任何数字系统的基础

基数决定了使用多少个独立数字以及位值如何增加。基数 10 使用数字 0-9。基数 2（二进制）使用 0-1。基数 16（十六进制）使用 0-9 加上 A-F。

在基数 8（八进制）中：157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

在数字系统中代表值的符号

每个基数都需要从 0 到（基数-1）的独立符号。二进制使用 {0,1}。十进制使用 {0-9}。十六进制扩展到 {0-9, A-F}，其中 A=10...F=15。

十六进制中的 2F3₁₆ = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

在不同系统之间转换数字

转换涉及使用位置值扩展到十进制，然后转换到目标基数。从任何基数到十进制：总和为 数字×基数^位置。

1011₂ → 十进制：8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

计算机的语言 - 只有 0 和 1

二进制是所有数字系统的基础。每个计算机操作都简化为二进制。每个数字（比特）代表开/关状态。

• 数字：{0, 1} - 最小符号集
• 一个字节 = 8 比特，在十进制中表示 0-255
• 2 的幂是整数：1024₁₀ = 10000000000₂
• 加法简单：0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• 用于：CPU、内存、网络、数字逻辑

使用数字 0-7 的紧凑二进制表示

八进制将二进制数字以三个为一组（2³=8）。每个八进制数字 = 正好 3 个二进制比特。

• 数字：{0-7} - 不存在 8 或 9
• 每个八进制数字 = 3 个二进制比特：7₈ = 111₂
• Unix 权限：755 = rwxr-xr-x
• 历史：早期的微型计算机
• 现今较少见：十六进制已取代八进制

通用的人类数字系统

十进制是全球人类沟通的标准。其基数 10 的结构是从用手指计数演变而来。

• 数字：{0-9} - 十个符号
• 对人类而言自然：10 根手指
• 科学记数法使用十进制：6.022×10²³
• 货币、测量、日历
• 计算机在内部转换为二进制

程序员对二进制的简写

十六进制是紧凑表示二进制的现代标准。一个十六进制数字 = 正好 4 个比特 (2⁴=16)。

• 数字：{0-9, A-F} 其中 A=10...F=15
• 每个十六进制数字 = 4 个比特：F₁₆ = 1111₂
• 一个字节 = 2 个十六进制数字：FF₁₆ = 255₁₀
• RGB 颜色：#FF5733 = 红(255) 绿(87) 蓝(51)
• 内存地址：0x7FFF8A2C

数学上最有效率的基数

三进制使用数字 {0,1,2}。是表示数字最有效率的基数（最接近 e=2.718）。

• 数学效率最佳
• 平衡三进制：{-,0,+} 对称
• 模糊系统中的三元逻辑
• 提议用于量子计算（三进制位）

十进制的实用替代方案

基数 12 的因数（2,3,4,6）比 10（2,5）多，简化了分数。用于时间、打、英寸/英尺。

• 时间：12 小时制时钟、60 分钟 (5×12)
• 英制：12 英寸 = 1 英尺
• 分数更容易：1/3 = 0.4₁₂
• 十二进制学会倡导采用

以二十为单位计数

基数 20 系统是从计算手指加脚趾演变而来。玛雅、阿兹特克、凯尔特和巴斯克等例子。

• 玛雅历法系统
• 法语：quatre-vingts (80)
• 英语：'score' = 20
• 因纽特传统计数法

最大字母数字基数

使用所有十进制数字（0-9）加上所有字母（A-Z）。紧凑且人类可读。

• URL 缩短器：紧凑的链接
• 许可证密钥：软件激活
• 数据库 ID：可输入的标识符
• 跟踪码：包裹、订单

古罗马（公元前 500 年 - 公元 1500 年）

主宰欧洲 2000 年。每个符号都有固定值：I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000。

• 仍在使用：时钟、超级碗、大纲
• 没有零：计算困难
• 减法规则：IV=4, IX=9, XL=40
• 有限：标准最多到 3999
• 被印度-阿拉伯数字取代

古巴比伦（公元前 3000 年）

现存最古老的系统。60 有 12 个因数，使分数更容易。用于时间和角度。

• 时间：60 秒/分钟，60 分钟/小时
• 角度：360° 圆，60 弧分
• 可除性：1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 皆可整除
• 巴比伦天文计算

每个十进制数字编码为 4 比特

BCD 将每个十进制数字（0-9）表示为 4 比特的二进制。392 变成 0011 1001 0010。避免了浮点数错误。

• 金融系统：精确的十进制
• 数字时钟和计算器
• IBM 主机：十进制单元
• 信用卡磁条

相邻值仅相差一个比特

格雷码确保连续数字之间只有一个比特发生变化。对于模拟-数字转换至关重要。

• 旋转编码器：位置传感器
• 模拟-数字转换
• 卡诺图：逻辑简化
• 错误校正码

程序员每天都与多种基数打交道：

• 内存地址：0x7FFEE4B2A000 (十六进制)
• 比特标志：0b10110101 (二进制)
• 颜色代码：#FF5733 (十六进制 RGB)
• 文件权限：chmod 755 (八进制)
• 调试：hexdump、内存检查

网络协议使用十六进制和二进制：

• MAC 地址：00:1A:2B:3C:4D:5E (十六进制)
• IPv4：192.168.1.1 = 二进制表示法
• IPv6：2001:0db8:85a3:: (十六进制)
• 子网掩码：255.255.255.0 = /24
• 数据包检查：Wireshark 十六进制

二进制层级的硬件设计：

• 逻辑门：AND, OR, NOT 二进制
• CPU 寄存器：64 位 = 16 个十六进制数字
• 汇编语言：十六进制的操作码
• FPGA 编程：二进制流
• 硬件调试：逻辑分析仪

数论探索各种属性：

• 模运算：各种基数
• 密码学：RSA、椭圆曲线
• 分形生成：康托尔集三进制
• 素数模式
• 组合数学：计数模式

使用位置值展开：

• 识别基数和数字
• 从右到左分配位置 (0, 1, 2...)
• 将数字转换为十进制值
• 相乘：数字 × 基数^位置
• 将所有项相加

重复除以目标基数：

• 将数字除以目标基数
• 记录余数（最右边的数字）
• 再次将商除以基数
• 重复直到商为 0
• 从下到上读取余数

将二进制比特分组：

• 二进制 → 十六进制：以 4 比特为一组
• 二进制 → 八进制：以 3 比特为一组
• 十六进制 → 二进制：将每个数字扩展为 4 比特
• 八进制 → 二进制：每个数字扩展为 3 比特
• 完全跳过十进制转换！

常见转换的技巧：

• 2 的幂：记住 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• 十六进制：F=15, FF=255, FFF=4095
• 八进制 777 = 二进制 111111111
• 加倍/减半：移动二进制
• 使用计算器的程序员模式

每当你看时钟，你都在使用一个有 5000 年历史的巴比伦基数 60 系统。他们选择 60 是因为它有 12 个因数，使分数计算更容易。

1999 年，NASA 价值 1.25 亿美元的火星探测者号因单位转换错误而摧毁——一个团队使用英制单位，另一个使用公制单位。这是在精确性方面一个代价高昂的教训。

罗马数字没有零也没有负数。这使得高等数学几乎不可能，直到印度-阿拉伯数字（0-9）彻底改变了数学。

阿波罗导航计算机以八进制（基数 8）显示所有内容。宇航员背诵了将人类送上月球的程序的八进制代码。

RGB 颜色代码使用十六进制：#RRGGBB，其中每个值为 00-FF (0-255)。这在 24 位真彩色中提供了 256³ = 16,777,216 种可能的颜色。

苏联研究人员在 1950-70 年代建造了三进制（基数 3）计算机。Setun 计算机使用 -1, 0, +1 逻辑而非二进制。最终二进制基础设施获胜。

二进制完美对应电子电路：开/关、高/低电压。双态系统可靠、快速且易于制造。十进制需要 10 个不同的电压等级，会使电路变得复杂且容易出错。

记住 16 个十六进制到二进制的映射（0=0000...F=1111）。独立转换每个十六进制数字：A5₁₆ = 1010|0101₂。从右边将二进制以 4 个为一组反向转换：110101₂ = 35₁₆。不需要十进制！

对于编程（内存地址、位运算）、网络（IP 地址、MAC 地址）、调试（内存转储）、数字电子学（逻辑设计）和安全（密码学、哈希）至关重要。

十六进制与字节边界对齐（8 比特 = 2 个十六进制数字），而八进制则不对齐（8 比特 = 2.67 个八进制数字）。现代计算机是以字节为导向的，这使得十六进制更方便。只有 Unix 文件权限让八进制保持了相关性。

没有简单的直接方法。八进制以 3 个比特分组，十六进制以 4 个比特分组。必须通过二进制转换：八进制→二进制 (3 比特)→十六进制 (4 比特)。例如：52₈ = 101010₂ = 2A₁₆。或者使用十进制作为中介。

传统和美学。用于正式场合（超级碗、电影）、区分（大纲）、永恒性（没有世纪歧义）和设计优雅。计算不实用，但在文化上持续存在。

每个基数都有严格的规则。基数 8 不能包含 8 或 9。如果你写 189₈，它是无效的。转换器会拒绝它。编程语言会强制执行此规则：'09' 在八进制上下文中会导致错误。

基数 1（一元）使用一个符号（计数符号）。不是真正的位置性：5 = '11111'（五个标记）。用于原始计数但不实用。笑话：一元是最简单的基数 - 只要一直数下去就好！