. Svaki simbol ima fiksnu vrednost: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Još uvek se koriste: satovi, Super Bowl, nacrti
• Nema nule: poteškoće u računanju
• Pravila oduzimanja: IV=4, IX=9, XL=40
• Ograničeni: standard ide do 3999
• Zamenjeni hindu-arapskim brojevima

Drevni Vavilon (3000 p.n.e.)

Najstariji preživeli sistem. 60 ima 12 delilaca, što olakšava razlomke. Koristi se za vreme i uglove.

• Vreme: 60 sekundi/minut, 60 minuta/sat
• Uglovi: krug od 360°, 60 lučnih minuta
• Deljivost: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 čisti
• Vavilonski astronomski proračuni

Svaka decimalna cifra je kodirana kao 4 bita

BCD predstavlja svaku decimalnu cifru (0-9) kao 4-bitni binarni broj. 392 postaje 0011 1001 0010. Izbegava greške sa pokretnim zarezom.

• Finansijski sistemi: tačan decimalni
• Digitalni satovi i kalkulatori
• IBM mejnfrejmovi: decimalna jedinica
• Magnetne trake kreditnih kartica

Susedne vrednosti se razlikuju za jedan bit

Grejov kod osigurava da se samo jedan bit menja između uzastopnih brojeva. Kritičan za analogno-digitalnu konverziju.

• Rotacioni enkoderi: senzori pozicije
• Analogno-digitalna konverzija
• Karnoove mape: pojednostavljenje logike
• Kodovi za ispravku grešaka

Programeri svakodnevno rade sa više osnova:

• Memorijske adrese: 0x7FFEE4B2A000 (heksadecimalni)
• Bit flagovi: 0b10110101 (binarni)
• Kodovi boja: #FF5733 (heksadecimalni RGB)
• Dozvole za datoteke: chmod 755 (oktalni)
• Debagovanje: hexdump, inspekcija memorije

Mrežni protokoli koriste heksadecimalni i binarni:

• MAC adrese: 00:1A:2B:3C:4D:5E (heksadecimalni)
• IPv4: 192.168.1.1 = binarna notacija
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (heksadecimalni)
• Maska podmreže: 255.255.255.0 = /24
• Inspekcija paketa: Wireshark heksadecimalni

Dizajn hardvera na binarnom nivou:

• Logička kola: AND, OR, NOT binarni
• CPU registri: 64-bit = 16 heksadecimalnih cifara
• Asemblerski jezik: opkodovi u heksadecimalnom
• FPGA programiranje: binarni tokovi
• Debagovanje hardvera: logički analizatori

Teorija brojeva istražuje svojstva:

• Modularna aritmetika: različite osnove
• Kriptografija: RSA, eliptičke krive
• Generisanje fraktala: Kantorov skup ternarni
• Obrasci prostih brojeva
• Kombinatorika: obrasci brojanja

Proširite koristeći pozicione vrednosti:

• Identifikujte osnovu i cifre
• Dodelite pozicije s desna na levo (0, 1, 2...)
• Konvertujte cifre u decimalne vrednosti
• Pomnožite: cifra × osnova^pozicija
• Saberite sve članove

Uzastopno delite sa ciljnom osnovom:

• Podelite broj sa ciljnom osnovom
• Zabeležite ostatak (krajnja desna cifra)
• Ponovo podelite količnik sa osnovom
• Ponavljajte dok količnik ne bude 0
• Čitajte ostatke odozdo prema gore

Grupišite binarne bite:

• Binarni → Heksadecimalni: grupišite po 4 bita
• Binarni → Oktalni: grupišite po 3 bita
• Heksadecimalni → Binarni: proširite svaku cifru na 4 bita
• Oktalni → Binarni: proširite na 3 bita po cifri
• Preskočite decimalnu konverziju u potpunosti!

Trikovi za uobičajene konverzije:

• Stepeni broja 2: zapamtite 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Heksadecimalni: F=15, FF=255, FFF=4095
• Oktalni 777 = binarni 111111111
• Udvostručavanje/prepolovljavanje: binarni pomak
• Koristite programerski režim kalkulatora

Svaki put kada pogledate na sat, koristite 5000 godina star vavilonski sistem osnove 60. Izabrali su 60 jer ima 12 delilaca, što olakšava razlomke.

1999. godine, NASA-in Mars orbiter vredan 125 miliona dolara uništen je zbog grešaka u konverziji jedinica - jedan tim je koristio imperijalni, a drugi metrički sistem. Skupa lekcija o preciznosti.

Rimski brojevi nemaju nulu i nemaju negativne brojeve. To je učinilo naprednu matematiku gotovo nemogućom sve dok hindu-arapski brojevi (0-9) nisu revolucionisali matematiku.

Apolo Vodeći Računar je sve prikazivao u oktalnom sistemu (osnova 8). Astronauti su pamtili oktalne kodove za programe koji su spustili ljude na Mesec.

RGB kodovi boja koriste heksadecimalni sistem: #RRGGBB gde je svaki 00-FF (0-255). To daje 256³ = 16,777,216 mogućih boja u 24-bitnoj pravoj boji.

Sovjetski istraživači su gradili ternarne (osnova-3) računare 1950-ih i 70-ih godina. Računar Setun je koristio logiku -1, 0, +1 umesto binarne. Binarna infrastruktura je pobedila.

Binarni se savršeno preslikava na elektronska kola: uključeno/isključeno, visok/nizak napon. Sistemi sa dva stanja su pouzdani, brzi i laki za proizvodnju. Decimalni bi zahtevao 10 različitih nivoa napona, što bi kola učinilo složenim i sklonim greškama.

Zapamtite 16 mapiranja heksadecimalni-u-binarni (0=0000...F=1111). Konvertujte svaku heksadecimalnu cifru nezavisno: A5₁₆ = 1010|0101₂. Grupišite binarni po 4 s desna da biste obrnuli: 110101₂ = 35₁₆. Decimalni nije potreban!

Neophodno za programiranje (memorijske adrese, bit operacije), umrežavanje (IP adrese, MAC adrese), debagovanje (memorijski dumpovi), digitalnu elektroniku (logički dizajn) i bezbednost (kriptografija, heširanje).

Heksadecimalni se poravnava sa granicama bajta (8 bita = 2 heksadecimalne cifre), dok oktalni ne (8 bita = 2.67 oktalnih cifara). Moderni računari su orijentisani na bajtove, što heksadecimalni čini praktičnijim. Samo Unix dozvole za datoteke održavaju oktalni relevantnim.

Nema lake direktne metode. Oktalni grupiše binarni po 3, heksadecimalni po 4. Mora se konvertovati preko binarnog: oktalni→binarni (3 bita)→heksadecimalni (4 bita). Primer: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Ili koristite decimalni kao posrednika.

Tradicija i estetika. Koriste se za formalnost (Super Bowl, filmovi), razlikovanje (nacrti), bezvremenost (nema dvosmislenosti veka) i eleganciju dizajna. Nisu praktični za računanje, ali su kulturno postojani.

Svaka osnova ima stroga pravila. Osnova 8 ne može sadržati 8 ili 9. Ako napišete 189₈, to je nevažeće. Konvertori će to odbiti. Programski jezici to nameću: '09' uzrokuje greške u oktalnim kontekstima.

Osnova 1 (unarni) koristi jedan simbol (crtice). Nije zaista pozicioni: 5 = '11111' (pet crtica). Koristi se za primitivno brojanje, ali je nepraktičan. Šala: unarni je najlakša osnova - samo nastavite da brojite!