ماشین حساب معادله درجه دو
معادلات درجه دو ax² + bx + c = 0 را با راه حلهای گام به گام دقیق و تحلیل گرافیکی حل کنید
نحوه استفاده از ماشین حساب معادله درجه دو
- ضرایب a، b و c را برای معادله درجه دو خود ax² + bx + c = 0 وارد کنید
- توجه داشته باشید که ضریب 'a' نمیتواند صفر باشد (در غیر این صورت درجه دو نیست)
- از دکمههای نمونه برای امتحان انواع مختلف معادلات درجه دو استفاده کنید
- نمایش زنده معادله را برای دیدن فرمت صحیح معادله خود مشاهده کنید
- مبین را برای درک نوع جوابهای مورد انتظار بررسی کنید
- راه حل گام به گام را برای درک فرآیند حل مرور کنید
- رأس و محور تقارن را برای درک گرافیکی بررسی کنید
درک معادلات درجه دو
معادله درجه دو یک معادله چندجملهای درجه ۲ است که به شکل استاندارد ax² + bx + c = 0 نوشته میشود، که در آن a ≠ 0.
ضریب 'a'
ضریب x². تعیین میکند که سهمی به سمت بالا (a > 0) یا پایین (a < 0) باز میشود.
Importance: نمیتواند صفر باشد. |a| بزرگتر سهمی را باریکتر میکند.
ضریب 'b'
ضریب x. بر موقعیت افقی رأس و محور تقارن تأثیر میگذارد.
Importance: میتواند صفر باشد. در ترکیب با 'a'، مختصات x رأس را تعیین میکند: x = -b/(2a).
ضریب 'c'
جمله ثابت. نشاندهنده عرض از مبدأ سهمی است (جایی که محور y را قطع میکند).
Importance: میتواند صفر باشد. نقطه (0, c) جایی است که سهمی محور y را قطع میکند.
فرمول درجه دو
فرمول درجه دو یک روش جهانی برای حل هر معادله درجه دو ax² + bx + c = 0 است.
Δ = b² - 4ac
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Discriminant: Δ = b² - 4ac
مبین (Δ) ماهیت و تعداد جوابها را تعیین میکند
-b
منفی ضریب b
Purpose: جوابها را حول محور تقارن متمرکز میکند
±√Δ
بعلاوه/منهای ریشه دوم مبین
Purpose: تعیین میکند که جوابها چقدر از مرکز فاصله دارند
2a
دو برابر ضریب اصلی
Purpose: جوابها را بر اساس عرض سهمی مقیاسبندی میکند
درک مبین
مبین Δ = b² - 4ac قبل از محاسبه جوابها، ماهیت آنها را به ما میگوید.
Δ > 0
نتیجه: دو جواب حقیقی متمایز
سهمی محور x را در دو نقطه قطع میکند. جوابها اعداد حقیقی هستند.
مثال: x² - 5x + 6 = 0 دارای Δ = 25 - 24 = 1 > 0 است، بنابراین دو جواب حقیقی وجود دارد.
به صورت گرافیکی: سهمی محور x را دو بار قطع میکند
Δ = 0
نتیجه: یک جواب حقیقی مکرر
سهمی محور x را دقیقاً در یک نقطه لمس میکند (رأس روی محور x است).
مثال: x² - 4x + 4 = 0 دارای Δ = 16 - 16 = 0 است، بنابراین یک جواب مکرر x = 2 وجود دارد.
به صورت گرافیکی: سهمی محور x را در رأس لمس میکند
Δ < 0
نتیجه: دو جواب مختلط
سهمی محور x را قطع نمیکند. جوابها شامل اعداد موهومی هستند.
مثال: x² + 2x + 5 = 0 دارای Δ = 4 - 20 = -16 < 0 است، بنابراین جوابهای مختلط وجود دارد.
به صورت گرافیکی: سهمی محور x را قطع نمیکند
روشهای حل معادلات درجه دو
فرمول درجه دو
زمان استفاده: همیشه برای هر معادله درجه دو کار میکند
مراحل:
- a، b، c را مشخص کنید
- مبین Δ = b² - 4ac را محاسبه کنید
- فرمول x = (-b ± √Δ)/(2a) را اعمال کنید
مزایا: روش جهانی، مبین را نشان میدهد
معایب: ممکن است شامل محاسبات پیچیده باشد
تجزیه
زمان استفاده: زمانی که معادله به راحتی قابل تجزیه است
مراحل:
- ax² + bx + c را به (px + q)(rx + s) تجزیه کنید
- هر عامل را برابر صفر قرار دهید
- px + q = 0 و rx + s = 0 را حل کنید
مزایا: سریع است زمانی که تجزیه واضح باشد
معایب: همه معادلات درجه دو به خوبی تجزیه نمیشوند
کامل کردن مربع
زمان استفاده: هنگام تبدیل به شکل رأس یا استخراج فرمول درجه دو
مراحل:
- به x² + (b/a)x = -c/a بازآرایی کنید
- به هر دو طرف (b/2a)² اضافه کنید
- طرف چپ را به عنوان مربع کامل تجزیه کنید
مزایا: شکل رأس را نشان میدهد، برای درک خوب است
معایب: مراحل بیشتری نسبت به فرمول درجه دو دارد
ترسیم نمودار
زمان استفاده: برای درک بصری یا جوابهای تقریبی
مراحل:
- سهمی y = ax² + bx + c را رسم کنید
- محل تقاطع با محور x را که y = 0 است پیدا کنید
- جوابها را از نمودار بخوانید
مزایا: بصری، همه ویژگیها را نشان میدهد
معایب: ممکن است مقادیر دقیق را ندهد
کاربردهای واقعی معادلات درجه دو
فیزیک - حرکت پرتابه
ارتفاع اجسام پرتاب شده از معادلات درجه دو پیروی میکند
معادله: h(t) = -16t² + v₀t + h₀
متغیرها: h = ارتفاع، t = زمان، v₀ = سرعت اولیه، h₀ = ارتفاع اولیه
مسئله: پرتابه چه زمانی به زمین برخورد میکند؟ (برای t حل کنید زمانی که h = 0)
کسب و کار - بهینهسازی سود
درآمد و سود اغلب از مدلهای درجه دو پیروی میکنند
معادله: P(x) = -ax² + bx - c
متغیرها: P = سود، x = مقدار فروخته شده، ضرایب به هزینهها بستگی دارند
مسئله: مقداری را پیدا کنید که سود را به حداکثر میرساند (رأس سهمی)
مهندسی - طراحی پل
طاقهای سهموی وزن را به طور کارآمد توزیع میکنند
معادله: y = ax² + bx - c
متغیرها: منحنی کابلهای پل معلق را توصیف میکند
مسئله: شکل کابل را برای توزیع بهینه بار طراحی کنید
کشاورزی - بهینهسازی مساحت
حداکثر کردن مساحت با محیط ثابت
معادله: A = x(P - 2x)/2 = -x² + (P/2)x
متغیرها: A = مساحت، x = عرض، P = حصار موجود
مسئله: ابعادی را پیدا کنید که مساحت محصور شده را به حداکثر میرساند
فناوری - پردازش سیگنال
معادلات درجه دو در فیلترهای دیجیتال و طراحی آنتن
معادله: بسته به کاربرد اشکال مختلفی دارد
متغیرها: پاسخ فرکانسی، قدرت سیگنال، زمانبندی
مسئله: کیفیت سیگنال را بهینه کرده و تداخل را به حداقل برسانید
پزشکی - غلظت دارو
سطح دارو در جریان خون در طول زمان
معادله: C(t) = -at² + bt + c
متغیرها: C = غلظت، t = زمان پس از تجویز
مسئله: فواصل بهینه دوز را تعیین کنید
اشتباهات رایج هنگام حل معادلات درجه دو
اشتباه: فراموش کردن ± در فرمول درجه دو
مسئله: پیدا کردن تنها یک جواب در حالی که دو جواب وجود دارد
راه حل: همیشه هر دو + و - را در نظر بگیرید زمانی که مبین > 0 است
مثال: برای x² - 5x + 6 = 0، هر دو x = 2 و x = 3 جواب هستند
اشتباه: قرار دادن a = 0
مسئله: معادله خطی میشود، نه درجه دو
راه حل: اطمینان حاصل کنید که ضریب x² برای معادلات درجه دو غیر صفر است
مثال: 0x² + 3x + 2 = 0 در واقع 3x + 2 = 0 است، یک معادله خطی
اشتباه: اشتباهات محاسباتی با اعداد منفی
مسئله: خطاهای علامت هنگام محاسبه مبین یا اعمال فرمول
راه حل: علامتهای منفی را به دقت دنبال کنید، به خصوص با b² و -4ac
مثال: برای x² - 6x + 9، مبین (-6)² - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0 است
اشتباه: تفسیر نادرست جوابهای مختلط
مسئله: فکر کردن اینکه معادله جوابی ندارد زمانی که مبین < 0 است
راه حل: جوابهای مختلط در ریاضیات معتبر هستند، فقط اعداد حقیقی نیستند
مثال: x² + 1 = 0 دارای جوابهای x = ±i است که اعداد مختلط هستند
اشتباه: ترتیب نادرست عملیات
مسئله: محاسبه نادرست مبین
راه حل: b² - 4ac را به خاطر بسپارید: ابتدا b را به توان دو برسانید، سپس 4ac را کم کنید
مثال: برای 2x² + 3x + 1، مبین 3² - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1 است
اشتباه: گرد کردن خیلی زود
مسئله: خطاهای گرد کردن انباشته شده در محاسبات چند مرحلهای
راه حل: دقت کامل را تا جواب نهایی حفظ کنید، سپس به طور مناسب گرد کنید
مثال: از مقدار کامل مبین در فرمول درجه دو استفاده کنید، نه نسخه گرد شده آن
موارد خاص و الگوها
سهجملهایهای مربع کامل
شکل: a²x² ± 2abx + b² = (ax ± b)²
مثال: x² - 6x + 9 = (x - 3)²
راه حل: یک ریشه مکرر: x = 3
تشخیص: مبین برابر صفر است
تفاضل مربعها
شکل: a²x² - b² = (ax - b)(ax + b)
مثال: x² - 16 = (x - 4)(x + 4)
راه حل: دو ریشه متضاد: x = ±4
تشخیص: جمله خطی وجود ندارد (b = 0)، ثابت منفی
عدم وجود جمله خطی
شکل: ax² + c = 0
مثال: 2x² - 8 = 0
راه حل: x² = 4، بنابراین x = ±2
تشخیص: فقط جملات x² و ثابت وجود دارند
عدم وجود جمله ثابت
شکل: ax² + bx = 0 = x(ax + b)
مثال: 3x² - 6x = 0 = 3x(x - 2)
راه حل: x = 0 یا x = 2
تشخیص: ابتدا از x فاکتور بگیرید
سوالات متداول معادله درجه دو
چه چیزی یک معادله را درجه دو میکند؟
یک معادله درجه دو است اگر بالاترین توان متغیر ۲ باشد و ضریب x² صفر نباشد. باید به شکل ax² + bx + c = 0 باشد.
آیا یک معادله درجه دو میتواند جوابی نداشته باشد؟
معادلات درجه دو همیشه دقیقاً ۲ جواب دارند، اما زمانی که مبین منفی است، ممکن است اعداد مختلط باشند. در اعداد حقیقی، زمانی که Δ < 0 است، جوابی وجود ندارد.
چرا گاهی به جای دو جواب، یک جواب به دست میآوریم؟
زمانی که مبین = 0 است، یک جواب مکرر (به نام ریشه مضاعف) به دست میآوریم. از نظر ریاضی، این هنوز دو جواب است که اتفاقاً با هم برابرند.
مبین به ما چه میگوید؟
مبین (b² - 4ac) انواع جوابها را تعیین میکند: مثبت = دو جواب حقیقی، صفر = یک جواب مکرر، منفی = دو جواب مختلط.
چگونه بفهمم از کدام روش استفاده کنم؟
فرمول درجه دو همیشه کار میکند. اگر معادله به راحتی قابل تجزیه است از تجزیه استفاده کنید. برای درک یا تبدیل به شکل رأس از کامل کردن مربع استفاده کنید.
اگر ضریب 'a' من منفی باشد چه؟
مشکلی نیست! فرمول درجه دو با ضرایب منفی کار میکند. فقط هنگام محاسبه مبین و اعمال فرمول مراقب علامتها باشید.
آیا میتوانم معادلات درجه دو را بدون فرمول درجه دو حل کنم؟
بله! میتوانید (در صورت امکان) تجزیه کنید، مربع را کامل کنید یا نمودار رسم کنید. با این حال، فرمول درجه دو قابل اعتمادترین روش جهانی است.
جوابهای مختلط برای چه استفاده میشوند؟
جوابهای مختلط در مهندسی، فیزیک و ریاضیات پیشرفته ظاهر میشوند. آنها روابط ریاضی مهمی را نشان میدهند حتی اگر به معنای روزمره «واقعی» نباشند.
فهرست کامل ابزارها
همه 71 ابزار موجود در UNITS