Jebkuras skaitļu sistēmas pamats

Bāze nosaka, cik unikālu ciparu tiek izmantots un kā pieaug vietu vērtības. Bāze 10 izmanto ciparus 0-9. Bāze 2 (binārā) izmanto 0-1. Bāze 16 (heksadecimālā) izmanto 0-9 plus A-F.

Bāzē 8 (oktālā): 157₈ = 1×64 + 5×8 + 7×1 = 111₁₀

Simboli, kas attēlo vērtības skaitļu sistēmā

Katrai bāzei ir nepieciešami unikāli simboli vērtībām no 0 līdz (bāze-1). Binārā izmanto {0,1}. Decimālā izmanto {0-9}. Heksadecimālā sistēma paplašinās līdz {0-9, A-F}, kur A=10...F=15.

2F3₁₆ heksadecimālajā = 2×256 + 15×16 + 3 = 755₁₀

Skaitļu tulkošana starp dažādām sistēmām

Pārveidošana ietver paplašināšanu uz decimālo, izmantojot pozicionālās vērtības, un pēc tam pārveidošanu uz mērķa bāzi. No jebkuras bāzes uz decimālo: summa cipars×bāze^pozīcija.

1011₂ → decimālā: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Datoru valoda - tikai 0 un 1

Binārā sistēma ir visu digitālo sistēmu pamats. Katra datora darbība tiek reducēta uz bināro. Katrs cipars (bits) attēlo ieslēgtu/izslēgtu stāvokli.

• Cipari: {0, 1} - minimālais simbolu komplekts
• Viens baits = 8 biti, attēlo 0-255 decimālajā sistēmā
• 2 pakāpes ir apaļi skaitļi: 1024₁₀ = 10000000000₂
• Vienkārša saskaitīšana: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10
• Izmanto: CPU, atmiņā, tīklos, digitālajā loģikā

Kompakts binārais attēlojums, izmantojot ciparus 0-7

Oktālā sistēma grupē bināros ciparus trīs komplektos (2³=8). Katrs oktālais cipars = tieši 3 binārie biti.

• Cipari: {0-7} - 8 vai 9 nepastāv
• Katrs oktālais cipars = 3 binārie biti: 7₈ = 111₂
• Unix atļaujas: 755 = rwxr-xr-x
• Vēsturiski: agrīnie minidatori
• Mūsdienās retāk sastopama: heksadecimālā sistēma ir aizstājusi oktālo

Universālā cilvēku skaitļu sistēma

Decimālā sistēma ir standarts cilvēku saziņai visā pasaulē. Tās bāzes 10 struktūra attīstījās no skaitīšanas uz pirkstiem.

• Cipari: {0-9} - desmit simboli
• Dabisks cilvēkiem: 10 pirksti
• Zinātniskā notācija izmanto decimālo: 6.022×10²³
• Valūta, mērījumi, kalendāri
• Datori iekšēji pārveido uz bināro

Programmētāja saīsinājums binārajai sistēmai

Heksadecimālā sistēma ir mūsdienu standarts binārās sistēmas kompaktam attēlojumam. Viens heksadecimālais cipars = tieši 4 biti (2⁴=16).

• Cipari: {0-9, A-F}, kur A=10...F=15
• Katrs heksadecimālais cipars = 4 biti: F₁₆ = 1111₂
• Viens baits = 2 heksadecimālie cipari: FF₁₆ = 255₁₀
• RGB krāsas: #FF5733 = sarkans(255) zaļš(87) zils(51)
• Atmiņas adreses: 0x7FFF8A2C

Matemātiski visefektīvākā bāze

Ternārā sistēma izmanto ciparus {0,1,2}. Visefektīvākais radiks skaitļu attēlošanai (vistuvāk e=2.718).

• Optimāla matemātiskā efektivitāte
• Līdzsvarota ternārā: {-,0,+} simetriska
• Ternārā loģika izplūdušajās sistēmās
• Piedāvāta kvantu skaitļošanai (qutrits)

Praktiskā alternatīva decimālajai

Bāzei 12 ir vairāk dalītāju (2,3,4,6) nekā 10 (2,5), kas vienkāršo daļskaitļus. Izmanto laika, duču, collu/pēdu mērīšanai.

• Laiks: 12 stundu pulkstenis, 60 minūtes (5×12)
• Imperiālā: 12 collas = 1 pēda
• Daļskaitļi vieglāki: 1/3 = 0.4₁₂
• Duodecimālā biedrība aizstāv tās ieviešanu

Skaitīšana divdesmitniekos

Bāzes 20 sistēmas attīstījās no pirkstu un kāju pirkstu skaitīšanas. Maiju, acteku, ķeltu un basku piemēri.

• Maiju kalendāra sistēma
• Franču valoda: quatre-vingts (80)
• Angļu valoda: 'score' = 20
• Inuitu tradicionālā skaitīšana

Maksimālā alfabētiski-ciparu bāze

Izmanto visus decimālos ciparus (0-9) plus visus burtus (A-Z). Kompakta un cilvēkam salasāma.

• URL saīsinātāji: kompakts saites
• Licences atslēgas: programmatūras aktivizēšana
• Datu bāzes ID: rakstāmi identifikatori
• Izsekošanas kodi: pakas, pasūtījumi

Senā Roma (500 p.m.ē. - 1500 m.ē.)

Dominēja Eiropā 2000 gadus. Katram simbolam ir fiksēta vērtība: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

• Joprojām tiek izmantoti: pulksteņi, Super Bowl, konspekti
• Nav nulles: grūtības aprēķinos
• Atņemšanas noteikumi: IV=4, IX=9, XL=40
• Ierobežoti: standarts iet līdz 3999
• Aizstāti ar hindu-arābu cipariem

Senā Babilonija (3000 p.m.ē.)

Vecākā saglabājusies sistēma. 60 ir 12 dalītāji, kas atvieglo daļskaitļus. Izmanto laikam un leņķiem.

• Laiks: 60 sekundes/minūtē, 60 minūtes/stundā
• Leņķi: 360° aplis, 60 loka minūtes
• Dalāmība: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 tīri
• Babilonijas astronomiskie aprēķini

Katrs decimālais cipars kodēts kā 4 biti

BCD attēlo katru decimālo ciparu (0-9) kā 4 bitu bināro. 392 kļūst 0011 1001 0010. Izbēg no peldošā komata kļūdām.

• Finanšu sistēmas: precīzs decimālais
• Digitālie pulksteņi un kalkulatori
• IBM lieldatori: decimālā vienība
• Kredītkaršu magnētiskās joslas

Blakus esošās vērtības atšķiras par vienu bitu

Greja kods nodrošina, ka starp secīgiem skaitļiem mainās tikai viens bits. Kritiski svarīgs analogi-digitālajai pārveidošanai.

• Rotējošie kodētāji: pozīcijas sensori
• Analogi-digitālā pārveidošana
• Karnaugh kartes: loģikas vienkāršošana
• Kļūdu labošanas kodi

Programmētāji ikdienā strādā ar vairākām bāzēm:

• Atmiņas adreses: 0x7FFEE4B2A000 (heksadecimālā)
• Bitu karodziņi: 0b10110101 (binārā)
• Krāsu kodi: #FF5733 (heksadecimālā RGB)
• Failu atļaujas: chmod 755 (oktālā)
• Atkļūdošana: hexdump, atmiņas pārbaude

Tīkla protokoli izmanto heksadecimālo un bināro:

• MAC adreses: 00:1A:2B:3C:4D:5E (heksadecimālā)
• IPv4: 192.168.1.1 = binārā notācija
• IPv6: 2001:0db8:85a3:: (heksadecimālā)
• Apakštīkla maskas: 255.255.255.0 = /24
• Pakešu pārbaude: Wireshark heksadecimālā

Aparatūras dizains binārajā līmenī:

• Loģiskie vārti: AND, OR, NOT bināri
• CPU reģistri: 64 biti = 16 heksadecimālie cipari
• Asemblera valoda: opkodi heksadecimālajā sistēmā
• FPGA programmēšana: bināras plūsmas
• Aparatūras atkļūdošana: loģiskie analizatori

Skaitļu teorija pēta īpašības:

• Modulārā aritmētika: dažādas bāzes
• Kriptogrāfija: RSA, eliptiskās līknes
• Fraktāļu ģenerēšana: Kantora kopa ternāri
• Pirmskaitļu modeļi
• Kombinatorika: skaitīšanas modeļi

Paplašiniet, izmantojot pozicionālās vērtības:

• Identificējiet bāzi un ciparus
• Piešķiriet pozīcijas no labās uz kreiso pusi (0, 1, 2...)
• Pārveidojiet ciparus par decimālajām vērtībām
• Reiziniet: cipars × bāze^pozīcija
• Saskaitiet visus locekļus

Atkārtoti daliet ar mērķa bāzi:

• Daliet skaitli ar mērķa bāzi
• Ierakstiet atlikumu (galējais labais cipars)
• Atkal daliet kvocientu ar bāzi
• Atkārtojiet, līdz kvocients ir 0
• Lasiet atlikumus no apakšas uz augšu

Grupējiet bināros bitus:

• Binārā → Heksadecimālā: grupējiet pa 4 bitiem
• Binārā → Oktālā: grupējiet pa 3 bitiem
• Heksadecimālā → Binārā: paplašiniet katru ciparu līdz 4 bitiem
• Oktālā → Binārā: paplašiniet līdz 3 bitiem katram ciparam
• Pilnībā izlaidiet decimālo pārveidošanu!

Triki biežām pārveidošanām:

• 2 pakāpes: iegaumējiet 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536
• Heksadecimālā: F=15, FF=255, FFF=4095
• Oktālā 777 = binārā 111111111
• Dubultošana/dalīšana uz pusēm: binārā nobīde
• Izmantojiet kalkulatora programmētāja režīmu

Katru reizi, kad pārbaudāt pulksteni, jūs izmantojat 5000 gadus vecu Babilonijas bāzes 60 sistēmu. Viņi izvēlējās 60, jo tai ir 12 dalītāji, kas atvieglo daļskaitļus.

1999. gadā NASA Marsa orbitālais aparāts 125 miljonu dolāru vērtībā tika iznīcināts vienību konvertēšanas kļūdu dēļ - viena komanda izmantoja imperiālo, otra metrisko sistēmu. Dārga mācība par precizitāti.

Romiešu cipariem nav nulles un nav negatīvu skaitļu. Tas padarīja progresīvo matemātiku gandrīz neiespējamu, līdz hindu-arābu cipari (0-9) revolucionēja matemātiku.

Apollo vadības dators visu attēloja oktālajā sistēmā (bāze 8). Astronauti iegaumēja oktālos kodus programmām, kas nolaida cilvēkus uz Mēness.

RGB krāsu kodi izmanto heksadecimālo sistēmu: #RRGGBB, kur katrs ir 00-FF (0-255). Tas dod 256³ = 16 777 216 iespējamās krāsas 24 bitu patiesajās krāsās.

Padomju pētnieki 20. gadsimta 50. - 70. gados uzbūvēja ternāros (bāzes 3) datorus. Dators Setun izmantoja -1, 0, +1 loģiku binārās sistēmas vietā. Binārā infrastruktūra uzvarēja.

Binārā sistēma lieliski atbilst elektroniskajām shēmām: ieslēgts/izslēgts, augsts/zems spriegums. Divu stāvokļu sistēmas ir uzticamas, ātras un viegli ražojamas. Decimālajai sistēmai būtu nepieciešami 10 atšķirīgi sprieguma līmeņi, kas padarītu shēmas sarežģītas un pakļautas kļūdām.

Iegaumējiet 16 heksadecimālās-binārās atbilstības (0=0000...F=1111). Pārveidojiet katru heksadecimālo ciparu neatkarīgi: A5₁₆ = 1010|0101₂. Grupējiet bināro pa 4 no labās puses, lai apgrieztu: 110101₂ = 35₁₆. Decimālā sistēma nav nepieciešama!

Būtiski programmēšanai (atmiņas adreses, bitu darbības), tīklošanai (IP adreses, MAC adreses), atkļūdošanai (atmiņas izgāztuves), digitālajai elektronikai (loģikas dizains) un drošībai (kriptogrāfija, jaukšana).

Heksadecimālā sistēma saskaņojas ar baitu robežām (8 biti = 2 heksadecimālie cipari), savukārt oktālā nē (8 biti = 2,67 oktālie cipari). Mūsdienu datori ir orientēti uz baitiem, kas padara heksadecimālo sistēmu ērtāku. Tikai Unix failu atļaujas saglabā oktālo sistēmu aktuālu.

Nav vieglas tiešas metodes. Oktālā grupē bināro pa 3, heksadecimālā pa 4. Jāpārveido caur bināro: oktālā→binārā (3 biti)→heksadecimālā (4 biti). Piemērs: 52₈ = 101010₂ = 2A₁₆. Vai izmantojiet decimālo kā starpnieku.

Tradīcija un estētika. Tiek izmantoti formalitātei (Super Bowl, filmas), atšķiršanai (konspekti), mūžīgumam (nav gadsimta neskaidrības) un dizaina elegancei. Nav praktiski aprēķiniem, bet kultūras ziņā noturīgi.

Katrai bāzei ir stingri noteikumi. Bāze 8 nevar saturēt 8 vai 9. Ja rakstāt 189₈, tas ir nederīgs. Pārveidotāji to noraidīs. Programmēšanas valodas to pieprasa: '09' izraisa kļūdas oktālajos kontekstos.

Bāze 1 (unārā) izmanto vienu simbolu (svītras atzīmes). Nav īsti pozicionāla: 5 = '11111' (piecas atzīmes). Izmanto primitīvai skaitīšanai, bet nav praktiska. Joks: unārā ir visvienkāršākā bāze - vienkārši turpiniet skaitīt!