ગુણાંક 'a'

x² નો ગુણાંક. તે નક્કી કરે છે કે પરવલય ઉપર તરફ ખુલે છે (a > 0) કે નીચે તરફ (a < 0).

Importance: શૂન્ય ન હોઈ શકે. મોટું |a| પરવલયને સાંકડો બનાવે છે.

ગુણાંક 'b'

x નો ગુણાંક. તે શિરોબિંદુ અને સમપ્રમાણતાની અક્ષની આડી સ્થિતિને અસર કરે છે.

Importance: શૂન્ય હોઈ શકે છે. 'a' સાથે મળીને, તે શિરોબિંદુનો x-સંકલન નક્કી કરે છે: x = -b/(2a).

ગુણાંક 'c'

અચળ પદ. તે પરવલયનો y-અંતઃખંડ રજૂ કરે છે (જ્યાં તે y-અક્ષને પાર કરે છે).

Importance: શૂન્ય હોઈ શકે છે. બિંદુ (0, c) એ જગ્યા છે જ્યાં પરવલય y-અક્ષને છેદે છે.

-b

ગુણાંક b નું ઋણ

Purpose: ઉકેલોને સમપ્રમાણતાની અક્ષની આસપાસ કેન્દ્રિત કરે છે

±√Δ

વિવેચકના વર્ગમૂળનું વત્તા/ઓછા

Purpose: ઉકેલો કેન્દ્રથી કેટલા દૂર છે તે નક્કી કરે છે

2a

અગ્રણી ગુણાંકનું બમણું

Purpose: પરવલયની પહોળાઈના આધારે ઉકેલોને માપે છે

ભૌતિકશાસ્ત્ર - પ્રક્ષેપ્ય ગતિ

ફેંકાયેલી વસ્તુઓની ઊંચાઈ દ્વિઘાત સમીકરણોને અનુસરે છે

સમીકરણ: h(t) = -16t² + v₀t + h₀

ચલો: h = ઊંચાઈ, t = સમય, v₀ = પ્રારંભિક વેગ, h₀ = પ્રારંભિક ઊંચાઈ

સમસ્યા: પ્રક્ષેપ્ય જમીન પર ક્યારે અથડાશે? (જ્યારે h = 0 હોય ત્યારે t માટે ઉકેલો)

વ્યવસાય - નફાનું ઓપ્ટિમાઇઝેશન

આવક અને નફો ઘણીવાર દ્વિઘાત મોડેલોને અનુસરે છે

સમીકરણ: P(x) = -ax² + bx - c

ચલો: P = નફો, x = વેચાયેલી માત્રા, ગુણાંકો ખર્ચ પર આધાર રાખે છે

સમસ્યા: નફાને મહત્તમ કરતી માત્રા શોધો (પરવલયનું શિરોબિંદુ)

ઈજનેરી - પુલની ડિઝાઇન

પરવલયી કમાનો વજનને અસરકારક રીતે વહેંચે છે

સમીકરણ: y = ax² + bx - c

ચલો: સસ્પેન્શન બ્રિજ કેબલના વળાંકનું વર્ણન કરે છે

સમસ્યા: શ્રેષ્ઠ ભાર વિતરણ માટે કેબલ આકાર ડિઝાઇન કરો

કૃષિ - વિસ્તારનું ઓપ્ટિમાઇઝેશન

નિશ્ચિત પરિમિતિ સાથે વિસ્તારને મહત્તમ કરવો

સમીકરણ: A = x(P - 2x)/2 = -x² + (P/2)x

ચલો: A = વિસ્તાર, x = પહોળાઈ, P = ઉપલબ્ધ વાડ

સમસ્યા: ઘેરાયેલા વિસ્તારને મહત્તમ કરતા પરિમાણો શોધો

ટેકનોલોજી - સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ

ડિજિટલ ફિલ્ટર્સ અને એન્ટેના ડિઝાઇનમાં દ્વિઘાત સમીકરણો

સમીકરણ: એપ્લિકેશનના આધારે વિવિધ સ્વરૂપો

ચલો: આવર્તન પ્રતિભાવ, સિગ્નલ શક્તિ, સમય

સમસ્યા: સિગ્નલ ગુણવત્તાને શ્રેષ્ઠ બનાવો અને દખલગીરીને ઓછી કરો

દવા - દવાની સાંદ્રતા

સમય જતાં લોહીના પ્રવાહમાં દવાનું સ્તર

સમીકરણ: C(t) = -at² + bt + c

ચલો: C = સાંદ્રતા, t = વહીવટ પછીનો સમય

સમસ્યા: શ્રેષ્ઠ ડોઝિંગ અંતરાલ નક્કી કરો

કઈ બાબત સમીકરણને દ્વિઘાત બનાવે છે?

એક સમીકરણ દ્વિઘાત છે જો ચલની સૌથી વધુ ઘાત 2 હોય, અને x² નો ગુણાંક શૂન્ય ન હોય. તે ax² + bx + c = 0 સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.

શું દ્વિઘાત સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ ન હોઈ શકે?

દ્વિઘાત સમીકરણોમાં હંમેશા બરાબર ૨ ઉકેલો હોય છે, પરંતુ જ્યારે વિવેચક ઋણ હોય ત્યારે તે જટિલ સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાં, જ્યારે Δ < 0 હોય ત્યારે કોઈ ઉકેલ નથી.

શા માટે આપણે ક્યારેક બે ને બદલે એક ઉકેલ મેળવીએ છીએ?

જ્યારે વિવેચક = 0, ત્યારે આપણે એક પુનરાવર્તિત ઉકેલ (જેને ડબલ રૂટ કહેવાય છે) મેળવીએ છીએ. ગાણિતિક રીતે, તે હજી પણ બે ઉકેલો છે જે સમાન હોય છે.

વિવેચક આપણને શું કહે છે?

વિવેચક (b² - 4ac) ઉકેલના પ્રકારો નક્કી કરે છે: ધન = બે વાસ્તવિક ઉકેલો, શૂન્ય = એક પુનરાવર્તિત ઉકેલ, ઋણ = બે જટિલ ઉકેલો.

હું કેવી રીતે જાણી શકું કે કઈ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો?

દ્વિઘાત સૂત્ર હંમેશા કામ કરે છે. જો સમીકરણ સરળતાથી અવયવીકરણ કરી શકાય તો અવયવીકરણનો ઉપયોગ કરો. સમજણ માટે અથવા શિરોબિંદુ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવવાનો ઉપયોગ કરો.

જો મારો ગુણાંક 'a' ઋણ હોય તો?

કોઈ વાંધો નહીં! દ્વિઘાત સૂત્ર ઋણ ગુણાંકોને સંભાળે છે. વિવેચકની ગણતરી કરતી વખતે અને સૂત્રનો ઉપયોગ કરતી વખતે ફક્ત ચિહ્નોથી સાવચેત રહો.

શું હું દ્વિઘાત સૂત્ર વિના દ્વિઘાત સમીકરણો ઉકેલી શકું?

હા! તમે અવયવીકરણ કરી શકો છો (જ્યારે શક્ય હોય), પૂર્ણવર્ગ બનાવી શકો છો, અથવા ગ્રાફ બનાવી શકો છો. જોકે, દ્વિઘાત સૂત્ર સૌથી વિશ્વસનીય સાર્વત્રિક પદ્ધતિ છે.

જટિલ ઉકેલો શેના માટે વપરાય છે?

જટિલ ઉકેલો ઈજનેરી, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ઉચ્ચ ગણિતમાં દેખાય છે. તે મહત્વપૂર્ણ ગાણિતિક સંબંધો રજૂ કરે છે ભલે તે રોજિંદા અર્થમાં 'વાસ્તવિક' ન હોય.